تعيين الأقطاب: كيف نختار تغذية راجعة للحالة؟

طابق كثيرة الحدود واحسب الكسب

نستخدم النموذج xₖ₊₁=Axₖ+Buₖ بمصفوفتين حقيقيتين ثابتتين ومدخل عددي. الحالة x عمود ذو مركبتين، والكسب K صف1×2؛ لذلك Kx عدد وBK مصفوفة2×2. الرمز k يعدّ التحديثات.

القانون uₖ=−Kxₖ يعطي مباشرة xₖ₊₁=(A−BK)xₖ. لا يوجد هنا مدخل مرجعي إضافي؛ الهدف جعل الحالة تتقارب إلى الأصل.

خذ A=[[1,2],[0,1]] وB=(0,1)ᵀ، واكتب K=[k₁,k₂]. عندئذ A−BK=[[1,2],[−k₁,1−k₂]]. نحسب det(λI−(A−BK))=λ²−(2−k₂)λ+1−k₂+2k₁.

نريد القيمتين1/4 و1/2. كثيرة الحدود المطلوبة(λ−1/4)(λ−1/2)=λ²−(3/4)λ+1/8. مساواة المعاملين تعطي2−k₂=3/4 و1−k₂+2k₁=1/8.

إذن k₂=5/4 وk₁=3/16، أي K=[3/16,5/4]. بالتعويض نحصل على M=A−BK=[[1,2],[−3/16,−1/4]]؛ أثرها3/4 ومحددها1/8، كما طلبنا.

حساب معاملات كثيرة الحدود يثبت القيم الذاتية، لكنه لا يعرض كل المسارات. سنكمل بمتجهين مستقلين وبالتحقق من التحديث الفعلي.

تحقق من التقارب لكل بداية

نحسب M(8,−3)=(2,−3/4)=(1/4)(8,−3)، وM(4,−1)=(2,−1/2)=(1/2)(4,−1). إذن لدينا متجهان ذاتيان للقيمتين المطلوبتين.

المصفوفة التي عموداها هذان المتجهان محددها8×(−1)−4×(−3)=4 غير صفري. لذلك أي بداية حقيقية يمكن كتابتها x₀=c₁(8,−3)+c₂(4,−1).

بعد k تحديثات، xₖ=c₁(1/4)ᵏ(8,−3)+c₂(1/2)ᵏ(4,−1). المعاملان الهندسيان يتجهان إلى الصفر، فتتقارب كل حالة إلى الأصل؛ لم نعتمد على مسار واحد وحده.

لبداية(4,−1)، يكون u₀=−[(3/16)×4+(5/4)×(−1)]=1/2. ثم x₁=A(4,−1)+B/2=(2,−1/2). المدخل التالي1/4 يعطي x₂=(1,−1/4).

هذا المسار ينخفض بمعامل1/2 لأنه بدأ على المتجه الذاتي الثاني. بداية على المتجه الأول تنخفض بمعامل1/4، وبداية عامة تجمع المساهمتين.

قبل التغذية الراجعة، يعطي A وحده البداية(0,1) مسارًا(2k,1) عند مدخل صفري. أزلنا هذا النمو في نموذج الحلقة المغلقة المحسوب؛ لا نفترض أن النموذج المتقطع نسخة من نموذج مستمر بأخذ عينات.

إشارة مختلفة تعني مصفوفة مختلفة

الكسب المحسوب يفترض u=−Kx. إذا كتبت u=+Kx بدلًا منه، تصبح المصفوفة A+BK=[[1,2],[3/16,9/4]]. الأبعاد ما زالت صحيحة، لكن معادلة الحركة تغيرت.

أثر هذه المصفوفة13/4 ومحددها15/8، فتكون كثيرة الحدود λ²−(13/4)λ+15/8=(λ−3/4)(λ−5/2). هذه ليست القيمتين اللتين اخترناهما.

لدينا(A+BK)(4,3)=(10,15/2)=(5/2)(4,3). إذا بدأت بهذا الاتجاه، تصبح الحالة(5/2)ᵏ(4,3)، فيتزايد مقدارها. المثال يبين أثر خطأ الإشارة مباشرة.

لا يكفي أن تحفظ أن التغذية الراجعة «سالبة». افحص إشارة القانون الفعلية، ثم كوّن المصفوفة المناسبة وتحقق من التحديث؛ الحساب هو الذي يربط الإشارة بالنتيجة.

ميز إمكان التعيين عن شروط الأداة

بدّل B إلى B′=(1,0)ᵀ، واحتفظ بـA. لأي K=[k₁,k₂]، تصبح A−B′K=[[1−k₁,2−k₂],[0,1]]. كثيرة الحدود(λ−(1−k₁))(λ−1) تحتوي القيمة1 دائمًا.

لذلك لا تستطيع هذه البنية تحقيق الزوج1/4 و1/2 بأي كسب. كما أن[B′,AB′]=[[1,1],[0,0]] رتبتها1، بينما[B,AB]=[[0,2],[1,1]] محددها−2 ورتبتها2.

مع B الأصلية، طلب1/2 مرتين يعطي جبريًا Kᵣ=[1/8,1]. المصفوفة A−BKᵣ=[[1,2],[−1/8,0]] كثيرة حدودها λ²−λ+1/4=(λ−1/2)²؛ إذن التعيين المتكرر ممكن في هذا المثال.

توثيق place(A,B,p) يشترط ألا يتجاوز تكرار قطب رتبة B. [2] هنا التكرار2 والرتبة1، فيخالف الطلب شرط الروتين رغم تحققنا الجبري؛ لا نساوي قيد الأداة باستحالة رياضية.

هذا قانون للحالة كاملة؛ عند قياس جزء منها قد نحتاج تقديرها. [1] لم نبنِ مقدرًا هنا، ولم نفترض أن قراءة واحدة تساوي متجه الحالة.

أمثلة المصادر تشرح نماذج مستمرة؛ نموذجنا متقطع، وتقاربه مثبت بالقوى الهندسية أعلاه. لم نشغل MATLAB أو نزعم أن البرنامج أعاد هذا الكسب. كما لا نحل حدود المدخل أو أخطاء النموذج باختيار قيم ذاتية وحده.