تثليثية ماكلورين: كيف تختار تقاطع الشعاع مع الحلقة؟

الخلاصة السريعة

حدد الشعاع من C=(−2,0) واختر تقاطعه مع الحلقة السفلى. عند قياس زاوية الإدخال β وزاوية OP من الاتجاه الأفقي السالب عكس عقارب الساعة، تكون زاوية OP هيβ/3؛ لا تختَر أي تقاطع مع المستقيم أو الفرع الخارجي.

• نختار (1−x)y²=x²(x+3)، والتمثيل x=(t²−3)/(1+t²) وy=tx. [1] كل t حقيقية صالحة؛ الأصل O يأتي عند t=±√3. النقطتان O وC=(−2,0) ثابتتان، وC نقطة مرجعية للزاوية.
• الحلقة تتبع−√3≤t≤√3. الحلقة السفلى لها0＜t＜√3؛ نضع θ=arctan t، فتكون0＜θ＜π/3. المعامل t ليس زاوية أو زمنًا. اتجاه OP من الأفقي السالب هوθ، لأن x وy سالبان على هذا الجزء.
• بالتعويض نجد x+2=−secθcos3θ وy=−secθsin3θ. بما أن secθ موجب، يكون اتجاه CP هو3θ من المرجع الأفقي السالب نفسه. لكل0＜β＜π توجد نقطة واحدة على الحلقة السفلى تحقق3θ=β؛ لا تكفي مساواة ميول مستقيمين.
• عند β=45° نختار t=2−√3، فنجد P=(−1−√3,1−√3). النقطة على الشعاع y=x+2 مع x＜−2، وOP يصنع15° من الأفقي السالب. تحقق المعادلة والاتجاه، لا مجرد وقوعها على الخط.
• المستقيم y=x+2 يقطع المنحنى أيضًا عند Q=(−1,1) وR=(√3−1,√3+1). تقع النقطتان على الشعاع المقابل الخارج من C؛ Q على الحلقة العليا وR على الفرع الخارجي. المعادلة الجبرية لا ترفضهما، لكنهما لا تحلان زاوية الإدخال45°.
• عند β=135°، النقطة الصحيحة U=(−1,−1) تعطي45°. أما V=(√3−1,−√3−1) فهي خارج الحلقة وعلى الشعاع نفسه، لكن زاوية OV تساوي105°. لذلك شرط الحلقة ضروري مع شرط الشعاع. نفترض أن المنحنى متاح مسبقًا؛ هذا ليس وصفًا لإنشاء عام بالمسطرة والفرجار وحدهما.

ثبت المنحنى ونقطتي المرجع

الصيغ المرجعية هي y²=x²(x+3a)/(a−x)، وx=a(t²−3)/(1+t²)، وy=tx. [1] نختار a=1، ونكتب المعادلة دون قسمة: (1−x)y²=x²(x+3). نحافظ على اتجاه المحورين؛ النسخ المعكوسة أو المنقولة من المنحنى تحتاج مرجعًا آخر للزوايا.

التمثيل الوسيطي معرف لكل t حقيقية لأن1+t² موجب. باستعمال x=1−4/(1+t²) نجد1−x=4/(1+t²)، ومنه تتحقق المعادلة بالتعويض. t عدد بلا وحدة، وسنربطه بزاوية لاحقًا دون تسميته زمن حركة.

الأصل O=(0,0) نقطة صحيحة، ويأتي عند t=√3 وعند t=−√3. أما C=(−2,0) فليس نقطة من المنحنى: طرف المعادلة الأيسر صفر والأيمن4. نستعمله رأسًا لشعاع الإدخال فقط، ولا نسميه مركزًا هندسيًا للمنحنى.

نرسم عند O وعند C اتجاهًا مرجعيًا موازيًا للأفقي السالب، ثم نقيس الزوايا عكس عقارب الساعة. من الاتجاه اليساري إلى الاتجاه السفلي يكون الدوران موجبًا بهذا الاتفاق؛ زاوية الإدخال β عند C، وزاوية الناتج θ عند O.

نقارن خطي الموضع CP وOP، لا المماسين عند P. وجود اسم «تثليثية» لا يحدد نقطة التقاطع المناسبة وحده؛ يجب حفظ جهة الشعاع وجزء المنحنى الذي يسمح بالعلاقة المطلوبة.

