خرزة على طوق دوار: متى يفقد القاع استقراره؟

خرزة على طوق دوار قد تثبت بالنسبة للطوق وتدور بالنسبة للأرض. [2]

الخلاصة السريعة

فوق سرعة حرجة، يصبح القاع غير مستقر ويظهر موضعان جانبيان مستقران. [1]

• خرزة نقطية محصورة بطوق صلب أملس رأسي، يديره محرك حول قطره الرأسي بسرعة ثابتة Ω. نهمل الاحتكاك والهواء؛ الجاذبية g منتظمة. [1]
• R نصف قطر الطوق بالمتر؛ θ زاوية الخرزة من نصف القطر المتجه للأسفل، بإشارة للجانبين. نصف قطر دورانها الأفقي r=Rsin|θ|، وارتفاعها عن القاع h=R(1−cosθ). Ω بوحدة rad/s، وg بوحدة m/s². [2]
• θ¨=(Ω²cosθ−g/R)sinθ؛ θ¨ مشتقة θ الزمنية الثانية، بوحدة rad/s². الاتزان: θ=0 بالقاع، θ=π بالقمة، أو cosθ=g/(RΩ²). القسمة على sinθ تفقد القاع والقمة. [1]
• العتبة Ωc=√(g/R). القاع مستقر عند Ω≤Ωc، وعند المساواة يكون الرد ضعيفًا وغير خطي. فوقها يصبح غير مستقر، ويظهر ±arccos(g/(RΩ²)) مستقران؛ القمة غير مستقرة دائمًا. الاستقرار يعني مقاومة اضطراب صغير، لا زوال الاهتزاز. [1]
• مثال افتراضي R=0.4m وg=10m/s²: Ωc=5rad/s. عند Ω=4rad/s يبقى القاع مستقرًا؛ عند Ω=10rad/s نجد cosθ=0.25، والزاويتين ≈±75.522°، وr≈0.3873m وh=0.3m. الرسم يعرض موضعي خرزة واحدة البديلين. [1][2]
• تختصر الكتلة؛ المواضع مستقلة عنها. فوق العتبة يبقى القاع اتزانًا، لكن اضطرابًا صغيرًا يكبر. الرسم للفرع المستقر في 0≤Ω≤10rad/s. [1]

المراجع

1. سلك متحرك: مثال1.1، ص4
2. المحصلة المركزية

التسارع المركزي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.