مبدأ الحمام: نضمن العدد ولا نحدد الصندوق

الخلاصة السريعة

توزيع 14 قطعة على 5 صناديق يضمن وجود صندوق يحوي 3 قطع على الأقل. لو حوى كل صندوق قطعتين كحد أقصى، لكان المجموع 5 × 2 = 10، فلا تتسع هذه الفرضية للقطع الأربع عشرة. والضمان 3 هو الأقوى من العددين وحدهما: التوزيع 3,3,3,3,2 لا يحوي أي صندوق فيه 4.

• مبدأ الحمام يضمن، عند وضع عناصر كاملة في عدد موجب من الصناديق، صندوقًا يحوي على الأقل سقف حاصل قسمة عدد العناصر على عدد الصناديق. السقف هو أصغر عدد صحيح لا يقل عن حاصل القسمة. [1]
• في مثال 14 قطعة و 5 صناديق،14 ÷ 5 = 2.8 وسقف 2.8 هو 3. الحساب يعطي حدًا أدنى مضمونًا لعدد القطع في صندوق واحد على الأقل؛ ليس عددًا متساويًا تفرضه المسألة على كل صندوق.
• لو لم يوجد صندوق فيه 3 أو أكثر، لكان في كل صندوق قطعتان أو أقل. عندئذ المجموع لا يتجاوز 5 × 2 = 10، وهو أقل من 14. لذلك لا يمكن تجنب صندوق فيه 3 على الأقل.
• التوزيع 3,3,3,3,2 يجعل أكبر عدد 3، فيثبت أن 4 غير مضمون. والتوزيع 10,1,1,1,1 يحقق الضمان، مع عدم وجود صندوق فيه 3 بالضبط. يمكن تبديل مواقع الأعداد، فلا يتحدد صندوق بعينه.
• لضمان 4 قطع على الأقل في صندوق من الخمسة، نحتاج 16 قطعة. مع 15 يمكن أن يحوي كل صندوق 3؛ ومع 16 لا تكفي الحدود الخمسة ذات 3 قطع، لأن 5 × 3 = 15. هذا ضمان لكل توزيع، وليس وصفًا لتوزيع مختار.
• الصناديق الفارغة مسموحة؛ مثل 14,0,0,0,0. يجب إدخال القطع كلها مرة واحدة، واستعمال عدد الصناديق الفعلي. لو بقيت 4 قطع خارجها، فقد يكون الداخل 2,2,2,2,2 فقط؛ ولا ينطبق ضمان 14 على 10 قطع داخلها. ومع 7 صناديق يمكن توزيع 14 قطعة بواقع 2 لكل صندوق، فلا تضمن 3. لا نحتاج افتراض توزيع عشوائي.

ما الذي نعرفه قبل فتح الصناديق؟

الصناديق الخمسة مسماة A و B و C و D و E كي نستطيع وصف صورة أو توزيع محدد. لدينا 14 قطعة كاملة؛ لا نقسم قطعة بين صندوقين، ولا نعد القطعة نفسها مرتين، ولا نترك شيئًا منها خارج الصناديق. هذه شروط المثال الذي سنبرهنه.

يسمى هذا النوع من الضمان مبدأ الحمام. في صيغته العامة نقسم عدد العناصر على عدد الصناديق الموجب، ثم نأخذ السقف. يوجد صندوق واحد على الأقل عدد عناصره لا يقل عن الناتج الصحيح. [1]

القسمة 14 ÷ 5 = 2.8 لا تعني إمكان وضع 2.8 قطعة كاملة في صندوق. العدد الصحيح 2 أقل من 2.8؛ وأصغر عدد صحيح لا يقل عنها هو 3. هذه قراءة للسقف، وليست اختيار أقرب عدد صحيح بصورة عامة.

القسمة تعطي متوسط الأعداد الخمسة، حتى عندما تكون الأعداد مختلفة. مثلًا 3,3,3,3,2 مجموعها 14 ومتوسطها 2.8. الصورة الرئيسية تعرض هذا التوزيع الممكن وحده، ولا تزعم أنه التوزيع الوحيد أو أن الصناديق يجب أن تكون متقاربة.

افترض أن كل صندوق يحوي قطعتين فقط أو أقل

لنفحص عكس النتيجة المطلوبة: لا يوجد أي صندوق فيه 3 قطع أو أكثر. لأننا نعد قطعًا كاملة، يعني ذلك أن الأعداد الخمسة كلها لا تتجاوز 2. بعض الصناديق قد يحوي قطعة واحدة أو لا يحوي شيئًا، لكن هذا لن يزيد مجموعها.

