استرجاع الطول الطبيعي للنابض: قوتان وقراءتان للطول

أي طول وضعه الجدول في الخانة؟

استخراج الطول الطبيعي للنابض من قوتين يحتاج قراءة الطول الكلي بطريقة تختلف عن قراءة الاستطالة. سنؤلف جدولًا يعطي قوة موازنة مقدارها سبعة ونصف نيوتن عند طول واحد وعشرين سنتيمترًا، وسبعة عشر ونصف عند طول خمسة وعشرين. نريد أن نستعيد ثابت النابض وطوله الطبيعي، لا أن نقسم كل قوة على الطول المكتوب ونسمّي الناتج ثابتًا. نختار نموذج نابض خطي أفقي، طرفه الأول مثبت، والقوى على محوره محددة، والأرقام مثالية بلا خطأ قياس. بعد حل الحالة نغير فرضًا واحدًا عن صفر قراءة القوة، حتى يظهر أي استنتاج كان يعتمد عليه. المقال والرسمان للشرح الحسابي، ولا يصفان اختبار نابض حقيقي أو معايرة جهاز.

قانون هوك يصف القوة المعيدة بإزاحة عن الوضع الطبيعي، لا بطول النابض الكلي. ثابت القوة يرتبط بالصلابة ووحدته نيوتن لكل متر. [1]

نسمي الطول الكلي لام، والطول الطبيعي لام صفر، والإزاحة الفرق بينهما. إذا كان طول النابض اثنين وعشرين سنتيمترًا وطوله الطبيعي ثمانية عشر، فإزاحته أربعة سنتيمترات في التمدد. العدد اثنان وعشرون يصف المسافة الكاملة بين مرجعي الطرفين، بينما الأربعة تصف التغير الذي دخل العلاقة. لا يحل أحد الرقمين محل الآخر من تشابه وحدة القياس.

وفي جدولنا الأول لم نكتب الطول الطبيعي؛ أردنا استرجاعه من العلاقة بين القوة والطول. لهذا لا يجوز أن تفترضه صفرًا لمجرد أن المحور يبدأ من رقم موجب أو لأن عمودًا آخر غاب من الورقة. ضع في رأس كل عمود هل هو طول كامل أم فرق عن مرجع، ثم اختر المعادلة المناسبة. هذه التسمية تمنع الوصول إلى ثابت مختلف في كل صف رغم أن الحالة اختارت نابضًا خطيًا واحدًا.

x = L − L₀

اسم القوة يحدد إشارة الخط

القوة المعيدة في قانون هوك تعاكس الإزاحة؛ الإشارة السالبة تصف الاتجاه في محور محدد. [1]

نختار زيادة الطول جهة موجبة، ونكتب قوة النابض سالب الثابت مضروبًا في الإزاحة. أما القوة التي سنستعملها في الجدول فهي قوة موازنة خارجية اخترناها للإبقاء على الحالة ساكنة، لا القوة المعيدة نفسها. عندما يكون التمدد موجبًا تكون الموازنة موجبة في هذا المرجع، ويكون ميلها مع الطول موجبًا. إذا رسمنا قوة النابض بدلها، تنعكس إشارات القيم والميل.

نفترض أن على محور النابض قوتين فقط في هذه المسألة، وأنهما تتوازنان. لا نضيف احتكاكًا أو حمولة أخرى ثم نحذفها من المعادلة، ولا ننقل المرجع الطبيعي إلى موضع اتزان نابض رأسي محمل بوزن من دون حساب. اختيار نموذج أفقي محدد يجعل السؤال عن طول طبيعي ممكنًا بالمعطيات التي قدمناها. اسم القوة وشروط الموازنة يسبقان تفسير الرسم أو قراءة الثابت من ميله.

F_s = −k(L − L₀); F_hold = k(L − L₀)

خذ الفرق قبل محاولة إيجاد الصفر

نكتب الصفين كما أعطيناهما: قوة الموازنة سبعة ونصف عند طول واحد وعشرين، وسبعة عشر ونصف عند طول خمسة وعشرين سنتيمترًا. الفرق في القوة عشرة، والفرق في الطول أربعة سنتيمترات. نقسم عشرة على أربعة فنحصل على اثنين ونصف نيوتن لكل سنتيمتر. هذا ميل علاقة القوة التي سميناها بالطول الكلي، وهو ثابت النموذج في هذه الفرضية.

