رمح نيوتن: كيف يقترب من قطع مكافئ؟

الخلاصة السريعة

في المثال y=x²+1/x، ينكمش الفرق عن القطع المكافئ y=x² إلى الصفر عندما |x|→∞. لكن قرب x=0 يكون المقارب رأسيًا؛ لا تنتمي نقطة الأصل إلى المنحنى.

• نضع a=1 وb=c=0 وd=1 في المعادلة العامة ax³+bx²+cx+d=xy. [1] نحصل على y=x²+1/x مع x≠0. عند x=0 تطلب المعادلة0=1، فلا نستعيد الأصل بوصفه نقطة مستبعدة من الكسر.
• الهوية y−x²=1/x تعطي فجوة رأسية مقدارها1/|x| عن نقطة القطع المكافئ ذات الإحداثي الأفقي نفسه. تؤول الفجوة إلى صفر عند |x|→∞، والبعد الأقصر عن القطع لا يزيد عليها؛ المنحنى فوقه إذا x＞0 وتحته إذا x＜0، ولا يتقاطعان.
• عندما x→0⁺ يكون y→+∞، وعندما x→0⁻ يكون y→−∞. البعد عن المستقيم x=0 هو |x|، فيؤول إلى صفر. للمنحنى مكونان متصلان، لكل منهما طرفان غير محدودين؛ لا نصل الرسم عبر الصفر.
• لا يقترب الطرفان البعيدان من مستقيم ثابت: بالتعويض في αx+βy+γ=0 يظهر βx²+αx+γ+β/x. يهيمن الحد التربيعي إذا β≠0، والخطي إذا β=0. هذا لا ينفي المقارب الرأسي قرب الصفر.
• المشتقة y′=2x−1/x² تعطي عند P=(1,2) الميل1 والمماس y=x+1. عند Q=(−1,0) يكون الميل−3 والمماس y=−3x−3. المماس يصف اتجاهًا محليًا، أما هدف الاقتراب فيخص طرفًا غير محدود.
• تتغير إشارة y″=2+2/x³ عند Q، فتكون نقطة انعطاف. على المكون الأيمن تكون القيمة الصغرى عند x=2^(−1/3)، وy=3·2^(−2/3). ليست هذه النقطة رأس القطع المكافئ O=(0,0)؛ الأصل ليس على رمح نيوتن المختار.

اختر المثال وافحص المجال

يعرض المرجع رمح نيوتن بالمعادلة ax³+bx²+cx+d=xy، مع a≠0. [1] نختار معاملات عددية واضحة: a=1 وb=0 وc=0 وd=1. ينتج xy=x³+1؛ كل ما يلي حساب لهذا المثال، لا حكم على جميع اختيارات المعاملات.

إذا x=0، يساوي الطرف الأيسر صفرًا والأيمن واحدًا. إذن لا توجد نقطة من المنحنى على المحور الرأسي. لا يحتاج هذا الاستبعاد إلى القسمة؛ نراجعه في المعادلة الأصلية أولًا.

عند x≠0 نقسم على x ونجد y=x²+1/x. لكل إحداثي أفقي صالح قيمة رأسية واحدة، والعكس صحيح: كل نقطة من هذه الدالة تحقق المعادلة التكعيبية بضربها في x.

المجال جزآن: x＜0 وx＞0. كل جزء يعطي رسمًا متصلًا، ولا يمكن وصل الجزء الأيسر بالأيمن عبر نقطة من المنحنى، لأن المرور المتصل من إحداثي سالب إلى موجب يحتاج إحداثيًا أفقيًا صفرًا.

نستخدم مستوى ديكارتيًا ومقياسًا واحدًا للمحورين. x متغير إحداثي، وليس زمن حركة. لا نستنتج من وجود طرفين في صورة مقصوصة أن للمنحنى نقطتي نهاية محدودتين.

نقارن الرسم بالقطع المكافئ y=x². هذا هدف هندسي للقياس؛ لا نضيف نقاط القطع إلى مجموعة حلول xy=x³+1. الاختلاف بين المنحنيين هو المقدار1/x، وسيساعدنا على وصف كل طرف بدقة.

قِس الفجوة عند الطرفين البعيدين

خذ نقطة C=(x,x²+1/x) من رمح نيوتن، ونقطة D=(x,x²) من القطع المكافئ، بالإحداثي الأفقي نفسه. القطعة CD رأسية وطولها1/|x|. لا نقيس الفرق بين نقطتين بإحداثيين أفقيين مختلفين ثم نسميه هذه الفجوة.

