إذا كانت القاعدة «أضف ستة»، فهل نضيفها إلى كل رقم ظاهر في الجدول، أم إلى المدخل وحده؟ يبدأ حل جداول الدوال بقراءة أسماء الخانات وما أعطاه السؤال بالفعل. نطبق هنا قواعد وأعدادًا مؤلفة، ثم نفحص الخانات المفقودة من الاتجاهين، ونتعلم متى يكفي فرق ثابت لاقتراح قاعدة ومتى تبقى الصفوف قليلة لاختيار علاقة وحيدة.
الخلاصة السريعة
لحل جدول دالة في الجمع أو الطرح، حدد المدخل والقاعدة والمخرج ثم طبق القاعدة على كل مدخل، أو ألغ عمليتها لإيجاد المدخل إذا كان المخرج معلومًا.
- الدالة تعطي كل مدخل مسموح مخرجًا واحدًا؛ يمكن لمدخلين مختلفين مشاركة المخرج. اقرأ اسمي العمودين، ولا تخلط رقم الصف بالمدخل. [1]
- في القاعدة x+6 تعطي المدخلات −4 و 0 و 3 و 11 المخرجات 2 و 6 و 9 و 17، والمخرج 14 يعيد المدخل 8. في x−4 نطرح من المدخل، ونضيف أربعة إلى المخرج عند العمل بالعكس.
- عندما ينص السؤال على جمع أو طرح ثابت، احسب الفرق داخل كل صف وافحصه في الصفوف كلها. كبر المخرج وحده لا يثبت إضافة ثابتة؛ قد تناسب الصفوف عملية أخرى.
- الصفان 1 إلى 7 و 2 إلى 8 يناسبان x+6 وقاعدة أخرى تختلف عند 3؛ لذلك افصل قيد السؤال عن استنتاج قاعدة عامة من أمثلة قليلة.
- إذا كانت القاعدة y=x+7 معلومة، فصف 12 إلى 20 لا يطابقها والمخرج الصحيح 19. أما إذا كانت الصفوف هي المعطى، فلا تغير 20 لمجرد أنه ينقض فرضك.
- حدد المجال والسياق: سالب أربعة مدخل حسابي ممكن في x+6، لكنه لا يصف عدد بطاقات موجودة. راجع جميع المدخلات المطلوبة، وميز التكرار المتطابق من مخرجين مختلفين للمدخل نفسه.
- في تدريب x+8 تعطي −3 و 0 و 5 المخرجات 5 و 8 و 13؛ وعند x−3 نستخدم الجمع لإعادة المدخل. افحص الاتجاه والقيود وكل صف قبل تسليم قائمة النتائج.
اقرأ المدخل والقاعدة والمخرج قبل الحساب
تربط الدالة مدخلًا بمخرج وفق علاقة محددة، ولكل مدخل مسموح مخرج واحد بالضبط. يمكن كتابة بعض قيمها في جدول: نضع المدخل في خانة والمخرج المقابل في الخانة نفسها من الصف. ترتيب القيم داخل الصف أهم من افتراض أن العمود الأول على الشاشة هو المدخل دائمًا؛ اقرأ اسمي العمودين. [1]
سنستعمل في هذا الدرس قواعد وأعدادًا مؤلفة للتدريب، لا بيانات تجربة أو أحكامًا على طريقة تعلم طلاب معينين. القاعدة الرئيسة هي f(x)=x+6؛ أي نضيف ستة إلى المدخل. المدخل 3 يعطي المخرج 9، والمدخل 11 يعطي 17. الرقم ستة جزء ثابت من القاعدة، وليس المدخل التالي ولا عدد صفوف الجدول.
اكتب في ورقتك ثلاثة أسماء: «مدخل»، و«قاعدة»، و«مخرج». ثم ضع تحتها 3، و«أضف 6»، و 9. هذه السلسلة الصغيرة تمنع تطبيق العملية على المخرج الموجود أو على رقم الصف. إذا كان الجدول يحتوي عنوانًا مثل «الناتج»، فاسأل عن العدد الذي دخل العملية وعن العدد الذي نتج منها بدل التخمين من مكانهما.
