التحويل الاحتمالي التكاملي: لماذا يحتاج المتقطع إلى عشوائية إضافية؟

التحويل الاحتمالي التكاملي للمتقطع يحتاج توزيعًا داخل القفزات. [1]

الخلاصة السريعة

نضيف متغيرًا منتظمًا مستقلًا. [1]

مثال مؤلف بلا وحدة: X يأخذ 2,5,9 باحتمالات 1/4,1/2,1/4. نعرّف F(x)=P(X≤x)، وF(x−)=P(X<x)؛ الفرق احتمال القيمة نفسها. نفترض معرفة هذا التوزيع، دون تقديره من عينة. [4]
F(X) يأخذ 1/4,3/4,1 بالاحتمالات الأصلية، فيبقى متقطعًا. في توزيع مستمر له تراكمي قابل للعكس، يكون F(X) منتظمًا على (0,1)؛ شرط الاستمرار لا يتحقق هنا. [4]
نأخذ V منتظمًا على (0,1)، مستقلًا عن X: U=F(X−)+V[F(X)−F(X−)]. يوزع التحويل كل قفزة على فترتها، ويجعل U منتظمًا. [1]
الفترات هنا (0,1/4),(1/4,3/4),(3/4,1)؛ لكل منها احتمال يساوي طولها. كثافتها المشروطة مقلوب طولها؛ بعد الوزن تكون الكثافة 1. الحدود احتمالها صفر. تثبيت V=1/2 يعطي 1/8,1/2,7/8؛ ثلاث قيم، وليس منتظمًا مستمرًا. [3]
مثال تابع: V منتظم، وX=0 إذا V<1/2، وإلا X=1؛ احتمالا القيمتين نصفان. التحويل يعطي U في (0,1/4) أو (3/4,1) فقط. عند t=3/8 يكون P(U≤t)=1/2، بدل 3/8 للمنتظم؛ انتظام V وحده لا يكفي. [2][3]

ثبت التوزيع والتراكم

مثال مؤلف بلا وحدة: X يأخذ 2,5,9 باحتمالات 1/4,1/2,1/4. نعرّف F(x)=P(X≤x)، وF(x−)=P(X<x)؛ الفرق احتمال القيمة نفسها. نفترض معرفة هذا التوزيع، دون تقديره من عينة. [4]

القيم والاحتمالات فرض للمثال، لا مشاهدات جمعت. [4]

افحص التحويل المعتاد

F(X) يأخذ 1/4,3/4,1 بالاحتمالات الأصلية، فيبقى متقطعًا. في توزيع مستمر له تراكمي قابل للعكس، يكون F(X) منتظمًا على (0,1)؛ شرط الاستمرار لا يتحقق هنا. [4]

للناتج ثلاث نقاط ذات احتمال موجب؛ لا يملأ الفترة. [4]

أضف عشوائية مستقلة

نأخذ V منتظمًا على (0,1)، مستقلًا عن X: U=F(X−)+V[F(X)−F(X−)]. يوزع التحويل كل قفزة على فترتها، ويجعل U منتظمًا. [1]

نسحب الموضع داخل القفزة دون أن يغير X توزيع V. [1]

احسب الفترات وميز المنتصف

الفترات هنا (0,1/4),(1/4,3/4),(3/4,1)؛ لكل منها احتمال يساوي طولها. كثافتها المشروطة مقلوب طولها؛ بعد الوزن تكون الكثافة 1. الحدود احتمالها صفر. تثبيت V=1/2 يعطي 1/8,1/2,7/8؛ ثلاث قيم، وليس منتظمًا مستمرًا. [3]

الاختيار داخل الفترة مستمر؛ المنتصف اختيار ثابت. [3]

اكشف أثر الاعتماد

مثال تابع: V منتظم، وX=0 إذا V<1/2، وإلا X=1؛ احتمالا القيمتين نصفان. التحويل يعطي U في (0,1/4) أو (3/4,1) فقط. عند t=3/8 يكون P(U≤t)=1/2، بدل 3/8 للمنتظم؛ انتظام V وحده لا يكفي. [2][3]

في التابع، U=V/2 بالنصف الأول، وU=1/2+V/2 بالثاني. [2][3]

تراكمي مستقل وتراكمي تابع — رسم أصلي: الأخضر للاستقلال، والبرتقالي للاعتماد الموضح؛ نموذج مجرد. [2][3]

المراجع

مقارنة توزيعين تراكميين

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.