قوة سحب واحدة وثلاث حالات احتكاك: السكون واتجاها الانزلاق

ثبّت السطح والمرجع والمعاملات

الاحتكاك يعارض الانزلاق النسبي أو الميل إليه عند التلامس. السكوني يعني عدم انزلاق السطحين بالنسبة إلى بعضهما، والحركي يصف انزلاقهما النسبي. [2]

في مثالنا السطح ثابت بالنسبة إلى المرجع الذي نصف فيه سرعة الكتلة. لذلك تتطابق جهة انزلاقها على السطح مع جهة سرعتها في ذلك المرجع، وهو تبسيط أعلنّاه لتسهيل المقارنة. لا نستعمل هذا الربط كما هو لكتلة فوق حزام متحرك أو عجلة تتدحرج؛ قد تختلف حالة التلامس هناك عن حركة الجسم كما يراها شخص في مكان آخر. أسماء اليمين واليسار في جدولنا ترجع إلى سطح واحد ومحور محدد.

نختار كتلة كيلوغرامين وتسارع جاذبية عشرة أمتار لكل ثانية مربعة بوصفه رقمًا تعليميًا. لا توجد قوة سحب رأسية ولا تسارع رأسي في الأمثلة، فالوزن عشرون نيوتن وتوازنه القوة العمودية عشرون. نثبت المعامل السكوني عند أربعة أعشار والحركي عند ربع في نموذج التلامس البسيط. هذه قيم مفترضة، وليست نتائج قياس سطح معين أو قيمًا عامة لكل مادة يمكن أن تشبه شكل الكتلة.

الحد الأقصى ليس المقدار الفعلي دائمًا

مقدار الاحتكاك السكوني لا يتجاوز معامل السكون مضروبًا في القوة العمودية. يحدد حاصل الضرب الحد الأقصى، لا القيمة الفعلية لكل حالة ساكنة. [1]

نضرب أربعة أعشار في عشرين فنحصل على حد ثمانية نيوتن. إذا لم يوجد أي دفع مماسي يطلب احتكاكًا في نموذجنا، يمكن أن يكون الاحتكاك صفرًا مع بقاء القوة العمودية عشرين. وإذا طلب السكون قوة اثنين إلى اليسار، يتخذ مقدار الاثنين. لا نملأ كل صف ساكن بالثمانية لأننا حسبناها مرة؛ ندونها في خانة حد ونحسب خانة الاحتكاك الفعلي من طلب الاتزان.

ولو جعلنا الاحتكاك ثمانية إلى اليسار مع سحب ستة إلى اليمين وادعينا أن الكتلة ساكنة، لكانت المحصلة سالب اثنين بدل الصفر. لا يوافق هذا الجمع السكون الذي افترضناه. يظهر الخطأ من معادلة القوى قبل أي نقاش عن نوع السطح: أعطينا الحد الأقصى دور القيمة التي يحتاجها هذا الصف، مع أن الحاجة أقل منه في الحالة التي أعلنها السؤال.

f_s,max = 0.40 × 20 = 8 N; |f_s| ≤ 8 N

الحالة الأولى: ساكنة تحت السحب ستة

الكتلة في هذه البداية ساكنة على السطح، والسحب الوحيد غير الاحتكاك أفقي إلى اليمين بمقدار ستة نيوتن. لمنع الانزلاق إلى اليمين يحتاج الاتزان إلى ستة نيوتن نحو اليسار. نقارن الطلب بالحد ثمانية فنجد أنه أقل منه، ولذلك يكون الاحتكاك سكونيًا بمقدار ستة، وتكون المحصلة الأفقية صفرًا. لم نستخدم المعامل الحركي لأن الانزلاق غير موجود في هذه البداية.

وباختيار اليمين موجبًا، السحب موجب ستة والاحتكاك سالب ستة. القوة العمودية والوزن يتوازنان رأسيًا كذلك، ضمن الشروط التي وضعناها. ذكر الاتجاه مع المقدار يحمي الجواب من عبارة احتكاك ستة وحدها إذا كان السؤال عن المتجه أو المحصلة. أما معامل السكون أربعة أعشار فظل حدًا لاستجابة ممكنة، ولم يتغير إلى ثلاثة أعشار لأن القوة الفعلية كانت ستة على عشرين.

