تمارين على توحيد المقامات: حلول متدرجة وأخطاء شائعة

كيف نختار مقامًا مشتركًا؟

نبحث عن عدد يقبل القسمة على كل مقام دون باقي. يمكن استعمال حاصل ضرب المقامين، لكن المضاعف المشترك الأصغر يقلل حجم الأعداد في الخطوات التالية. وهو أصغر عدد موجب يحقق شرط القسمة هذا. ^[1][2]

في المقامين 8 و 12، نجد 8=2³ و 12=2²×3. نأخذ أعلى قوة يحتاجها كل عامل أولي، فنحصل على 2³×3=24. أما حاصل الضرب 8×12=96 فهو مقام مشترك صالح أيضًا، لكنه أكبر من اللازم.

بعد اختيار 24 نسأل لكل كسر: كم مرة يكبر المقام الجديد عن القديم؟ للكسر ذي المقام 8 يكون العامل 24÷8=3، وللكسر ذي المقام 12 يكون 24÷12=2. نضرب البسط في العامل نفسه حتى نحفظ قيمة الكسر.

التمرين الأول: خمسة أثمان وسبعة أجزاء من اثني عشر

نحسب 5/8+7/12. المقام المشترك الأصغر 24، ولهذا نكتب 5/8=(5×3)/(8×3)=15/24، ونكتب 7/12=(7×2)/(12×2)=14/24.

أصبحت الأجزاء من النوع نفسه؛ نجمع البسطين ونبقي المقام: 15/24+14/24=29/24. النتيجة كسر أكبر من الواحد، ويمكن كتابتها عددًا كسريًا: 29/24=1+5/24.

هل كبر الناتج بلا سبب؟ لا، لأن 5/8 أكبر من نصف و 7/12 أكبر من نصف أيضًا، فمجموعهما يتجاوز واحدًا. هذا تقدير سريع يساعد على اكتشاف جواب صغير لا يناسب المعطيات. ولا نختصر 29/24 لأن 29 و 24 لا يشتركان في عامل أكبر من 1.

التمرين الثاني: عندما يكون مقام مضاعفًا للآخر

نحسب 7/9−5/18. العدد 18 مضاعف للعدد 9؛ لذا يكفي أن نحول الكسر الأول إلى أجزاء من ثمانية عشر: 7/9=14/18. يبقى الكسر الثاني كما هو.

ثم 14/18−5/18=9/18=1/2. لاحظ أن توحيد المقام لا يفرض تغيير الكسرين كليهما؛ فقد يكون أحدهما مكتوبًا أصلًا بالمقام المطلوب.

للتأكد بطريقة أخرى، نمثل النصف بتسعة أجزاء من ثمانية عشر. إذا أعدنا إليه الأجزاء الخمسة المطروحة حصلنا على 9/18+5/18=14/18=7/9، وهو المقدار الذي بدأنا منه.

التمرين الثالث: ثلاثة مقامات في عملية واحدة

نحسب 1/6+3/10−1/15. تحليل المقامات يعطينا 6=2×3 و 10=2×5 و 15=3×5، ومن ثم المقام المشترك الأصغر 2×3×5=30.

نحول الكسور إلى 5/30 و 9/30 و 2/30 على الترتيب. إذن (5+9−2)/30=12/30=2/5. وضع البسط كاملًا بين قوسين يوضح أن إشارة الطرح تخص الكسر الثالث.

يمكن تنفيذ العمليات على مرحلتين، لكن المقام الواحد يجعل المقارنة أبسط. لا نجمع 6 و 10 و 15، ولا نستعمل أصغر مقام لمجرد أنه أصغر؛ فالمقام المختار يجب أن يقبل القسمة على المقامات الثلاثة.

تطبيق: جمع كميتين لهما الوحدة نفسها

في مسألة افتراضية، لدينا 3/8 لتر من الماء و 1/6 لتر في وعاء آخر، ونريد معرفة مجموع الحجمين حسابيًا. نوحد المقامين إلى 24: 3/8=9/24 و 1/6=4/24، فيكون المجموع 13/24 لتر.

الوحدة هنا مهمة. لا يصح جمع 3/8 لتر و 1/6 كيلوغرام بالطريقة نفسها، لأنهما كميتان مختلفتان. كما أن الرسم بالأشرطة يفترض أن الوحدة الكاملة لها الحجم نفسه في الكسرين.

جرب بنفسك، ثم راجع الحل

أخفِ عمودي الحل أولًا، واختر المقام وعوامل التحويل بنفسك. إذا اختلف جوابك، افحص البسط قبل عملية الجمع أو الطرح، ثم افحص الاختصار في النهاية.

أخطاء تستحق الانتباه

تحويل 5/8 إلى 5/24 يغير قيمة الكسر؛ فقد كبر المقام وحده. الصحيح 15/24 لأن البسط والمقام ضُربا في 3. كذلك لا يعطي 5/8+7/12 الكسر 12/20؛ فجمع المقامين لا يوحد حجم الأجزاء. ^[2]

نستخدم توحيد المقامات هنا للجمع والطرح. أما ضرب الكسور فله طريقة أخرى، ولا يحتاج إلى هذه الخطوة. ابدأ بنوع العملية، ثم اختر الأداة التي تناسبها.