شبه منحرف بأكبر مساحة: هل نختار أكبر ارتفاع؟

زيادة الارتفاع وحدها لا تكفي. [1][3]

الخلاصة السريعة

نوازن الارتفاع مع عرض القاعدة. [1][3]

شبه منحرف محدب متماثل، ساقاه للخارج؛ نثبت القاعدة العليا والساقين بطول s>0 منتهٍ بالسنتيمتر. القاعدة السفلى حرة وأطول. [2]
الإسقاط الأفقي لكل ساق 0<x<s سم؛ القاعدة السفلى b=s+2x، والارتفاع العمودي h=√(s²−x²) سم. المستطيل x=0 والشكل المسطح x=s مستبعدان. [3]
المساحة A=(s+b)h/2=(s+x)√(s²−x²) سم². ضع u=x/s∈(0,1) بلا وحدة؛ A²/s⁴=f(u)=(1−u)(1+u)³. [1][3]
الفرق 27/16−f(u)=(2u−1)²(4u²+12u+11)/16≥0؛ المساواة فقط عند u=1/2. لذلك A_max=3√3s²/4 سم²؛ A>0 يحفظ ترتيب المساحات عند تربيعها. [1][3][4]
في مثالنا s=5 سم، الأمثل x=2.5 وb=10 وh=5√3/2≈4.330127 سم؛ المساحة 75√3/4≈32.475953 سم². [1][3]
في المثال، x=1.25 سم يعطي ارتفاعًا أكبر h≈4.841229 سم، لكن مساحة أصغر A≈30.257682 سم². الارتفاع يقترب من s عند x→0+ دون بلوغه في نموذجنا. [1][3]

ما الذي نثبته؟

شبه منحرف محدب متماثل، ساقاه للخارج؛ نثبت القاعدة العليا والساقين بطول s>0 منتهٍ بالسنتيمتر. القاعدة السفلى حرة وأطول. [2]

الإسقاط والارتفاع

الإسقاط الأفقي لكل ساق 0<x<s سم؛ القاعدة السفلى b=s+2x، والارتفاع العمودي h=√(s²−x²) سم. المستطيل x=0 والشكل المسطح x=s مستبعدان. [3]

المساحة والمتغير

المساحة A=(s+b)h/2=(s+x)√(s²−x²) سم². ضع u=x/s∈(0,1) بلا وحدة؛ A²/s⁴=f(u)=(1−u)(1+u)³. [1][3]

برهان الحد الأعلى

الفرق 27/16−f(u)=(2u−1)²(4u²+12u+11)/16≥0؛ المساواة فقط عند u=1/2. لذلك A_max=3√3s²/4 سم²؛ A>0 يحفظ ترتيب المساحات عند تربيعها. [1][3][4]

المثال الأمثل

في مثالنا s=5 سم، الأمثل x=2.5 وb=10 وh=5√3/2≈4.330127 سم؛ المساحة 75√3/4≈32.475953 سم². [1][3]

المساحة والارتفاع — المقارنة. [1][2][3][4]

الأعلى ليس الأكبر مساحة

في المثال، x=1.25 سم يعطي ارتفاعًا أكبر h≈4.841229 سم، لكن مساحة أصغر A≈30.257682 سم². الارتفاع يقترب من s عند x→0+ دون بلوغه في نموذجنا. [1][3]

المراجع

متساوي الساقين

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.