المرشح المطابق: متى يعطي أفضل نسبة للإشارة إلى الضوضاء؟

تصف المراجع المرشح المطابق بأنه يعظم نسبة الإشارة إلى الضوضاء لإشارة معلومة في ضوضاء بيضاء غاوسية. [1] سنثبت النتيجة في مثال صغير، ثم نغير تباين الضوضاء لنرى لماذا لا يكفي اسم المرشح وحده.

الخلاصة السريعة

يعطي اتجاه القالب المعلوم أفضل نسبة خرج خطي في نموذجنا ذي تباين الضوضاء المتساوي والتغايرات الصفرية؛ اختلاف التباين يغير الأوزان المثلى.

نثبت s=[2,1,−2] وx=s+v. الضوضاء بمتوسط صفر، وتباين 4 لكل عينة، وتغاير صفر بين العينات. للخرج T=w·x نعرف SNR=(w·s)²/[4||w||²]، مع w غير صفري؛ الأرقام خطية وليست بالديسيبل.
الأوزان w=s/3 تعطي مساهمة إشارة 3 وتباين ضوضاء 4، فتكون النسبة 9/4. استخدام العينة الأولى وحدها يعطي 1، والأوزان [1,1,1] تعطي 1/12.
برهان مجموع المربعات يعطي (w·s)²≤9||w||²؛ الحد الأقصى 9/4 ويتحقق عندما تكون w مضاعفًا غير صفري لـ s. تكبير جميع الأوزان لا يحسن النسبة لأن البسط والمقام يتضاعفان بالعامل المربع نفسه.
في تنفيذ التفاف لقالب حقيقي، نقلب ترتيبه زمنيًا؛ للإشارة المركبة نأخذ المرافق أيضًا. [1] هنا h=[−2,1,2]، والالتفاف مع s هو [−4,0,9,0,−4]؛ المحاذاة عند فهرس الخرج 2.
إذا صارت تباينات الضوضاء [4,1,4] مع بقاء التغايرات صفرًا، يعطي w=s/3 نسبة 27/11. الأوزان [1/2,1,−1/2] تعطي 3، وهي الحد الأقصى الجديد ببرهان موزون.
حساب نسبة أكبر لا يحذف الضوضاء ولا يثبت احتمال كشف معينًا. برهاننا يستخدم شروط المتوسط والتباين والتغاير ولا يتطلب الغاوسية؛ القالب والمحاذاة ونموذج الضوضاء شروط معلنة.

حدد الخرج الذي تريد تحسينه

يرتبط أفضل أداء للمرشح المطابق في المرجع بإشارة حتمية وضوضاء بيضاء غاوسية. [1]

نختار قالبًا حقيقيًا معلومًا s=[2,1,−2]، بفهارس 0 و 1 و 2، وقيم بلا وحدة فيزيائية. نفترض أن القياس عند المحاذاة هو x=s+v، حيث v متجه ضوضاء عشوائي، لا قائمة قيم مقاسة نعرفها مسبقًا.

نفترض E[vᵢ]=0 وE[vᵢ²]=4 وE[vᵢvⱼ]=0 عندما i≠j. الرمز E يعني المتوسط الاحتمالي. تغاير كل زوج صفر، وتباينات العينات متساوية؛ لا نستنتج استقلالًا من انعدام التغاير.

نختار خرجًا خطيًا واحدًا T=w·x=Σᵢ wᵢxᵢ بمتجه أوزان حقيقي غير صفري. مساهمة الإشارة فيه w·s، ومساهمة الضوضاء w·v. متوسط الضوضاء صفر، وتباينها E[(w·v)²]=4Σᵢwᵢ² لأن الجداءات بين عينتين مختلفتين تتلاشى في المتوسط.

نميز نسبة خطية للإشارة إلى الضوضاء من التعبير عنها بالديسيبل. [2]

للمقارنة هنا نعرف SNR(w)=(w·s)²/[4||w||²]، حيث ||w||² مجموع مربعات الأوزان. البسط مربع مساهمة الإشارة المعلومة، والمقام تباين ضوضاء الخرج. لا نقسم على ضوضاء عينة منفردة، ولا نحسب SNR لسجل كامل أو طيف مقاس.

احسب ثلاثة اختيارات ثم أثبت الحد

مجموع مربعات القالب 2²+1²+(−2)²=9. إذا أخذنا w=s/3=[2/3,1/3,−2/3]، فمجموع مربعات الأوزان واحد. مساهمة الإشارة 4/3+1/3+4/3=3، وتباين الضوضاء 4؛ إذن SNR=3²/4=9/4.

للعينة الأولى وحدها w=[1,0,0]، مساهمة الإشارة 2 والتباين 4، فتكون النسبة 4/4=1. أما w=[1,1,1] فتجمع الإشارة إلى 2+1−2=1، بينما تباين الضوضاء 4×3=12؛ النسبة 1/12. جمع كل القيم دون مراعاة إشارات القالب قد يضعف النتيجة.

لإثبات الأفضلية لأي w، ضع λ=(w·s)/9. مجموع المربعات ||w−λs||² لا يمكن أن يكون سالبًا. بتوسيعه نحصل على ||w||²−(w·s)²/9≥0؛ ومنه (w·s)²≤9||w||².

نقسم على 4||w||² الموجب، فيكون SNR≤9/4. تتحقق المساواة حين w−λs=0، أي عندما تكون الأوزان مضاعفًا غير صفري للقالب. هذا حد لجميع الأوزان الحقيقية في نموذجنا، لا ترتيبًا لثلاثة اختيارات فقط.