يمكن أن تبقى هذه الكتلة ساكنة في النموذج ما دام السحب والشروط كما وصفناها، لكن ذلك لا يقول إن سحب ستة عاجز عن وجود حركة في أي بداية أخرى. في الحالتين التاليتين سنعطي سرعة انزلاق موجودة من قبل، ونستعمل المعامل الحركي. الفرق في معلومة الحالة يكفي لتغيير الجواب، مع الاحتفاظ بالكتلة والسطح ورقم السحب نفسه.

الحالة الثانية: تنزلق أصلًا إلى اليمين

في النموذج البسيط أثناء الانزلاق، مقدار الاحتكاك الحركي يساوي معامل الانزلاق مضروبًا في القوة العمودية، واتجاهه يعاكس الانزلاق النسبي. [2]

نضرب ربعًا في عشرين فنحصل على خمسة نيوتن. بما أن الكتلة تنزلق إلى اليمين على السطح الثابت، فالخمسة إلى اليسار. المحصلة الأفقية ستة ناقص خمسة، أي نيوتن واحد إلى اليمين؛ قسمتها على كتلة اثنين تعطي نصف متر لكل ثانية مربعة إلى اليمين. هنا السرعة والتسارع في الجهة نفسها، فتزداد سرعتها في النموذج ما دامت هذه الشروط مستمرة.

لا نصحح الاحتكاك إلى ستة كي نجعل المحصلة صفرًا لمجرد أن السحب كان ستة في الحالة الساكنة. الحالة الجديدة تنزلق ومعاملها الحركي معلوم، فلا نستعمل استجابة السكون حين لا يتحقق شرطها. وكذلك لا نسمي النيوتن الواحد قوة الاحتكاك، لأنه فرق بين السحب والاحتكاك. كل خانة في الرسم والجدول تسمى بالقوة أو المحصلة التي حسبناها بالفعل.

f_k = 0.25 × 20 = 5 N; F_net = 6 − 5 = 1 N; a = 1/2 = 0.5 m/s²

الحالة الثالثة: تنزلق أصلًا إلى اليسار

نحتفظ بالسحب ستة إلى اليمين، لكننا نختار سرعة انزلاق أولية إلى اليسار في هذا المثال المستقل. الاحتكاك الحركي الآن خمسة إلى اليمين لأنه يعاكس تلك السرعة بالنسبة إلى السطح الثابت. يجتمع السحب والاحتكاك في اتجاه واحد، فتكون المحصلة أحد عشر نيوتن إلى اليمين. القسمة على كتلة اثنين تعطي تسارع خمسة ونصف متر لكل ثانية مربعة في الجهة نفسها.

يمكن أن تكون قوة الاحتكاك في جهة السحب من دون تناقض، لأن جهتها في هذه البداية تتبع الانزلاق الذي فرضناه، لا الجهة التي يريد السحب دفع الكتلة نحوها. ربما اكتسبت الكتلة الحركة اليسارية من حالة سابقة؛ لا نحتاج شرحًا تفصيليًا لها لأن السؤال قدم السرعة بوصفها معلومة البداية. لا نخترع قوة يسارية إضافية في اللحظة التي نحسبها لكي تتوافق معها السرعة الموجودة.

ولأن السرعة يسارية والتسارع يميني، تتناقص سرعة الانزلاق اليساري في المقدار حتى تصل إلى الصفر وفق هذا النموذج. لا يعني وجود محصلة يمينية أن الجسم صار يتحرك يمينًا فورًا. اتجاه التسارع يحدد تغير السرعة، لا يمحو سرعتها السابقة لحظيًا. الرسم الرئيسي يفصل سهم سرعة البداية عن أسهم القوى حتى لا نضع السرعة في جمع نيوتن كما لو كانت قوة أخرى.