عندما |x|→∞، يكون1/|x|→0. لذلك يقترب الطرفان البعيدان من القطع المكافئ من حيث هذه الفجوة. إذا سمينا البعد الأقصر إلى القطع δ، فإن0≤δ≤1/|x|؛ بحصره بين الصفر وكمية تؤول إلى الصفر، يؤول δ إلى الصفر أيضًا.

لا ندعي أن CD دائمًا أقصر قطعة إلى القطع المكافئ؛ يكفي أنها تصل النقطة إلى نقطة عليه، فتقدم حدًا أعلى للبعد الأقصر. هذا يربط حساب الفرق الرأسي بمعنى هندسي دون مساواة غير مثبتة.

عند x＞0 يكون1/x موجبًا، فيقع رمح نيوتن فوق القطع المكافئ. وعند x＜0 يكون سالبًا، فيقع تحته. التقاطع يتطلب1/x=0، وهو مستحيل لقيمة حقيقية صالحة؛ الاقتراب لا يتطلب التقاءً.

مثلًا، عند x=2 تكون H=(2,9/2) على رمح نيوتن وA=(2,4) على القطع، والفجوة1/2. عند x=−2 تكون K=(−2,7/2) وB=(−2,4)، والفجوة الرأسية أيضًا1/2 لكن ترتيب الارتفاعين ينعكس.

وعند x=4 يصير الفرق1/4، وعند x=8 يصير1/8. الأعداد أمثلة على الهوية، وليست وحدها برهان النهاية؛ البرهان هو1/|x|→0. في الصورة الرئيسية يظهر القطع باللون البنفسجي والمنحنى بالأزرق، والفجوتان بالذهبي.

ميّز الاقتراب من المحور قرب الصفر

عندما x→0⁺، يظل x² قريبًا من الصفر، بينما1/x→+∞، ولذلك y→+∞. وعندما x→0⁻، تكون1/x→−∞ ويكون x² صغيرًا موجبًا، فنحصل على y→−∞.

البعد من C إلى المستقيم الرأسي x=0 هو |x|. هذا البعد يقترب من الصفر مع تضخم الإحداثي الرأسي؛ لذلك المحور الرأسي مقارب عند هذين الطرفين. لا تكون النقطة C قريبة من أصل الإحداثيات، بل قريبة من المستقيم مع ابتعادها بلا حد.

الفرق y−x²=1/x يتضخم قرب الصفر؛ إذن القطع المكافئ ليس هدف الاقتراب في هذه الجهة. في الطرف البعيد يحدث العكس: الفجوة إلى القطع تتضاءل، والبعد |x| عن المحور الرأسي يتضخم.

للجزء الأيسر طرف عند x→−∞ وآخر عند x→0⁻؛ وللجزء الأيمن طرف عند x→0⁺ وآخر عند x→+∞. هذه أربعة أطراف غير محدودة موزعة على مكونين متصلين، وليست أربعة مكونات منفصلة.

لا نرسم قطعة بين آخر عينة سالبة وأول عينة موجبة. هذه القطعة تمر بإحداثي أفقي صفر، فتضيف نقطة لا تحقق المعادلة. الرسم الداخلي يعرض المكونين بلون أزرق، والمقارب x=0 بخط أحمر منفصل.

وجود المقارب لا يجعل الأصل حلًا ولا نقطة معزولة من المنحنى. في هذا المثال يرفض التعويض الأصل تمامًا، بخلاف معادلات أخرى قد تشمل نقطة أصل جبريًا وإن لم يصل إليها تمثيل معين.

هل يوجد مقارب مستقيم للطرفين البعيدين؟

نختبر أي مستقيم ثابت αx+βy+γ=0، حيث α وβ ليسا صفرًا معًا. البعد من نقطة المنحنى إلى هذا المستقيم يساوي |αx+βy+γ|/√(α²+β²). ثبات المستقيم يعني أن معاملاته لا تتغير مع x.

بالتعويض عن y يصبح البسط المطلق |βx²+αx+γ+β/x|. إذا β≠0، نقسم التعبير قبل القيمة المطلقة على x²؛ نحصل على β+α/x+γ/x²+β/x³، وهو يقترب من β غير الصفرية.

لذلك مقدار التعبير ينمو مثل |β|x² عند الطرفين البعيدين. والقسمة على العدد الثابت √(α²+β²) لا تجعله يقترب من الصفر. لا يوجد مستقيم غير رأسي ثابت يحقق الاقتراب هناك.

إذا β=0، فلا بد أن α≠0. يبقى البعد |αx+γ|/|α|، ويكبر بلا حد عندما |x|→∞. يشمل هذا جميع المستقيمات الرأسية الثابتة، ومنها x=0.