قد يكتب التمرين y=x+6 بدل f(x)=x+6. في أمثلتنا يشير x إلى المدخل، وy إلى المخرج. نقرأ f(3) على أنه مخرج الدالة عند المدخل 3؛ ولا نقصد حاصل ضرب الحرف f في العدد. احتفظ بالرموز التي يستخدمها السؤال، ثم اشرح العلاقة بالكلمات إذا احتجت إلى تثبيت معنى الخانات.
أكمل المخرجات بقاعدة جمع معلومة
نختار للقاعدة x+6 المدخلات −4 و 0 و 3 و 11. نعوض كل قيمة في موضع x وحده. الحسابات هي −4+6=2، و 0+6=6، و 3+6=9، و 11+6=17. نكتب كل جواب مقابل مدخله، ولا ننقل قائمة الأجوبة إلى عمود آخر بترتيب مختلف لأننا أجرينا الحسابات ذهنيًا خارج الجدول.
عند المدخل −4، لا نحول الرقم إلى أربعة قبل الجمع. نبدأ من سالب أربعة ثم نضيف ستة فيكون الناتج اثنين. وعند الصفر يبقى الثابت ستة هو الناتج. هذه الحالات تساعد على فحص فهم العملية؛ فالجدول ليس دائمًا مجموعة أعداد موجبة متتابعة تبدأ من الواحد، والقاعدة لا تتغير عندما تظهر قيمة سالبة.
للفحص نطرح المدخل من المخرج في كل صف:2−(−4)=6، و 6−0=6، و 9−3=6، و 17−11=6. عاد العدد نفسه الذي تضيفه القاعدة. لو ظهر في صف ما فرق آخر، فراجع التعويض أو النسخ في ذلك الصف. لا تستعمل فحص صف واحد لإعلان أن جميع الصفوف التي لم تراجعها صحيحة.
يمكن إعادة ترتيب الصفوف من دون تغيير العلاقات: اجعل صف 11 أولًا وصف −4 آخرًا إن شئت، لكن انقل كل زوج معًا. القاعدة تحدد مخرج كل قيمة، لا مخرج موضعها في القائمة. وإذا كان السؤال يطلب ترتيبًا محددًا، التزم به في العرض؛ هذا مطلب تنظيم للجدول، وليس عملية حسابية إضافية.
| المدخل x | العملية x+6 | المخرج |
|---|---|---|
| −4 | −4+6 | 2 |
| 0 | 0+6 | 6 |
| 3 | 3+6 | 9 |
| 11 | 11+6 | 17 |
حل جدول الطرح وانتبه إلى موضع العدد المطروح
ننشئ جدولًا آخر بقاعدة g(x)=x−4. للمدخلات −2 و 4 و 9 و 13 تكون المخرجات −6 و 0 و 5 و 9 على الترتيب. المطلوب طرح أربعة من كل مدخل. القاعدة لا تعني طرح المدخل من أربعة؛ الفرق بين −2−4 وبين 4−(−2) يغير الناتج من سالب ستة إلى موجب ستة.
نستعمل صف 9 للتوضيح:9−4=5، أما 4−9=−5. العمليتان ليستا متساويتين. لذلك اكتب عبارة كاملة في أعلى الجدول، مثل «اطرح أربعة من المدخل»، بدل كلمة «طرح» وحدها. ويمكن أن تعرض عملية 4−x في سؤال آخر، لكنها قاعدة مختلفة، وتعطي للمدخل 9 مخرجًا مختلفًا عن القاعدة الحالية.
في هذا الجدول يفيد الفحص العكسي بإضافة أربعة إلى المخرج. إذا حصلنا على 5، فإن 5+4=9 يعيد المدخل. وعند المخرج −6 يكون −6+4=−2. لا نطرح أربعة مرة ثانية من المخرج عند مراجعة الصف؛ الفحص يريد إلغاء العملية التي نفذناها، لا تكرارها على عدد جديد.
