الأعداد المركبة تتيح كتابة أعداد على الصورة z = a + bi، حيث a و b عددان حقيقيان، والرمز i يحقق i² = −1. تشمل هذه المجموعة الأعداد الحقيقية عندما يكون b صفرًا. نفهم العدد أولًا من جزأيه، ثم نستخدم قواعد الحساب المعتادة مع مراعاة قيمة i² في كل عملية. [1]
ماذا يعني الجزء التخيلي؟
في العدد −4 + 3i، الجزء الحقيقي هو −4، والجزء التخيلي هو العدد 3. أما 3i فهو الحد التخيلي كاملًا. تسمية «تخيلي» لا تمنع الحساب؛ إنها تميز نوعًا من الأعداد تحكمه العلاقة i² = −1. [1]
| العدد | الجزء الحقيقي | الجزء التخيلي | ما الذي نلاحظه؟ |
|---|---|---|---|
| 7 − 2i | 7 | −2 | الإشارة جزء من القيمة |
| −5i | 0 | −5 | عدد تخيلي صرف غير صفري |
| 9 | 9 | 0 | عدد حقيقي ومركب أيضًا |
| 0 | 0 | 0 | الصفر ينتمي إلى الأعداد الحقيقية والمركبة |
مربع كل عدد حقيقي غير صفري موجب، لكن مربع الصفر صفر. لذلك لا يوجد عدد حقيقي مربعه −1. أما مربع عدد تخيلي صرف غير صفري bi فيساوي −b²، وهو سالب. هذا يوضح سبب إدخال الرمز i بدل تغيير معنى تربيع الأعداد الحقيقية. [1]
النقطة والمرافق والمقدار
نمثل a + bi بالنقطة (a,b)؛ المحور الأفقي للجزء الحقيقي، والعمودي للجزء التخيلي. في المثال −4 + 3i نتحرك 4 وحدات إلى اليسار ثم 3 إلى الأعلى. مرافق العدد هو −4 − 3i، فتنعكس النقطة حول المحور الأفقي. [1][2]
مقدار العدد، أو قيمته المطلقة، هو بعد هذه النقطة عن الأصل: |z| = √(a² + b²). لذلك |−4 + 3i| = √(16 + 9) = 5. لا يمكن جعل المقدار سالبًا؛ تغيير إشارة أحد الجزأين لا يغير هذه المسافة. [2]
للمرافق فائدة حسابية واضحة: (−4 + 3i)(−4 − 3i) = 16 − 9i² = 25. كذلك مجموع العدد ومرافقه هو −8؛ الحدود التخيلية تتلاشى في الجمع، بينما حاصل الضرب يساوي مربع المقدار. [1]
الجمع والطرح: اجمع الحدود المتشابهة
لنستخدم العددين z₁ = 3 − 2i و z₂ = −1 + 5i. في الجمع نضيف الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا: z₁ + z₂ = (3 − 1) + (−2 + 5)i = 2 + 3i. [1]
في الطرح نوزع إشارة السالب على كل حد في العدد الثاني: z₁ − z₂ = (3 − 2i) − (−1 + 5i) = 4 − 7i. إذا أصبح الحد +5i موجبًا بعد الطرح، فقد نُسيت الإشارة. يمكن فحص الجواب بإضافة z₂ إلى الناتج لاسترجاع z₁.
الضرب: انتبه إلى مربع i
بالتوزيع على الحدين نحصل على (3 − 2i)(−1 + 5i) = −3 + 15i + 2i − 10i². نعوض i² = −1، فيصبح الحد الأخير +10 وتكون النتيجة 7 + 17i. [1]
يمكن قراءة الضرب هندسيًا أيضًا. عند ضرب 2 + i في i نحصل على −1 + 2i. طول المتجه في الحالتين √5، لكن الاتجاه يدور 90 درجة عكس عقارب الساعة حول الأصل. الرسم يوضح هذا الأثر للضرب في i تحديدًا؛ الضرب في عدد مركب عام قد يغير المقدار أيضًا. [2]
القسمة: اجعل المقام حقيقيًا بالمرافق
نريد حساب (4 + 3i)/(2 − i). المقام غير صفري، ومرافقه 2 + i. نضرب البسط والمقام في هذا المرافق، وهو إجراء يحافظ على قيمة الكسر: [(4 + 3i)(2 + i)]/[(2 − i)(2 + i)]. [1]
البسط يساوي 8 + 4i + 6i + 3i² = 5 + 10i، والمقام يساوي 4 − i² = 5. إذن الناتج 1 + 2i. الفحص بالضرب يعطي (1 + 2i)(2 − i) = 4 + 3i، وهو البسط الأصلي.
نحتاج أن يكون المقسوم عليه غير صفري، أي لا يكون جزآه صفرًا معًا. لا يشترط أن يكون كل جزء منه غير صفري؛ يمكن القسمة على عدد حقيقي غير صفري أو على عدد تخيلي صرف غير صفري. [1]
قوى i وحل معادلة قصيرة
تتكرر القوى الموجبة للرمز i في دورة من أربع قيم: i, −1, −i, 1. لذلك i²⁷ = (i⁴)⁶ i³ = −i. نحسب باقي قسمة الأس على 4 بدل تنفيذ 27 عملية ضرب. [1]
في المعادلة x² + 8x + 25 = 0، يمكن كتابة الطرف الأيسر (x + 4)² + 9. يصبح (x + 4)² = −9، ومنه الحلان x = −4 + 3i و x = −4 − 3i. فمثلًا مربع x + 4 = 3i يساوي −9، فيحقق المعادلة.
ابدأ بتمييز الجزأين، ثم راقب إشارات الطرح وقيمة i². وإذا قسمت، افحص المقام قبل استعمال المرافق. هذه الخطوات تكفي لحل الأمثلة السابقة دون حفظ جواب كل شكل على حدة.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: تعريف العدد المركب والعمليات والمرافق وقوى i (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: مقدار العدد المركب وتفسير الضرب بالزوايا (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.