اختفى الطول الطبيعي من طرح المعادلتين لأنه كان المقدار نفسه في الصفين. لم يكن علينا معرفة الاستطالة لكل صف قبل حساب الميل من الفرقين. لكن ذلك لا يجعل الطول الطبيعي صفرًا أو غير مهم؛ إنما أجّلنا استرجاعه إلى الخطوة التالية. طريقة الفروق تستفيد من ثبات المرجع بين حالتين، وتفشل إذا خلطنا جدولين لنابضين مختلفين أو بدلنا معنى القوة دون توضيح.

يمكن عكس ترتيب الصفين في الطرح، فتصير الفروق سالب عشرة وسالب أربعة ويظل حاصل القسمة موجبًا اثنين ونصف. أما إن قلبت ترتيب البسط وحده فسيظهر ميل بإشارة لا توافق اسم القوة في المثال. احتفظ بالترتيب نفسه في فرق القوة وفرق الطول، ثم اكتب وحدة الناتج. علامة الميل تحتاج إلى المحورين والكمية المعروضة، لا إلى الأعداد مجردة.

k = (17.5 − 7.5)/(25 − 21) = 2.5 N/cm = 250 N/m

أعد الطول الطبيعي من الصف الأول

للقوة سبعة ونصف نيوتن وثابت اثنين ونصف لكل سنتيمتر، الاستطالة ثلاثة سنتيمترات. نطرح الثلاثة من الطول الكلي الواحد والعشرين، فيبقى ثمانية عشر. هذه هي قيمة الطول الطبيعي في نموذجنا بلا إضافة على صفر القوة. الفرق الذي حسبناه ليس طول النابض كله، ولذلك لا نكتب أن النابض الطبيعي ثلاثة سنتيمترات من عملية قسمة القوة على الثابت فقط.

وفي كتابة المعادلة نستعيد لام صفر من الطول ناقص القوة مقسومة على الثابت. إذا استعملت الثابت بوحدة نيوتن لكل متر، فستحصل على إزاحة ثلاثة أجزاء من مئة متر، ويجب أن يكون الطول الكلي في وحدة المتر أيضًا قبل الطرح. أما باستعمال نيوتن لكل سنتيمتر فنطرح ثلاثة سنتيمترات من الواحد والعشرين مباشرة. الطريقتان تتفقان عند الحفاظ على الوحدات.

لا نحتاج إلى تقريب الكسر في هذا المثال لأن النتائج المختارة دقيقة وبسيطة. اترك خطوة القسمة واسم الناتج ظاهرتين حتى يستطيع القارئ مراجعة أين انتقلنا من القوة إلى الإزاحة ثم إلى طول طبيعي. الناتج ثمانية عشر يحمل وحدة طول، والثابت اثنان ونصف يحمل وحدة قوة لكل طول. اختلاف الوحدتين يساعد على كشف جواب خلط بين المطلوبين رغم صحة بعض العمليات.

x₁ = 7.5/2.5 = 3 cm; L₀ = 21 − 3 = 18 cm

الصف الثاني يراجع المرجع نفسه

نأخذ سبعة عشر ونصف ونقسمها على اثنين ونصف، فنحصل على سبعة سنتيمترات استطالة. طرح السبعة من طول خمسة وعشرين يعطي ثمانية عشر أيضًا. اتفق الطول الطبيعي المسترجع من الصفين، وهذا فحص للعمليات داخل النموذج الذي اخترناه. لا نقول إننا قسنا الطول الطبيعي مباشرة؛ استنتجناه من علاقة معلنة وبيانات مؤلفة ثم راجعنا أنه يطابق كليهما.

أعد التعويض بالطول الطبيعي في المعادلة الأصلية: الفرق بين واحد وعشرين وثمانية عشر ثلاثة، وقوته سبعة ونصف. والفرق بين خمسة وعشرين وثمانية عشر سبعة، وقوته سبعة عشر ونصف. هذا الاختبار أقوى من قراءة الرقم النهائي وحده، لأنه يربط النتيجة بالصفين وباسم القوة. إذا عاد أحد الصفين ولم يعد الآخر، فراجع القسمة أو الطرح أو كون النموذج يصف المعطيات أصلًا.