لاحظ أن المدخل 4 أعطى المخرج 0. الصفر نتيجة حسابية مقصودة وليس خانة فارغة. عندما تنقل الجدول إلى نموذج أو دفتر، اكتب الصفر بوضوح. حذف الصفر قد يجعل المراجع يظن أنك لم تكمل الصف، أو أن القاعدة غير معرفة عند ذلك المدخل، مع أن 4−4 يحدد المخرج دون مشكلة.
عندما تكون الخانة المفقودة هي المدخل
نعود إلى f(x)=x+6، لكن السؤال هذه المرة يعطي المخرج 14 ويترك المدخل فارغًا. نحل x+6=14 بطرح ستة، فنحصل على x=8. بعد ذلك نعوض المدخل الذي وجدناه في القاعدة الأصلية:8+6=14. الجمع يكمل المخرج عندما نعرف المدخل، والطرح يعيد المدخل عندما نعرف المخرج في هذه القاعدة.
إذا كان المخرج 2 في القاعدة نفسها، فـx=2−6=−4. لا نفترض أن المدخل المفقود يجب أن يكون موجبًا لمجرد أن الناتج موجب. قيم المجال المكتوبة في السؤال هي التي تحدد ما يسمح به، أما القاعدة الحسابية فتدل هنا على القيمة −4. إذا كان المجال يستبعدها، نذكر أن لا مدخل مسموحًا يحقق المخرج المطلوب.
في قاعدة الطرح g(x)=x−4، المخرج 9 يقابل المدخل 13 لأن x−4=9 يستلزم x=13. والمخرج −6 يقابل −2 لأن −6+4=−2. اكتب المعادلة أولًا كي لا تختار العملية من كلمة «مفقود» وحدها. اتجاه العمل يعتمد على موضع الخانة المعلومة وعلى القاعدة، لا على وجود فراغ في الجدول.
يمكن إعداد جدول يحتوي فراغات من النوعين. ضع بجوار كل فراغ علامة «م» للمدخل أو«ن» للناتج في ورقة عملك الخاصة، ثم احسب. هذه علامات نقترحها للتنظيم، وليست رموزًا إلزامية للدوال. احذفها من الجواب النهائي إذا لم يطلبها السؤال، لكن احتفظ بفحص التعويض الذي يعيد كل صف إلى قاعدته.
استنتج إضافة ثابتة من جدول كامل
ننشئ ثلاثة صفوف مؤلفة:3 تقابل 10، و 8 تقابل 15، و 12 تقابل 19. إذا أخبرنا السؤال أن القاعدة جمع عدد ثابت، نحسب الفرق بين المخرج والمدخل في كل صف. نجد 10−3=7، و 15−8=7، و 19−12=7؛ إذن العدد المضاف سبعة، وتكتب القاعدة y=x+7 ضمن الفئة التي حددها السؤال.
بعد اقتراح القاعدة نعيد التعويض، ولا نتوقف عند تشابه فروق حسبناها سريعًا.3+7=10، و 8+7=15، و 12+7=19. ثم يمكن إكمال صف جديد يعطي مدخلًا 5 إلى مخرج 12. نجاح القاعدة مع الصفوف المعطاة يفيد الفحص، بينما استخدامها لصف جديد يستند أيضًا إلى فرض السؤال أن العلاقة إضافة ثابتة نفسها.
يمكن أن تكون القاعدة طرح ثابت. خذ الصفوف 9 إلى 4، و 13 إلى 8، و 20 إلى 15. الفرق بين المخرج والمدخل هو −5 في كل صف، فنكتب y=x−5. إذا فضلت حساب الفرق من المدخل إلى المخرج، فستجد خمسة، ثم تفسره بأنه مقدار الطرح. لا تبدل اتجاه حساب الفرق بين الصفوف دون أن تغير تفسير إشارته.
لا يشترط أن تفصل بين المدخلات مسافة عددية متساوية. في مثال الجمع انتقلنا من 3 إلى 8 بزيادة خمسة، ثم إلى 12 بزيادة أربعة، ومع ذلك ظل الفرق داخل كل زوج سبعة. المطلوب هنا مقارنة مدخل الصف بمخرجه، لا مقارنة المدخلات ببعضها وحسب. اختلاف خطوة صفين لا يجعل قاعدة الإضافة مختلفة.