حدد الحلقة السفلى قبل اختيار النقطة

من المعادلة، إذا x=1 تصبح0=4، فلا حل. وإذا x＜−3 أوx＞1 تكون x²(x+3)/(1−x) سالبة، فلا تساوي y². إذن المجال الحقيقي هو−3≤x＜1؛ عند x=0 نجد y=0 فقط.

لأي حل غير الأصل يكون x≠0. نضع t=y/x، فتصبح (1−x)t²=x+3، ونستعيد x=(t²−3)/(1+t²) وy=tx. الأصل عولج منفصلًا، لذلك التمثيل يشمل مجموعة الحلول كلها.

عندما |t|＜√3 تكون x سالبة. من t=−√3 إلى t=0 نرسم الحلقة العليا من الأصل إلى A=(−3,0)، ومن t=0 إلى t=√3 نرسم الحلقة السفلى من A إلى الأصل. نصف الحلقة السفلي المفتوح يحقق x＜0 وy＜0.

إذا |t|＞√3 تكون x موجبة، فنكون على الفرعين الخارجيين. لا نختار نقطة هناك لمجرد أنها تقع على شعاع الإدخال؛ العلاقة التي سنثبتها لها زاوية θ محصورة بين0 وπ/3 على الحلقة السفلى.

نستبعد طرفي هذا الجزء في قاعدة الزاوية العامة: عند A يكون الإدخال صفرًا، وعند O لا يحدد الشعاع OP اتجاهًا لأن طوله صفر. لذلك ندرس0＜β＜π و0＜θ＜π/3، أي زاوية إدخال بين0° و180° دون الطرفين.

أثبت هوية الاتجاه الثلاثي

على الحلقة السفلى نضع θ=arctan t، فتكون0＜θ＜π/3. لأن t موجب وx سالب، تكون y=tx سالبة كذلك، ويكون اتجاه OP هوπ+θ من الأفقي الموجب، أوθ من الأفقي السالب وفق اتفاقنا.

نحسب متجه CP: x+2=(3t²−1)/(1+t²)، وy=(t³−3t)/(1+t²). نستخدم هويتي الزاوية الثلاثية: cos3θ=(1−3t²)/(1+t²)^(3/2)، وsin3θ=(3t−t³)/(1+t²)^(3/2).

بضربهما في−secθ، حيث secθ=√(1+t²) موجب، نحصل على x+2=−secθcos3θ وy=−secθsin3θ. إذن CP متجه موجب الطول في الاتجاهπ+3θ؛ إشارته محفوظة، وليست مجرد نسبة بين مركبتين.

وبما أن0＜3θ＜π، تكون زاوية CP من الأفقي السالب هيβ=3θ دون إضافة دورة أو نصف دورة. هكذا نحصل علىθ=β/3. لا نعتمد على صيغة ظل وحدها؛ الظل يتكرر كلπ وقد يخلط الشعاعين المتعاكسين.

لكل β في المجال، تحدد θ=β/3 قيمة واحدة، ثم t=tan(β/3) يحدد نقطة واحدة من الحلقة السفلى. والعكس صحيح بالهوية؛ لذلك نقطة التقاطع المطلوبة موجودة ووحيدة داخل هذا الجزء من الحلقة.

هذا البرهان لا يزعم أن الشعاع يقطع المنحنى كله مرة واحدة. الشرط هو الحلقة السفلى تحديدًا. سنرى مثالًا تكون فيه نقطة أخرى من الفرع الخارجي على الشعاع ذاته، فيبقى تمييز الفرع ضروريًا.

افحص مثال45° إلى15° بإحداثيات دقيقة

نختار β=45°=π/4. تكون θ=15°=π/12 وt=tan15°=2−√3. بالتعويض في الصيغ الوسيطية نحصل على P=(−1−√3,1−√3)، وهي إلى يسار C وتحته.

متجه CP هو(1−√3,1−√3)؛ مركبتاه سالبتان ومتساويتان. لذلك يصنع45° من الأفقي السالب في اتجاه الدوران المتفق عليه. ليست الزاوية45° مع الأفقي الموجب، لأن المتجه في الربع الثالث.