F_net = 6 + 5 = 11 N; a = 11/2 = 5.5 m/s²; initial v points left

بعد الصفر نعيد فحص حالة التلامس

عندما يتوقف الانزلاق اليساري في الحالة الثالثة، لا نستمر آليًا في إعطاء الاحتكاك خمسة إلى اليمين بعد أن غاب الانزلاق. نختبر إمكان السكون تحت سحب ستة إلى اليمين. يحتاج الاتزان إلى ستة إلى اليسار، والحد ثمانية يسمح بذلك. لذلك تستطيع الكتلة أن تبقى ساكنة في النموذج عند هذه الشروط، بدل أن تنعكس إلى اليمين لمجرد أن التسارع قبل التوقف كان يمينيًا.

انتقلنا من وصف حركي قبل التوقف إلى اختبار سكوني عنده. تختلف جهة الاحتكاك وقيمته لأن القيد الذي نريد تحقيقه اختلف: كان يعارض انزلاقًا يساريًا قائمًا، ثم صار يمنع بدء انزلاق يميني تحت القوة الباقية. هذا ليس تبديلًا عشوائيًا للمعامل لتناسب النتيجة؛ إنه قراءة لحالة السطحين بحسب المعلومة التي حدثت في المقارنة، مع بقاء بقية الفرضيات معلنة.

ولا نحسب زمن التوقف لأننا لم نعط مقدار السرعة الابتدائية، ولا ندعي تصوير لحظة تغير القوة في تجربة فعلية. المقارنة تكفي لتوضيح ما يجب مراجعته عندما تتغير حالة الانزلاق. إذا أضاف سؤال سرعة معلومة أو قوة تتغير مع الوقت أو سطحًا متحركًا، فسيحتاج حلًا يراعي تلك المعطيات. لا يستبدل جدولنا المختصر وصف كل تاريخ حركة ممكن.

ثلاثة صفوف للسحب نفسه

يجمع الجدول الكتلة والعمودية والمعاملات والسحب نفسها، ثم يغير معلومة واحدة عن البداية. في السكون يظهر احتكاك سالب ستة ومحصلة صفر، وفي الانزلاق اليميني يظهر سالب خمسة ومحصلة موجب واحد، وفي الانزلاق اليساري يظهر موجب خمسة ومحصلة موجب أحد عشر. الإشارة تخص محور اليمين الموجب الذي اخترناه؛ مقادير القوتين السكونية والحركية ليست أرقامًا سالبة بذاتها.

إذا حذفنا عمود الحالة من الورقة ثم طلبنا الاحتكاك من رقم سحب ستة وحده، لم يعد الجواب واحدًا لهذه البدائل. نحتاج معرفة هل يوجد انزلاق وفي أي اتجاه بالنسبة إلى السطح. ومع المعاملات المعلومة، تظل هذه المعلومة ضرورية لاختيار الجهة والصيغة. جدول صحيح بلا اسم الحالة قد يخفي السؤال الذي جعل كل نتيجة فيه صحيحة، حتى إن كانت جميع وحداته مكتوبة جيدًا.

ومن المفيد مراجعة صفوفه قبل قراءة التسارع: اجمع القوى الأفقية بإشاراتها، ثم قسم المحصلة على الكتلة. تحقق أيضًا أن العمودية لم تتغير في إحدى الصور من غير قوة رأسية جديدة. لا تقارن السرعة والتسارع بوصفهما اسمًا واحدًا؛ الصف الثالث مثال ظاهر لاختلاف جهتيهما، بينما يبين الصف الأول أن الحد الأقصى المتاح يمكن أن يكون أكبر من القوة التي استعملت فعلًا.

العتبة ليست أمرًا بالحركة في كل بداية

نغير قوة السحب في أمثلة ساكنة مستقلة مع بقاء الحد ثمانية. عند سحب اثنين يحتاج السكون إلى احتكاك اثنين في الاتجاه المقابل. وعند سحب ثمانية يحتاجه عند حده الأقصى، فيسمح نموذجنا بحالة حدية ساكنة. أما عند سحب تسعة فالطلب تسعة أكبر من الثمانية المتاحة، فلا يوافق فرض بقاء السكون الشروط نفسها. لم نقل إن كل مساواة بالحد تعني سرعة غير صفرية بالفعل.