وجود مخرج أكبر لا يثبت أن القاعدة جمع فقط
لو أعطانا جدولٌ المدخلات 1 و 2 و 3 والمخرجات 2 و 4 و 6، كانت المخرجات أكبر من المدخلات. لكن الفروق داخل الصفوف 1 و 2 و 3، وليست ثابتة. قاعدة الضرب في اثنين تناسب الصفوف الثلاثة. لذلك لا يكفي أن تقول «المخرج أكبر، إذن نضيف عددًا واحدًا ثابتًا»؛ راجع الفروق أو اقرأ نوع القاعدة المطلوب.
وفي قاعدة y=−x، المدخل −2 يعطي 2 والمدخل 3 يعطي −3. صار المخرج أكبر في صف وأصغر في الآخر، مع أن القاعدة نفسها ظلت كما كتبناها. المثال يوضح أن المقارنة بين رقمين لا تعرف العملية كلها. استخدمها فحصًا أوليًا للمقدار إذا أفادتك، لكن لا تجعلها بديلًا عن اختبار القاعدة المقترحة.
إذا قيد التمرين الخيارات إلى «جمع ثابت أو طرح ثابت»، ففحص الفرق الثابت مناسب. أما إذا عرض جدولًا عامًا من دون هذا القيد، فقل إنك تختبر فرضًا محددًا: هل y−x ثابت؟ إن لم يكن ثابتًا، فإن فرض إضافة ثابتة لم ينجح؛ لا نستنتج أن الجدول كله بلا قاعدة أو أن كل صف فيه خاطئ.
عند شرح الجواب اكتب ما أثبته فحصك تحديدًا. في جدول 1 إلى 2 و 2 إلى 4 و 3 إلى 6، أثبتت الحسابات أن إضافة ثابت واحد لا تطابق الصفوف، وأن الضرب في اثنين يطابقها. لا تحتاج إلى وصف كل أنواع الدوال كي تراجع هذا المثال؛ يكفي أن تميز الفرض الذي رفضته من القاعدة التي اختبرتها.
الصفوف القليلة لا تختار دائمًا قاعدة وحيدة
نفترض أن الجدول لا يعرض إلا المدخل 1 بمخرج 7، والمدخل 2 بمخرج 8، ولا يخبرنا نوع القاعدة. اقتراح f(x)=x+6 يطابق الصفين. لكننا نستطيع إنشاء قاعدة ثانية g(x)=x+6+(x−1)×(x−2). عند 1 يكون العامل الأول في حاصل الضرب صفرًا، وعند 2 يكون العامل الثاني صفرًا، فتطابق القاعدة الثانية الصفين أيضًا.
نختبر المدخل 3 لتظهر النتيجة المختلفة. تعطي القاعدة الأولى 3+6=9. وتعطي الثانية 3+6+(3−1)×(3−2)=9+2=11. إذن الاتفاق عند المدخلين 1 و 2 لم يجعل القاعدتين متساويتين عند كل قيمة أخرى. هذا مثال مضاد مؤلف يكفي لإظهار أن هذين الصفين وحدهما لا يضمنان اختيار قاعدة عامة وحيدة.
إذا كان السؤال يقول صراحة «أضف عددًا ثابتًا»، فلا نحتاج إلى إدخال القاعدة الثانية في حل ورقة الجمع البسيطة؛ هذا القيد يحدد فئة العلاقات التي نبحث بينها. نذكر المثال الثاني هنا لفهم الفرق بين قاعدة معطاة وفرض نستنتجه من بعض الصفوف. العجز عن معرفة كل القواعد لا يمنع حل تمرين له شروط واضحة.
في الرسم الداخلي نعرض الصفين المتفق عليهما بلون واحد، ثم المدخل 3 بلون يبرز اختلاف المخرجين. لا نخفي الصيغتين خلف عبارة «عدة إجابات» مبهمة. يمكنك تتبع كل عملية حتى تعرف لماذا اتفقت النتائج أولًا ثم اختلفت، وأن الاختلاف ناتج من قواعد اخترناها، لا من قراءة جهاز أو تجربة تعليمية أجريت فعلًا.