إذن لا يوجد مقارب مستقيم للطرفين البعيدين، مع أن لدينا هدف اقتراب منحنيًا هو y=x². المقصود هنا طرفا |x|→∞ تحديدًا؛ لا نعمم النفي على جميع الأطراف ثم نناقض المقارب الرأسي الذي أثبتناه قرب الصفر.

قد يبدو جزء صغير من القطع المكافئ قريبًا من خط مماس، لكن هذا تقريب محلي. المستقيم الثابت لا يستطيع ملاحقة النمو التربيعي بلا حد. عند مناقشة المقارب نحدد الجهة والبعد اللذين يقتربان، لا نكتفي بتشابه الصورة.

احسب مماسين دون خلطهما بالمقارب

نشتق الدالة على مجالها فنجد y′=2x−1/x². عند P=(1,2) تكون المشتقة1، ومن y−2=x−1 نحصل على المماس y=x+1. تعويض P يثبت مرور الخط بها.

أما شعاع الموضع OP فميله2؛ لا يساوي ميل المماس1. وحتى لو استعملنا O لتحديد شعاع، تبقى O نقطة مرجعية خارج المنحنى، لا نقطة أخرى منه.

عند Q=(−1,0) تكون المشتقة−3، فيكون المماس y=−3x−3. Q تحقق المعادلة لأن x³+1=0 وxy=0؛ إنها التقاطع الوحيد مع المحور الأفقي، وليست أصل الإحداثيات.

يمكن مراجعة الميل بالاشتقاق الضمني: من xy=x³+1 نجد y+xy′=3x²، ثم y′=(3x²−y)/x لأن x≠0. يعطي التعويض عند P وQ الميلين1 و−3 نفسيهما.

المماس عند نقطة محددة يخبرنا اتجاه الرسم قريبًا منها. أما المستقيم x=0 فيصف اقترابًا عند طرف غير محدود، ولا يلامس المنحنى في نقطة صالحة. والقطع المكافئ هدف للطرفين البعيدين؛ العلاقات الثلاث مختلفة في موضع الفحص.

يعرض الجدول نقاطًا من المنحنى فقط. النقطتان A وB المستعملتان لقياس الفجوة تنتميان إلى القطع المكافئ، لذلك لا نخلطهما بهذه القائمة. في الصورة الداخلية يظهر المماسان بالأخضر مع P وQ.

راجع الانعطاف والقيمة الصغرى

المشتقة الثانية هي y″=2+2/x³. عند x=−1 تنعدم، لكنها لا تكفي وحدها للحكم بالانعطاف؛ نراجع الإشارة على جانبيها داخل المكون الأيسر.

عندما x＜−1 يكون x³＜−1، فتكون2+2/x³ موجبة. وعندما−1＜x＜0 تكون سالبة. إذن يتغير التقعر عند Q، فتكون نقطة انعطاف ذات مماس مائل−3. لا يعني الانعطاف أن المماس أفقي.

على المكون الأيمن نحل y′=0: المعادلة2x−1/x²=0 تكافئ2x³=1، لأن x موجب. نحصل على x=2^(−1/3). قبل هذه القيمة تكون المشتقة سالبة وبعدها موجبة، فتكون قيمة صغرى لهذا المكون.

بالتعويض نجد y=3·2^(−2/3)، أي تقريبًا1.8899 عند x≈0.7937. نسمي النقطة M. المماس فيها أفقي، لكن M تختلف عن P ذات الميل1، وعن Q نقطة الانعطاف.

رأس القطع المكافئ y=x² هو O=(0,0). لا ننقل هذا الرأس إلى رمح نيوتن بسبب اقتراب طرفيه من القطع؛ M على المنحنى المختار، وO ليست عليه. كما أن التناظر حول المحور الرأسي يخص القطع هنا، بينما الحد1/x يبدل إشارته عند عكس x.

على المكون الأيسر تكون y′ سالبة دائمًا:2x سالب و−1/x² سالب. لا توجد فيه قيمة صغرى مماثلة. وعلى الأيمن يذهب y إلى+∞ قرب الصفر وعند+∞، وهو متسق مع الانخفاض ثم الارتفاع حول M.

تجمع النتيجة أربعة فحوص: التعويض يحدد النقاط الصحيحة، والفجوة تحدد هدف الاقتراب، والمشتقة تحدد المماس، وتغير الإشارة يميز الانعطاف والقيمة الصغرى. الحفاظ على جهة كل فحص يمنع اختزال المنحنى كله في مقارب واحد.