إذا أصبحت الكتلة بعد الحالة الأخيرة منزلقـة إلى اليمين، يصفها المعامل الحركي ربع، فيكون الاحتكاك خمسة، والمحصلة تسعة ناقص خمسة تساوي أربعة نيوتن. تسارعها في تلك المرحلة متران لكل ثانية مربعة. نحدد أنها مرحلة انزلاق بدل إعطاء التسعة للساكن ثم تحويلها إلى قيمة احتكاك تتجاوز حده. هذا الفصل يمنع استخدام نموذجين في صف واحد من غير بيان الحالة التي انتقلنا إليها.

وقارن سحب خمسة في بداية ساكنة وفي انزلاق يميني موجود. في السكون يستطيع الاحتكاك أن يوازن الخمسة. وفي الانزلاق، مقدار الاحتكاك الحركي خمسة أيضًا، فتكون المحصلة صفرًا مع سرعة غير صفرية ثابتة في هذا المثال. تساوي المحصلة بالصفر لا يخبرنا وحده إن كانت الكتلة ساكنة أم تسير بسرعة ثابتة؛ معلومة البداية ما زالت مهمة حتى حين اتفقت الأرقام النهائية.

اجمع القوى الأخرى قبل طلب الاحتكاك

نؤلف حالة ساكنة فيها قوتان غير الاحتكاك: سبعة نيوتن إلى اليمين وثلاثة إلى اليسار. مجموعهما أربعة إلى اليمين، ولذلك يحتاج السكون إلى أربعة إلى اليسار من الاحتكاك. الحد ثمانية يكفي، ولا نجعل الاحتكاك سبعة لأنه يعاكس القوة الأكبر وحدها. هذه مقارنة تبين أن استجابة السكون تقرأ مجموع القوى المماسية المطلوبة، لا اسم سحب منفرد في جملة طويلة.

أما إن كانت الكتلة في الحالة نفسها منزلقـة إلى اليمين، فسيبقى الاحتكاك الحركي خمسة إلى اليسار وفق المعامل والعمودية المختارين. تصبح المحصلة سبعة ناقص ثلاثة ناقص خمسة، أي سالب نيوتن واحد، فيكون التسارع نصف متر لكل ثانية مربعة إلى اليسار مع سرعة يمينية عند البداية. لا نعكس سرعة الكتلة فورًا من علامة هذا الناتج، بل نصفها بأنها تتباطأ في تلك المرحلة.

تعالج هذه الأمثلة قوى أفقية فقط؛ لو كانت إحدى القوتين مائلة فسوف تحمل مركبة رأسية قد تغير العمودية. لا نستعمل رقم عشرين الذي ثبتناه من دون مراجعة شرطه عندئذ. اخترنا القوى الأفقية حتى نبقي المقارنة في حالة التلامس والاتجاه، ونفصلها عن درس السحب المائل. معرفة ما ثبتناه في النموذج تتيح للقارئ ألا ينقل جوابًا إلى ترتيب قوى مختلف لم نعطه.

السكون دون الحد لا يقيس المعامل وحده

إذا أخبرك سؤال أن الكتلة ساكنة تحت سحب ستة وأن العمودية عشرون، فهذا يبين أن الحد المتاح لا يقل عن ستة. من ثم يكون المعامل السكوني على الأقل ثلاثة أعشار في النموذج، لكنه ليس بالضرورة مساويًا لهذا الرقم. في مثالنا المعلن كان أربعة أعشار، واتفق مع السكون لأن الحد ثمانية. قوة الاحتكاك الفعلية دون الحد لا تعطي قيمة الحد الأقصى من تلقاء نفسها.

أما إذا كانت قوة الاحتكاك الحركي المعلومة خمسة والعمودية عشرين، فقسمتهما تعيد المعامل الحركي ربعًا في الصيغة التي افترضناها. تختلف هنا طبيعة العلاقة التي استعملناها عن متباينة الحد السكوني. لذلك اكتب أي معامل تحاول استرجاعه ومن أي مرحلة جاءت بيانات القوة. وحدة المعامل بلا أبعاد، لكن غياب الوحدة لا يجعل كل قسمة قوة على قوة تقديرًا للمقدار نفسه.