لو ضربنا w في عدد حقيقي غير صفري c، تضاعف مربع الإشارة وتباين الضوضاء كلاهما بـ c²، فتبقى النسبة نفسها. مثلًا w=s يعطي إشارة 9 وتباينًا 36؛ النسبة 81/36=9/4 أيضًا. ارتفاع رقم الخرج وحده لا يثبت تحسن النسبة.

شروط المتوسط والتباين والتغاير المذكورة تكفي لهذا البرهان دون افتراض توزيع غاوسي. يمكن تحقيقها بثلاث قيم مستقلة تأخذ كل منها +2 أو −2 باحتمال متساوٍ؛ لا نجري سحبًا عشوائيًا أو تجربة كشف هنا.

لماذا نقلب القالب عند الالتفاف؟

المرشح المطابق نسخة مقلوبة زمنيًا ومرافقة من الإشارة، مع إزاحة تجعل التنفيذ سببيًا. [1]

في قالبنا الحقيقي لا يغير المرافق القيم. نضع h[0]=s[2]=−2، و h[1]=s[1]=1، و h[2]=s[0]=2؛ إذن h=[−2,1,2]. نعتبر ما خارج هذه الفهارس صفرًا، فلا يعتمد التنفيذ على قيم مستقبلية.

نعرف خرج الالتفاف u[n]=Σₖ h[k]x[n−k]. عند n=2 يصبح u[2]=(−2)x[2]+x[1]+2x[0]=s·x. تقليب القالب في معاملات المرشح يعيد ترتيب القراءة الأخيرة لتكون الجداءات مع العينات الأصلية الصحيحة.

مع x=s دون ضوضاء، نحصل على u=[−4,0,9,0,−4]. مثلًا u[0]=−2×2=−4، و u[1]=−2×1+1×2=0، و u[2]=4+1+4=9. وعند 3 و 4 نحصل على 0 و−4.

الفهرس 2 هو موضع المحاذاة لقالب يبدأ عند صفر، بسبب طول المرشح ثلاثة. لا نفسره تأخير انتقال فيزيائيًا بعينتين. الأوزان s/3 في المقارنة السابقة تقابل معاملات h/3 إذا أردنا تطبيع الخرج نفسه.

لا يعيد هذا المرشح المتتالية s كاملة بلا خطأ؛ خرجُه هنا قائمة مختلفة وله قيمة ضوضاء عشوائية عند المحاذاة. لم نحسب عتبة قرار أو احتمال إنذار كاذب، ولم نشغل جهازًا أو برنامج ترشيح.

تغير التباين يغير الأوزان المثلى

نثبت القالب نفسه، لكن نغير النموذج: متوسط الضوضاء صفر، والتغايرات بين العينات صفر، والتباينات عند الفهارس 0 و 1 و 2 هي 4 و 1 و 4. الآن تباين w·v يساوي 4w₀²+w₁²+4w₂².

للأوزان القديمة w=s/3، تبقى مساهمة الإشارة 3، لكن التباين يصير 4(4/9)+1/9+4(4/9)=33/9=11/3. النسبة 9/(11/3)=27/11، وهي أقل من 3.

نختار w=[1/2,1,−1/2]. مساهمة الإشارة 1+1+1=3، والتباين 4(1/4)+1+4(1/4)=3؛ النسبة 9/3=3. أعطينا العينة الوسطى وزنًا أكبر نسبيًا لأن تباين ضوضائها أقل في النموذج الجديد.

لإثبات الحد الجديد ضع p=[2w₀,w₁,2w₂] وt=[1,1,−1]. عندئذ p·t=w·s، و||p||² تباين ضوضاء الخرج، و||t||²=3. توسيع ||p−(p·t)t/3||²≥0 يعطي (w·s)²≤3(4w₀²+w₁²+4w₂²).

إذن لا تتجاوز النسبة 3، وتتحقق المساواة عندما تكون p مضاعفًا غير صفري لـt؛ أي عندما تكون w مضاعفًا لـ [1/2,1,−1/2]. أثبتنا الحد لهذا النموذج غير متساوي التباين تحديدًا، ولا نعممه إلى كل ضوضاء ممكنة.

إذا وجدت تغايرات غير صفرية أو تغير القالب أو المحاذاة، تتغير الفرضيات التي حسبنا بها. تحسين هذه النسبة لا يكفي وحده لضمان قرار كشف صحيح؛ يلزم تعريف القرار ودراسة توزيعه وأخطائه بصورة مستقلة.

عند تباينات [4,1,4]، الأوزان s/3 تعطي 27/11؛ والأوزان [1/2,1,−1/2] تعطي 3. — تغيير نموذج الضوضاء يغير الأوزان التي تبلغ الحد الأعلى المثبت.

نموذج تباين الضوضاء	الأوزان	نسبة الخرج الخطية
[4,4,4]	s/3	9/4
[4,4,4]	[1,0,0]	1
[4,4,4]	[1,1,1]	1/12
[4,1,4]	s/3	27/11
[4,1,4]	[1/2,1,−1/2]	3

للتوسع: التباين والانحراف المعياري.

المراجع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.

حدد الخرج الذي تريد تحسينه

احسب ثلاثة اختيارات ثم أثبت الحد

لماذا نقلب القالب عند الالتفاف؟

تغير التباين يغير الأوزان المثلى

المراجع

اقرأ أيضًا

مقالات عشوائية