ويمكن تقديم الجدول بثلاث خانات للمدخلات والمسترجع: الطول الكلي، وقوة الموازنة، والإزاحة بعد معرفة المرجع. لا تتعامل مع خانة الإزاحة كما لو أنها كانت معلومة مستقلة منذ البداية. نشير إلى أنها ناتج من طرح الطول الطبيعي المستنتج. بذلك يوضح ترتيب الحل ما استخدمناه فعلًا لا مجرد صفوف ممتلئة أعدنا ترتيبها بعد معرفة الجواب.

لماذا لا يصلح حاصل القوة على الطول؟

إذا قسمت سبعة ونصف نيوتن على واحد وعشرين جزءًا من مئة متر، تحصل على نحو خمسة وثلاثين وواحد وسبعين جزءًا من مئة نيوتن لكل متر. ومن الصف الثاني تحصل على سبعين. النتيجتان مختلفتان ولا تساويان مئتين وخمسين؛ استعملتا الطول الكلي مقامًا بدل الإزاحة من ثمانية عشر سنتيمترًا. تشابه وحدة الناتج مع وحدة الثابت لم يجعل الحساب صحيحًا.

في رسم القوة على الطول الكلي لا نبدأ الخط من الطول صفر والقوة صفر. تقاطع الصفر في نموذجنا عند ثمانية عشر سنتيمترًا. أخذ القوة على الطول يربط كل نقطة بأصل المحور الصفري للطول، بينما الميل المطلوب يتبع تغير القوة مع تغير الطول على الخط نفسه. الرسم الثاني يبين نقطة الصفر الصحيحة والنقطتين المعطاتين، ولا يدعي أنه رسم نتائج جهاز.

ولو كان الجدول يقدم استطالة مقاسة من الوضع الطبيعي فعلًا، لأصبحت قسمة قوة الموازنة على الإزاحة طريقة مناسبة في الحالة الخطية ذات الصفر الصحيح. الخطأ لم يكن في فكرة القسمة من حيث المبدأ، بل في هوية المقام الذي حملناه إليها. اقرأ ما يصفه العمود قبل اختيار الصيغة، ثم اختبر إن كانت نتيجة الصفوف المتعددة تتفق مع الفرض الذي أعلنه السؤال.

نقطة ثالثة تختبر جوابًا لا كل مجال

نتنبأ لقوة الموازنة عند طول ثلاثة وعشرين سنتيمترًا: الإزاحة خمسة، وضربها في اثنين ونصف يعطي اثني عشر ونصف نيوتن. هذه نتيجة من الخط المسترجع داخل مثالنا. فإذا قدم السؤال نقطة ثالثة مقدارها اثنا عشر ونصف عند الطول نفسه، فإنها تتفق معه. لا تجعل هذا الاتفاق إثباتًا أن نابضًا فعليًا سيبقى خطيًا عند أي إزاحة خارج المجال الذي ندرسه.

أما لو كانت القوة الثالثة إحدى عشرة، فالفرق عن التنبؤ سالب واحد ونصف نيوتن. في جدول مثالي يطلب خطًا واحدًا دقيقًا لكل الصفوف، تكون النقطة غير متوافقة مع الخط الذي حدده الصفان الأولان. لا نغيرها إلى اثني عشر ونصف ثم نسمي البيانات صحيحة؛ نسمي الاختلاف ونراجع الفرض أو المعطى. وإذا كانت قياسات فعلية، فبحث خطئها وتقريبها يحتاج معلومات لا يحملها مثالنا العددي.

نقطتان مختلفتان تكفيان لتحديد خط حسابي، لكنهما لا تختبران شكل العلاقة بينهما أو بعدهما من تلقاء نفسيهما. نحن استخدمنا الخطية بوصفها شرطًا معطى للنموذج، ثم اشتققنا المعاملات. عند الانتقال إلى بيانات جديدة، اسأل هل المطلوب حل نموذج مفروض أم اختبار نموذج بقراءات وتفاوتات. لا يعوض سهولة رسم مستقيم في الحالتين هذا الفرق في قوة الاستنتاج.