ومن P نجد y/x=(1−√3)/(−1−√3)=2−√3. الإحداثيان سالبان، فتكون زاوية OP من الأفقي السالب15°. استخدام النسبة مع معرفة الربع يحفظ اتجاه الشعاع، بينما النسبة وحدها تقبل خطًا متعاكس الاتجاه.

نراجع معادلة المنحنى دون تقريب: x²=4+2√3، وy²=4−2√3، و1−x=2+√3، وx+3=2−√3. كلا الطرفين (1−x)y² وx²(x+3) يساوي2، فتكون P حلًا صحيحًا.

نراجع الشعاع أيضًا: P تحقق y=x+2، ومعها x＜−2. هذان الشرطان يحددان الجهة السفلية اليسرى من C. يوضح الرسم الرئيسي الحلقة وCP وOP مع مرجعين أفقيين وقوسين للزاويتين45° و15°.

ثلاث نقاط على المستقيم لا تعني ثلاثة حلول للزاوية

إذا اكتفينا بمعادلة المستقيم y=x+2، ثم عوضنا في المنحنى، نحصل بعد الترتيب على (x+1)((x+1)²−3)=0. الجذور هي−1−√3 و−1 و−1+√3؛ لكل منها نقطة تقاطع حقيقية.

النقطة الأولى P=(−1−√3,1−√3) هي المطلوبة. والثانية Q=(−1,1) على الحلقة العليا، والثالثة R=(√3−1,√3+1) على الفرع الخارجي. جميعها تحقق y=x+2 ومعادلة المنحنى؛ لا نصف Q وR بحلين جبريين زائفين.

لكن متجهي CQ وCR لهما مركبتان موجبتان؛ يقعان على الشعاع العلوي الأيمن المقابل لشعاع الإدخال. شرط x＜−2 في مثال45° يرفضهما فورًا. وقوع النقطة على المستقيم الحامل لا يحفظ جهة الشعاع.

يعرض الجدول P وQ وR، ثم نقطتي U وV من المثال التالي. النقاط كلها صحيحة للمنحنى؛ عمود الإحداثيات لا يختار نقطة التثليث دون شرط اتجاه وجزء من الحلقة.

في الصورة الداخلية يظهر المستقيم الحامل وأجزاء من المنحنى. نميز شعاع الإدخال المتجه من C إلى أسفل اليسار من الجهة المقابلة التي تضم Q وR. لا نصل الفرعين عبر خط إضافي ونعده جزءًا من المنحنى.

زاوية منفرجة تكشف ضرورة شرط الحلقة

اختر β=135°=3π/4. تكون θ=45°=π/4 وt=1، فتظهر U=(−1,−1) على الحلقة السفلى. متجه CU=(1,−1) يصنع135° من الاتجاه اليساري، ومتجه OU=(−1,−1) يصنع45° منه.

الشعاع الحامل هنا يقع على y=−x−2، ويتجه من C إلى أسفل اليمين. النقطة V=(√3−1,−√3−1) تقع على هذا الشعاع أيضًا: مركبة CV الأفقية√3+1 موجبة، والرأسية سالبها. لكنها على الفرع الخارجي لأن x موجب.

عند V تكون نسبة y/x=−(2+√3). اتجاه OV من الأفقي الموجب285°، فتكون زاويته من الأفقي السالب105°، لا45°. النقطة صالحة جبريًا وعلى الشعاع الصحيح، ومع ذلك لا تعطي ثلث زاوية الإدخال.

السبب أن V لا تحقق0＜t＜√3؛ معاملها t=−2−√3 خارج مجال الحلقة السفلى. فحص جهة الشعاع الذي نجح وحده في مثال45° لا يكفي لجميع زوايا المجال. نحفظ الشرطين: نقطة على شعاع الإدخال ونقطة على الحلقة السفلى.

نتبع الخطوات بالترتيب: نثبت مرجع القياس، نرسم الشعاع من C بالزاويةβ، نختار تقاطعه مع الحلقة السفلى، ثم نصل O بالنقطة. الهوية تضمن أن زاوية هذا الشعاع من الأفقي السالب هيβ/3.

نفترض أن منحنى التثليث متاح مسبقًا. لم نصف بناءه بالمسطرة والفرجار وحدهما، ولم نختبر آلة أو دقة قياس. المثال يبين صحة علاقة الزوايا وشروط اختيار نقطة، دون إضافة تاريخ أو مساحة حلقة أو طول قوس إلى هذا الفحص.