جمع الأعداد الكسرية وطرحها: توحيد المقام وإعادة التجميع

ما الذي يتغير عند توحيد المقام؟

المقام يحدد عدد الأجزاء المتساوية في الوحدة، والبسط يحدد عدد الأجزاء المأخوذة. لا نجمع مقام 6 ومقام 4 لنحصل على 10؛ الأجزاء مختلفة الحجم. نبحث عن مقام مشترك ونكتب كسرين مكافئين، أي نحافظ على القيمة. ^[1]

للعددين 6 و 4 المضاعف المشترك الأصغر 12. نضرب بسط 5/6 ومقامه في 2 فيصبح 10/12، ونضرب بسط 3/4 ومقامه في 3 فيصبح 9/12. ليس المطلوب ضرب الكسر كله في 12، بل ضرب البسط والمقام بالعامل نفسه.

مثال جمع بمقامين مختلفين

نحسب (2 + 5/6) + (1 + 3/4). بعد توحيد المقام نحصل على (2 + 10/12) + (1 + 9/12). نجمع الصحيحين إلى 3، والأجزاء إلى 19/12.

لأن 19/12 = 1 + 7/12، نضيف الوحدة الجديدة إلى 3 فيصبح الناتج 4 + 7/12. الكسر 7/12 في أبسط صورة؛ ليس للبسط والمقام عامل مشترك أكبر من 1.

يمكن التأكد بالطريقة الثانية: 2 + 5/6 = 17/6 و 1 + 3/4 = 7/4. عند مقام 12 يصبح الجمع 34/12 + 21/12 = 55/12 = 4 + 7/12. الطريقتان تعطيان القيمة نفسها. ^[1]

الطرح عندما لا يكفي الجزء الكسري

نحسب (4 + 1/4) − (1 + 2/3). نوحد المقام إلى 12: (4 + 3/12) − (1 + 8/12). الجزء 3/12 أصغر من 8/12، فيمكن إعادة تجميع وحدة من الجزء الصحيح. ^[1]

نكتب 4 + 3/12 = 3 + 15/12، لأن الوحدة التي أخذناها تساوي 12/12. ثم نحسب (3−1) + (15/12−8/12) = 2 + 7/12. العدد لم ينقص عند إعادة الكتابة؛ الذي تغير هو توزيع القيمة بين الجزء الصحيح والكسري.

وبالتحويل إلى كسرين غير فعليين: 4 + 1/4 = 17/4 و 1 + 2/3 = 5/3. يصبح الفرق 51/12 − 20/12 = 31/12 = 2 + 7/12. هذه طريقة مناسبة أيضًا إذا أردت تجنب فصل الجزأين.

كيف تحول العدد المختلط؟

للعدد الموجب الذي جزؤه الصحيح w وكسره a/b، نحسب (wb+a)/b. مثلًا 3 + 2/5 = (3×5+2)/5 = 17/5. بقاء المقام 5 مهم؛ الضرب يصنع البسط الجديد فقط. ^[1]

إذا حولت الناتج بالعكس، اقسم البسط على المقام: خارج القسمة هو الجزء الصحيح، والباقي هو بسط الجزء الكسري. في 31/12 يكون الخارج 2 والباقي 7. تحقق أن الباقي أصغر من المقام.

فحص سريع للأخطاء الشائعة

حدد أولًا معنى الكتابة: في هذا المقال (2 + 5/6) مجموع، وليس ضرب 2 في 5/6. نستخدم علامة الجمع والأقواس حتى لا تختلط الكتابة المختلطة بالضرب في الصيغ المطبوعة.

في الطرح حافظ على ترتيب العددين؛ لا تبدل البسطين لمجرد أن أحدهما أصغر. وعند إعادة التجميع أنقص الصحيح واحدًا وأضف مقامًا واحدًا إلى البسط، لا واحدًا فقط.

راجع النتيجة بالتقدير: جمع نحو 2.83 ونحو 1.75 ينبغي أن يكون بين 4 و 5، وطرح نحو 1.67 من 4.25 ينبغي أن يكون بين 2 و 3. ثم استعمل الحساب الكسري لإثبات القيمة الدقيقة؛ التقدير ليس بديلًا عنه.