خطأ المجموع الهندسي: كم حدًا يكفي للتقريب؟

خطأ المجموع الهندسي يحدد عدد الحدود اللازمة للدقة المطلوبة. [1]

الخلاصة السريعة

في المثال، سبعة حدود تكفي؛ الضمان المحافظ يطلب ثمانية. [1][2]

• نختار t_n=6(−1/2)^(n−1) لكل n≥1 صحيح: 6,−3,3/2,−3/4,… . المطلوب تقريب مجموعها اللانهائي بخطأ مطلق أقل من 1/25؛ وN عدد الحدود المجموعة، لا فهرس أول حد مهمل. [1]
• القيمة المطلقة للنسبة 1/2<1؛ لذلك المجموع S=6/(1+1/2)=4. مجموع أول N حدًا S_N=4(1−(−1/2)^N). لا نعامل مجموعًا منتهيًا كأنه بلغ النهاية. [1]
• بطرح المجموع الجزئي من النهاية: R_N=S−S_N=4(−1/2)^N، ومنه |R_N|=4/2^N. الباقي موجب عند N زوجي، وسالب عنده فرديًا؛ أما المقدار فيتناقص. [1]
• الشرط 4/2^N<1/25 يكافئ 2^N>100. عند N=6 الخطأ 1/16>1/25؛ وعند N=7 يساوي 1/32<1/25. لذا سبعة أقل عدد كافٍ، لأن الخطأ يتناقص مع N. [1]
• المقادير b_n=6/2^(n−1) موجبة ومتناقصة إلى الصفر؛ ينطبق ضمان المتسلسلة المتناوبة |R_N|≤b_(N+1)=6/2^N. الشرط 6/2^N<1/25 كافٍ لتحقيق الدقة؛ لا يساوي الخطأ الفعلي. [2]
• الضمان الأخير يطلب 2^N>150: عند N=7 الحد 3/64>1/25، وعند N=8 الحد 3/128<1/25. فشل اختبار الضمان عند السبعة لا يعني فشل التقريب؛ الباقي الدقيق أثبت كفايتها. صيغة الباقي الدقيق هنا تخص المثال الهندسي. [2]

المراجع

1. المجاميع الهندسية
2. ضمان الباقي المتناوب

الحد والمجموع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.