معطى واحد يقبل أكثر من نابض

احتفظ فقط بالصف الذي يعطي سبعة ونصف نيوتن عند طول واحد وعشرين سنتيمترًا. إذا اخترنا ثابتًا مئة وخمسين نيوتن لكل متر، فالاستطالة خمسة سنتيمترات والطول الطبيعي ستة عشر. وإذا اخترنا ثابتًا ثلاثمئة، فالاستطالة اثنان ونصف والطول الطبيعي ثمانية عشر ونصف. يحقق الخياران الصف الواحد مع اختلاف الثابت والمرجع؛ لذلك لا يسترجع هذا الصف كليهما وحده.

الحالتان البديلتان هنا مستقلتان، وليستا تغييرًا في نابضنا الأصلي الذي حددناه من صفين. نعرضهما لنرى ماذا لم تحسمه المعلومة الناقصة. قد يحدد السؤال الثابت من بطاقة أخرى أو يعطي الطول الطبيعي مباشرة، وعندها يختلف عدد المجهولات. لا تملأ المجهولين بقيمتين تخيلتهما لأن المسألة تبدو سهلة، بل احصر العلاقات التي تملكها والمقادير التي ما زالت تحتاج معلومة.

وبالمثل لا تصلح قراءتان بالطول نفسه والقوة نفسها لتكوين فرق طول غير صفري. القسمة التي حسبنا بها الميل تحتاج طولين مختلفين. إذا تكررت النقطة، فقد زادت مرات ذكرها دون أن تضيف معلومة عن الميل. وإذا أعطى جدول مثالي قوتين مختلفتين عند الطول نفسه تحت الشروط نفسها، فهو لا يطابق علاقة خطية وحيدة من هذا النوع بلا تفسير إضافي.

الانضغاط يحتاج نفس المرجع وإشارة أخرى

نوسع مثالنا حسابيًا إلى مجال معلن من ستة عشر إلى خمسة وعشرين سنتيمترًا، ونفترض أن النموذج الخطي صالح فيه. عند طول ستة عشر تكون الإزاحة سالب سنتيمترين من الطبيعي ثمانية عشر. تصبح قوة النابض موجب خمسة نيوتن، وقوة الموازنة الخارجية سالب خمسة في الاتجاه الذي اخترناه. لا نضع مقدار قوة سالبًا؛ نكتب مقدارها خمسة واتجاهها إلى جهة الانضغاط للموازنة.

وعند الطول الطبيعي ثمانية عشر تكون إزاحة هذا النموذج صفرًا وقوتا المحور المختارتان صفرًا. هذا صفر متعلق بطول طبيعي موجب، وليس دليلًا أن طول النابض اختفى. وعند اثنين وعشرين تصبح قوة الموازنة عشرة موجبة وقوة النابض عشرة في الاتجاه الآخر. يقارن الرسم الرئيسي هذه المواضع على مرجع واحد، بينما ترجع أطوال النابض المختلفة إلى نفس الطرف المثبت.

لا نزعم أن كل نابض يمكن ضغطه إلى هذه المقادير بلا حدود أو أن التشوه يعود خطيًا بعد أي تحميل. اخترنا المجال والشروط للشرح، ولم نختبر مادة أو أداة. إبقاء هذه الحدود ظاهرة يتيح استعمال الإشارات حسابيًا من غير استنتاج قوة مسموحة لتجهيزات فعلية أو دوام علاقة لم نفحصها. مسائل الحركة والطاقة وأزمنة الاهتزاز خارج ما نريد استرجاعه هنا.

إضافة ثابتة إلى قراءة القوة تغير تفسير الصفر

نؤلف تفسيرًا بديلًا للأرقام نفسها: لنقل إن الخانة تعرض قراءة بها إضافة ثابتة أربعة نيوتن، لا قوة الموازنة الحقيقية مباشرة. نطرح الأربعة من سبعة ونصف ومن سبعة عشر ونصف، فنحصل على ثلاث ونصف وثلاث عشرة ونصف. فرق القوتين ما زال عشرة، فيبقى الميل اثنين ونصف لكل سنتيمتر. لكن الطول الطبيعي يصبح واحدًا وعشرين ناقص ثلاث ونصف على اثنين ونصف، أي تسعة عشر وستة أعشار سنتيمتر.