هذه نتائج من معطيات مثالية اخترناها، وليست قياسًا لنابض أو مادة أو مراجعة لحساس. في تجربة فعلية يحتاج تفسير حد بدء الانزلاق ومعامل أثناء الانزلاق إلى طريقة وشروط وبيانات أخرى. لا نستنتج أن سطحًا يحقق رقمًا معينًا لأن شكله يشبه الرسم، ولا نعلن المعامل ثابتًا خارج المجال الذي وصفه النموذج. نحافظ على التمييز بين مثال الحساب وقياس خاصية تجريبية.

المقدار والاتجاه والوحدة تبقى منفصلة

نكتب مقدار الاحتكاك الحركي خمسة نيوتن في كلا الانزلاقين، لكن مركبته سالب خمسة في اليمين وموجب خمسة في اليسار. الإشارة تعطي اتجاهه على المحور، ولا تصف معاملًا سالبًا أو مقدار قوة سالبًا. وبالمثل المحصلة موجب أحد عشر ليست دليلًا أن الاحتكاك نفسه أحد عشر؛ فهي جمع السحب والاحتكاك في صف الانزلاق اليساري. سمّ كل رقم بالكمية التي حسبتها.

عند ضرب معامل بلا وحدة في عمودية بالنيوتن يبقى ناتج القوة بالنيوتن، ثم عند قسمته على كتلة بالكيلوغرام نكتب التسارع بالمتر لكل ثانية مربعة. لا تكتب وحدة سرعة لهذا الناتج؛ السرعة معلومة حالة أولية في مقارنة الاتجاهات هنا. ولا تضف سهمها إلى مخطط القوى بأطوال توحي أنه يدخل مع جمع النيوتن. نفرق في الرسم بين رمز سرعة البداية والقوى الحقيقية والمحصلة المحسوبة.

يمكن عرض الأرقام بالمقادير والجهات لفظيًا إذا كانت الإشارات مربكة للمتعلم، ثم الانتقال إلى المحور الموجب للجمع. احتكاك خمسة إلى اليسار مع سحب ستة إلى اليمين يعطي نيوتنًا إلى اليمين؛ واحتكاك خمسة إلى اليمين معه يعطي أحد عشر في الجهة نفسها. هاتان العبارتان تعيدان الحساب المتجهي قبل كتابة الرموز، وتظهران لماذا لا تكون الجهة نسخة من اسم القوة الخارجية دائمًا.

ابدأ كل حل بسطر يصف الحالة

اكتب هل الكتلة ساكنة بالنسبة إلى السطح أو منزلقـة عليه، ثم حدد الاتجاه إن كان هناك انزلاق. راجع القوى التي تحدد العمودية قبل أي ضرب بالمعامل. في السكون احسب الطلب وقارنه بالحد؛ وفي الانزلاق طبق النموذج الحركي المناسب واتجاهه. بعد ذلك اجمع القوى الأفقية واحسب التسارع، مع الاحتفاظ بسرعة البداية معلومة مختلفة عنه. هذا السطر الأول يحسم أي صف من مقارنتنا نريد حله.

وللتدريب، احذف من الجدول اسم الحالة واطلب من نفسك تبرير كل نتيجة، ثم أعده لترى المعلومة الناقصة. قارن السحب ستة في السكون والانزلاقين، وبعدها اكتب ما تتغير إليه الحالة عند توقف الانزلاق اليساري. أخيرًا أدخل القوتين سبعة وثلاثة وراجع المحصلة قبل الاحتكاك وبعده. لا تكفي حفظ قيمتي ثمانية وخمسة من المعاملين إذا غابت معرفة ما يمثله كل منهما.

بهذه المقارنة يبقى الحد السكوني حدًا، والاحتكاك الحركي مرتبطًا بانزلاق معلن، والسرعة منفصلة عن التسارع. كل جواب يرجع إلى كتلة وسطح ومرجع وشروط معروفة، ولا يتحول إلى قاعدة تقول إن الاحتكاك يوقف كل جسم أو يعاكس كل قوة كيفما كان ترتيبها. إذا تغير السطح أو دخلت حركة نسبية أخرى أو دحرجة، فابدأ تحليلًا يناسبها بدل نقل أسماء صفوف هذا المثال إليها تلقائيًا.