التسرب الطيفي: هل يزيله حشو الأصفار؟

لماذا ينتشر طيف السجل القصير؟

تحليل سجل محدود يتأثر بالنافذة الزمنية. الإبقاء على العينات بأوزان متساوية مع اعتبار ما خارج السجل صفرًا يمثل نافذة مستطيلة. [2]

نختار إشارة مثالية x[n]=cos(2πn/8)، مأخوذة عند الأزمنة n/8 ثانية. معدل العينات Fs=8 Hz، والتردد الأصلي 1 Hz، والقيم بلا وحدة فيزيائية. نحتفظ أولًا بالفهارس 0 إلى 3 فقط.

ضع a=√2/2؛ العينات الأربع هي [1,a,0,−a]. نعرف تحويل N نقطة بالصيغة X[k]=Σₙ₌₀ᴺ⁻¹ x[n] exp(−2πikn/N)، بلا عامل تطبيع. نرمز إلى الوحدة التخيلية بـi، والفهارس تبدأ من صفر.

عند N=4 نحصل على X=[1,1−√2i,1,1+√2i]. مثلًا X[1]=1+a(−i)+(−a)i=1−2ai=1−√2i. مربعات المقادير [1,3,1,3].

ترددات الخانات وفق الفهرسة غير المزاحة هي kFs/N: هنا 0 و 2 و 4 و 6 Hz. الفهرس الأخير يمثل أيضًا −2 Hz ضمن الفهرسة الدورية. تردد المصدر 1 Hz بين خانتين؛ لا يظهر كمعامل منفرد.

المعاملات تصف إسقاط السجل المحدود على أساس التحويل. لم نضف أربع موجات إلى المصدر لمجرد أن أربع خانات غير صفرية؛ الإشارة المثالية التي اخترناها ما زالت جيب تمام واحدًا.

الأصفار تضيق الشبكة ولا تطيل القياس

تباعد خانات تحويل N نقطة هو Fs/N. حشو الأصفار يستوفي طيف السجل على شبكة أدق؛ لا يحسن دقة تمييز الترددات بذاته، وقد يساعد تقدير سعة مكونات يمكن تمييزها أصلًا. [1]

نلحق أربعة أصفار بالسجل نفسه: p=[1,a,0,−a,0,0,0,0]. أصبح طول مدخل التحويل ثمانية، بينما بقي عدد العينات المسجلة أربعًا. تباعد الخانات 8/8=1 Hz بدل 8/4=2 Hz.

الحساب يعطي P=[1,2,1−√2i,0,1,0,1+√2i,2]. مربعات المقادير [1,4,3,0,1,0,3,4]. صار 1 Hz عند الفهرس 1 فعلًا، لكن الخانات 0 و 2 و 4 و 6 و 7 لا تزال غير صفرية.

مثلًا عند الفهرس 1، الجذران الموافقان للعينتين 1 و 3 هما a−ai و−a−ai. إذن P[1]=1+a(a−ai)+(−a)(−a−ai)=1+2a²=2.

وجود خانة عند تردد المصدر لا يمحو انتشار طيف النافذة. وكذلك لا نقرأ مربعات المقادير الخام بوصفها سعات الموجة أو قدرة بوحدة واط؛ اتفاقية التطبيع والوحدات جزء من أي تفسير كمي.

برهان أن الطيف نفسه لم يتغير

عرف دالة التردد المستمر للسجل المحدود S(f)=Σₙ₌₀³ x[n] exp(−2πifn/Fs). كلمة مستمر تصف متغير التردد f هنا؛ البيانات داخل المجموع أربع عينات متقطعة.

عند f=kFs/4 نجد S(f)=X[k]. بعد الحشو، مجموع التحويل من n=0 إلى 7 يحتوي أربعة حدود إضافية تساوي صفرًا، فيبقى S نفسه. الجديد هو تقييمه عند f=jFs/8 للحصول على P[j].

إذا كان j=2k، فإن exp(−2πi(2k)n/8)=exp(−2πikn/4). لذلك P[2k]=X[k] لكل k من 0 إلى 3. بالفعل عناصر P عند 0 و 2 و 4 و 6 هي [1,1−√2i,1,1+√2i].

هذا البرهان يصح لأي أربع قيم، وليس لجيب التمام وحده. لم نغير القياسات القديمة ولم ننشئ معلومات عن الإشارة بعد آخر عينة؛ ملأنا تلك المواضع بأصفار باختيارنا.

الشبكة الأدق تساعد على عرض شكل S بين نقاط الشبكة القديمة. لكنها لا تغير ذلك الشكل؛ لذا لا نساوي انخفاض تباعد الخانات بتحسن قدرة سجل بعينه على فصل موجتين متقاربتين.

ماذا يتغير مع عينات فعلية أو نافذة أخرى؟

لو واصلنا أخذ عينات جيب التمام المثالي إلى الفهرس 7، نحصل على b=[1,a,0,−a,−1,−a,0,a]. النصف الأخير بيانات إضافية تختلف عن الأصفار الأربعة؛ لذلك تغيرت المتتالية التي نحللها.

من هوية جيب التمام، b[n]=(exp(2πin/8)+exp(−2πin/8))/2. مجموع الجذور الثمانية exp(2πimn/8) يساوي 8 إذا كان m مضاعفًا لثمانية، وصفرًا خلاف ذلك؛ في الحالة الثانية هو مجموع هندسي بنسبة لا تساوي واحدًا.

بتطبيق ذلك في التحويل، B[1]=B[7]=4 وبقية المعاملات صفر. مربعات المقادير [0,16,0,0,0,0,0,16]. يمثل الفهرس 7 التردد −1 Hz أيضًا؛ الزوج المتناظر ناتج عن جيب تمام حقيقي، لا موجة مستقلة عند 7 Hz في المصدر.

في فهرسة هذا التحويل، الفترة N/Fs تساوي ثانية للثماني نقاط، وتتوافق مع دورة الموجة المختارة. أول وآخر عينة عند 0 و 7/8 ثانية؛ لا نزعم أن الفرق بين وقتيهما ثانية، ولا نشترط تساوي قيمتيهما.

الاختفاء خارج الخانتين نتيجة خاصة لتردد ثابت مثالي متوافق مع شبكة N=8. لا يضمن مجرد إطالة أي تسجيل القضاء على التسرب؛ التردد ومدة السجل والنافذة والضوضاء تؤثر في المسألة.

يمكن تخفيف الفصوص الجانبية بنافذة تعطي أوزانًا أصغر قرب الحواف، مع مفاضلة تتعلق باتساع الفص الرئيسي وتمييز الترددات. [2]

ذلك يغير قيم العينات الموزونة؛ ليس إضافة أصفار بعد السجل. لم نحسب نافذة بديلة أو نجرب محللًا طيفيًا هنا. قبل تفسير رسم أدق، اسأل عن عدد العينات الفعلية وطول التحويل والنافذة كلًا على حدة.