إذن بقاء الميل لا يحمي تفسير نقطة الصفر المقاسة من إضافة ثابتة في القراءة. في هذا النموذج البديل قطع خط القراءة الصفر عند ثمانية عشر كما كان، لكنه لا يصف صفر قوة النابض؛ عند الطول الطبيعي تسعة عشر وستة أعشار تكون القراءة أربعة. نحتاج معرفة هذه الإضافة أو شرطًا يستبعدها قبل تسمية تقاطع خط القراءة طولًا طبيعيًا. لا نفترض أن جهازًا حقيقيًا يحملها؛ إنها كمية معلنة في تمرين مستقل.

وبالجبر، إذا كتبت القراءة قوة الموازنة زائد إضافة مجهولة، فإن معادلة الخط تجمع تأثير الإضافة والطول الطبيعي في الجزء الثابت. النقطتان تحددان ذلك الجزء والميل، ولا تفصلان سببيه دون معلومة أخرى. هذا يوضح لماذا أعلنّا في المثال الأول أن القوة محددة بلا انحراف صفر. الشرط لم يكن عبارة زائدة؛ كان ما سمح بتفسير المرجع الذي استرجعناه من الخط.

F_read = k(L − L₀) + b; b = 4 N; L₀ = 21 − (7.5 − 4)/2.5 = 19.6 cm

تغيير مرجع الطول يحرك الرقم لا النابض

لتمرين آخر، افترض أن خانة الطول تزيد على المسافة بين مرجعي طرفي النابض بسنتيمتر واحد في كل صف. نطرح هذا الواحد من واحد وعشرين وخمسة وعشرين، فيصيران عشرين وأربعة وعشرين. فرق الطولين بقي أربعة، والثابت بقي كما كان. أما الطول الطبيعي بالنسبة إلى مرجعي الطرفين فيصبح سبعة عشر بدل الثمانية عشر التي استخرجناها من خانة الطول الأولى.

مرة أخرى لا نغير النابض فعليًا بإعادة تسمية المرجع. نسأل أي مسافة حملتها الأرقام. فرق الإزاحات تحت مرجع واحد يحفظ الميل، بينما قيمة طول مطلق تحتاج أن نعرف أين تبدأ وأين تنتهي القراءة. إذا كان السؤال يعلن قياسًا بين طرفين محددين، نستعمله؛ وإن كانت الخانة موضع طرف على مسطرة لا طولًا بين الطرفين، فقد تحتاج معرفة موضع الطرف المثبت قبل الاسترجاع.

ولا نخلط هذا المثال بإضافة الأربعة نيوتن السابقة دون أن نكتب نموذجًا يجمع الفرضين. كل مقارنة هنا غيرت شرطًا واحدًا لتفسير أثره. في ورقة العمل دوّن مرجع القوة ومرجع الطول ووحدتيهما، ثم قارن الأرقام. يحمي ذلك النتيجة من تغير لم يظهر في قيمة الفروق لكنه ظهر في معنى نقطة الصفر أو الطول الطبيعي الذي طلب السؤال.

راجع الصفوف والأسماء قبل تسليم النتيجة

في الاتزان الانتقالي تكون محصلة القوى الخارجية صفرًا؛ لذلك يجب أن يتوافق اسم القوة التي نحسبها مع القوى التي أبقيناها في النموذج. [2]

لجواب مثالنا الأول، اكتب الثابت اثنين ونصف نيوتن لكل سنتيمتر أو مئتين وخمسين لكل متر، والطول الطبيعي ثمانية عشر سنتيمترًا. أعد الصفين إلى العلاقة، واذكر أن القوة المعطاة موازنة ساكنة بلا إضافة على صفرها، والطول بين مرجعي الطرفين. لا تستبدل هذه المعلومات بعبارة قانون هوك وحدها؛ الثابت المسترجع والمرجع الطبيعي يعتمدان على شكل البيانات والشروط التي جعلت الخط مناسبًا.

وللتدريب، ابدأ من الصفين الأصليين ثم أخفِ أحدهما، أو أضف نقطة ثالثة، أو صرح بإضافة ثابتة في قراءة القوة. في كل مرة حدد ما بقي ممكنًا من الاسترجاع وما يحتاج معلومة أخرى. هكذا يصبح الفرق بين الطول والاستطالة والميل وتقاطع الصفر قابلًا للفحص بالأعداد، وتبقى النتيجة مرتبطة بالمعطى الصحيح بدل قسمة قوة على طول ظاهر في الجدول كيفما كان تعريفه.