ميز الصف الخاطئ من الصف الذي ينقض فرضك
لنكتب قاعدة معلومة هي y=x+7، ثم جدولًا فيه 3 إلى 10، و 8 إلى 15، و 12 إلى 20. الصف الثالث لا يطابق القاعدة، لأن 12+7=19. إذا كانت القاعدة هي المعطى الملزم في التمرين، يمكن تصحيح المخرج الأخير إلى 19. سجل العملية التي كشفت الخطأ بدل تغيير القاعدة حتى تبرر جميع الأعداد المكتوبة.
لكن إذا كانت الصفوف الثلاثة بيانات معطاة، ولم يخبرنا السؤال أن العلاقة إضافة سبعة أو حتى إضافة ثابتة، فلا نعلن أن 20 خطأ بمجرد أنه لا يوافق فرضنا. نستطيع فقط القول إن فرض y=x+7 لا يطابق الصف الثالث. قد تكون العلاقة مختلفة، أو توجد معلومة ناقصة، أو يوجد خطأ نسخ يحتاج التحقق من المصدر.
هذه المراجعة تفرق بين نوعين من العمل: إكمال جدول وفق قاعدة منصوصة، وبحث قاعدة تتفق مع صفوف معطاة. في النوع الأول مرجع الفحص هو القاعدة. وفي الثاني الصفوف هي ما نريد تفسيره، فلا نعدلها بلا سبب. اكتب في أعلى ورقة الحل أي النوعين أمامك قبل أن تختار ما ستصححه.
إذا جاء السؤال من صورة غير واضحة، انقل الصف الملتبس كما قرأته واكتب موضع الالتباس لنفسك، ثم راجع الصورة الأصلية. لا تحول رغبتك في فرق ثابت إلى دليل على أن الرقم 19 لا 20. استخدام القاعدة يساعد على اكتشاف موضع محتمل للمراجعة، لكنه لا يعوض التأكد من الرقم الذي ورد في المعطيات.
المجال والسياق يحددان المدخلات المسموحة
في التدريب الحسابي f(x)=x+6 يمكننا التعويض بالمدخل −4 والحصول على 2 كما فعلنا. لكن لو وصفنا جدولًا افتراضيًا لعدد بطاقات موجودة ثم أضفنا ست بطاقات، فلا نمثل عدد البطاقات الأصلية بسالب أربعة. العلاقة الجبرية صحيحة للأعداد المختارة، والسياق الجديد يحتاج مدخلات تناسب معنى عدد الأشياء التي نعدها.
ننشئ مثالًا مؤلفًا: لدى الطالب x بطاقات، ثم أضيفت له ست، فيصبح العدد x+6. إذا كان السؤال يقصر x على 0 و 3 و 11، فالمخرجات 6 و 9 و 17. لا نملأ الجدول بقيم جديدة خارج القائمة إذا طلب هذه المدخلات فقط. المجال هنا جزء مما اختاره السؤال، وليس مجموعة كل الأعداد التي نستطيع إجراء الجمع عليها.
وفي مثال طرح خمس بطاقات، تكون القاعدة x−5. لو سمح السؤال بعدد بطاقات لا يقل عن خمس، فالمدخل 5 يعطي 0 والمدخل 12 يعطي 7. المدخل 2 يعطي −3 جبريًا، لكنه لا يصف عدد بطاقات متبقية في هذا السيناريو البسيط. نذكر أنه خارج المدخلات المسموحة بدل وصف سالب ثلاث بأنه عدد أشياء مادية متبقية.
يمكن أن يكون المدخل طولًا يسمح بكسور عشرية بدل عدد قطع كاملة. في قاعدة حسابية تضيف 0.5 إلى طول بالمتر، المدخل 2.3 يعطي 2.8 متر. لا ننقل شرط العدد الصحيح من مثال البطاقات إلى مثال الطول. حدد الكمية ووحدتها وقيودها، ثم طبق القاعدة على المدخل الذي يسمح به السؤال.
