القطوع المخروطية: الفرق بين الدائرة والناقص والمكافئ والزائد

أربع علاقات هندسية مختلفة

في تعريف الناقص يكون المجموع أكبر من المسافة بين البؤرتين في الحالة غير المنحلة. وفي الزائد نأخذ القيمة المطلقة للفرق لنشمل الفرعين، ويكون الثابت موجبًا وأصغر من المسافة بين البؤرتين. أما بؤرة المكافئ فلا تقع على دليله. ^[1][2][3]

الدائرة حالة خاصة من الناقص عندما يتساوى نصفا المحورين وتتطابق البؤرتان مع المركز. ومع ذلك، من المفيد عرضها منفصلة عند تعلم معادلتها وخصائصها. ^[1][5]

ما الذي تعنيه الرموز في المعادلة؟

لدائرة مركزها (h,k) ونصف قطرها الموجب r نكتب (x−h)² + (y−k)² = r². الأقواس كلها مربعة؛ لا تكتب مربع إحداثي المركز بدل مربع الفرق. ^[5]

في الناقص الأفقي غير المدور، نكتب (x−h)²/a² + (y−k)²/b² = 1 مع a > b > 0. هنا (h,k) المركز، و a و b نصفا المحورين، وليسا إحداثيي المركز. طول المحور الأكبر 2a والأصغر 2b. ^[1]

ولمكافئ رأسه (h,k) ومحوره رأسي، الصورة (x−h)² = 4p(y−k) مع p ≠ 0. إشارة p تحدد اتجاه الفتح، والبؤرة (h,k+p) والدليل y = k−p. الطرف الذي يحوي y في هذه الصورة ليس مربعًا. ^[3]

مثال: ناقص مركزه نقطة الأصل

خذ المعادلة x²/16 + y²/9 = 1. المقام الأكبر تحت x، لذا المحور الأكبر أفقي. نحصل على a = 4 و b = 3، لا على 16 و 9. المركز (0,0)، والرأسان (±4,0)، وطولا المحورين 8 و 6 وحدات.

نحسب البعد c من المركز إلى البؤرة بالعلاقة c² = a²−b² = 16−9 = 7. إذن البؤرتان (−√7,0) و (√7,0). المركز بينهما ولا يساوي إحداهما. ^[1]

للنقطة (0,3) على الناقص تكون المسافة إلى كل بؤرة √(7+9) = 4. المجموع 8، وهو نفسه 2a. هكذا نختبر التعريف الهندسي بحساب بسيط، بدل الاعتماد على انطباع أن الرسم «بيضاوي».

كيف تتجنب تصنيفًا متسرعًا؟

في الصور غير المدورة السابقة يظهر مجموع حدين تربيعيين في الناقص، وفرق في الزائد، وحد تربيعي واحد في المكافئ. لكنها علامة إرشادية ضمن هذه الصور، وليست اختبارًا كاملًا لكل معادلة عامة. قد يوجد حد مختلط xy، وقد توجد حالات منحلة أو لا توجد نقاط حقيقية. ^[4]

مثلًا x² + y² = 0 لا يرسم دائرة ذات نصف قطر موجب؛ مجموعة حله النقطة (0,0) فقط. و x² + y² = −1 لا يملك حلًا حقيقيًا لأن مجموع مربعين حقيقيين غير سالب.

ابدأ بتحديد الصورة القياسية والشروط، ثم ضع المركز أو الرأس والمحاور والبؤر حيث تنطبق. ليس لكل القطوع مركز: المكافئ له رأس ومحور تناظر، ويختلف عن القطع الناقص الذي له مركز وبؤرتان. ^[1][3]