كيف تراجع جدولًا بوصفه دالة؟
لننشئ جدولًا من صفين: المدخل 4 يقابل 9، والمدخل 4 يقابل 10، مع بقاء المقصود بالمدخل نفسه والشروط نفسها. لا يعطي هذا الجدول مخرجًا واحدًا محددًا للمدخل 4؛ لذلك لا يمثل دالة بهذا الوصف. لا نحذف صفًا من تلقاء أنفسنا لجعل الجدول مقبولًا؛ نراجع تعريف المدخل أو المعطيات التي أنشأت الاختلاف. [1]
في مقابل ذلك، جدول المدخل 1 إلى 9 والمدخل 2 إلى 9 لا يعاني المشكلة نفسها. كل مدخل في القائمة له مخرج واحد، مع أن المخرج مشترك بينهما. ليس مطلوبًا أن تكون جميع المخرجات مختلفة. ويمكن أن نكتب قاعدة ثابتة تعطي 9 لكل مدخل مسموح في هذه الورقة؛ مثال الجمع x+6 ليس النوع الوحيد للدالة. [1]
إذا تكرر الزوج نفسه، مثل 4 إلى 10 في صفين متطابقين، فلم يتولد مخرج ثان مختلف لذلك المدخل. التكرار قد يكون مسألة تنظيم للجدول، لكنه يختلف عن وجود 4 إلى 9 و 4 إلى 10 معًا. افحص قيمة المدخل والمخرج في كل تكرار، ولا ترفض علاقة لمجرد أن اسم المدخل ظهر أكثر من مرة.
ومع ذلك لا تثبت هذه المراجعة أن جدولًا يحتوي كل المدخلات التي وعد بها السؤال. إذا حدد السؤال المجال 1 و 2 و 3، ثم كتب صفين فقط للأولين، فما زال الصف الثالث ناقصًا. قد نستطيع إكماله من قاعدة معلومة؛ أما إذا غابت القاعدة والمعلومة عن 3، فنذكر النقص بدل الادعاء أن الفراغ مخرج محدد.
تدريب ختامي يحفظ اتجاه العملية
أكمل قاعدة y=x+8 للمدخلات −3 و 0 و 5. النتائج 5 و 8 و 13. ثم ابحث عن المدخل الذي يعطي 20؛ بطرح ثمانية تجد 12، ويعيد 12+8 العدد 20. هذا تدريب جديد لا ينقل ثابت الستة من المثال الرئيس. اكتب القاعدة الحالية فوق الحساب لكي تتجنب حل السؤال الجديد بثابت حفظته من صفحة سابقة.
أكمل قاعدة y=x−3 للمدخلات 1 و 3 و 10. النتائج −2 و 0 و 7. وإذا أعطي المخرج 11 فمدخله 14. وإذا أعطي المخرج −5 فمدخله −2، ما دام السؤال يسمح بهذا المدخل. فحص 14−3=11 و −2−3=−5 يجعل اتجاه العمل واضحًا؛ نضيف ثلاثة للمخرج لإيجاد المدخل، ثم نطرحها منه عند التعويض.
افحص الجدول المؤلف 6 إلى 10، و 9 إلى 13، و 15 إلى 19 ضمن فرض إضافة ثابت. الفروق كلها أربعة، فتطابقه القاعدة y=x+4. إذا تغير الصف الأخير إلى 15 إلى 20، لم يعد الفرض يطابق جميع الصفوف. اكتب هذا الوصف الدقيق، ثم ارجع إلى شروط السؤال لتعرف هل نراجع قيمة المخرج أم نبحث عن علاقة أخرى.
اختم كل مسألة بمراجعة قصيرة: أسماء العمودين، ونوع القاعدة، وموضع الفراغ، وقيود المدخلات، وفحص كل صف. ثم اكتب الجواب مع سبب العملية، لا قائمة أعداد فقط. بهذه الخطوات تصبح جداول الجمع والطرح طريقة لتنظيم علاقة واضحة، ويظل الفرق بين تنفيذ قاعدة معلومة واقتراح قاعدة من أمثلة محدودة ظاهرًا في الحل.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.