أكبر مجموع ممكن تحت هذا الافتراض هو 5 × 2 = 10. لدينا بالفعل 14 قطعة داخل الصناديق، و 14 > 10. إذن افتراض الحدود الخمسة ذات القطعتين يتعارض مع العدد المعلوم، ولا بد من صندوق يتجاوز 2.

تجاوز 2 مع عدد صحيح من القطع يعني بلوغ 3 أو أكثر. البرهان لا يتطلب أن نضع القطع بالتساوي، ولا أن يكون في كل صندوق شيء، ولا أن نعرف ترتيب وضعها. كل ما استعملناه هو المجموع 14 وعدد الصناديق 5 وكمال القطع.

هذا يثبت وجود صندوق مناسب. إذا أردنا معرفة أي صندوق في توزيع فعلي، نحتاج إلى فحص أعداده أو تسجيل مكان القطع. الحساب وحده لا يستخرج اسمًا من A إلى E، لأن تبديل الصناديق لا يغير المجموع أو عددها.

ثلاثة على الأقل تختلف عن ثلاثة بالضبط

في 3,3,3,3,2، أكبر عدد في صندوق هو 3. هذا توزيع صحيح للقطع الأربع عشرة، ومع ذلك لا يوجد فيه صندوق يحوي 4. لذلك لا نستطيع رفع الضمان العام من 3 إلى 4 باستخدام 14 و 5 وحدهما.

أما 10,1,1,1,1 فمجموعه 14 أيضًا. الصندوق الأول يحوي 10، وبقية الصناديق قطعة واحدة. يوجد صندوق فيه 3 أو أكثر، لكن لا يوجد صندوق فيه 3 بالضبط. لم يخالف التوزيع النتيجة؛ فالعدد 10 يدخل ضمن «على الأقل 3».

والتوزيع 14,0,0,0,0 مقبول في شروطنا. يثبت أن الضمان لا يشمل كل صندوق، بل واحدًا على الأقل. ولا نعد الصندوق الفارغ مفقودًا من النموذج: ما زالت الخيارات خمسة، رغم أن أربعة منها خالية في هذا المثال.

الجدول يعرض أمثلة مختارة، وليس جميع طرق توزيع القطع. كل قائمة مرتبة بحسب A ثم B ثم C ثم D ثم E. راجع مجموع كل صف وأكبر عدد فيه؛ الصفان الأخيران يخصان 15 و 16 قطعة، ولا يصفان الحالة الأصلية 14.

خمسة عشر لا تضمن أربعًا، وست عشرة تضمنها

نغير السؤال: كم قطعة نحتاج لضمان صندوق يحوي 4 على الأقل، أيًا كان توزيعها على الصناديق الخمسة؟ مع 15 قطعة نستطيع اختيار 3,3,3,3,3؛ لا يبلغ أي صندوق 4. إذن 15 لا تكفي لهذا الضمان، حتى لو وجدت توزيعات أخرى لها صندوق أكبر.

إذا صارت القطع 16، وفرضنا أن كل صندوق يحوي 3 أو أقل، لم يتجاوز المجموع 5 × 3 = 15. العدد 16 أكبر من هذا الحد، فلا بد من صندوق فيه 4 أو أكثر. يثبت المثال السابق عدم كفاية 15، ويثبت هذا البرهان كفاية 16؛ فهي أقل كمية تضمن المطلوب.

الصورة الداخلية تبدأ بخمسة صناديق في كل منها 3، فيكون المجموع 15. وضع القطعة التالية في A يصنع 4,3,3,3,3. اختيار A في الرسم وسيلة عرض؛ لو وضعناها في صندوق آخر لبلغ ذلك الصندوق 4 بدلًا منه.

الرسم يوضح انتقالًا واحدًا من 15 إلى 16، أما البرهان فيغطي كل توزيع للست عشرة. يمكن مثلًا وضع الست عشرة كلها في صندوق واحد؛ تبقى النتيجة صحيحة لأن 16 أكبر من 4. لا يشترط الضمان أن يكون أكبر عدد مساويًا 4 بالضبط.

عد الداخل فعلًا، واترك شروط التوزيع واضحة

لو كانت لدينا 14 قطعة على الطاولة، ثم وضعنا 10 فقط في الصناديق وتركنا 4 خارجها، أمكن اختيار 2,2,2,2,2. لا يصح استعمال العدد 14 في برهان عن المحتويات الداخلية. نص المثال الأصلي يضع جميع القطع، ولذلك لا يسمح بهذا الاستثناء.

إذا استعملنا 7 صناديق فعلية بدل 5، أمكن توزيع 14 قطعة على صورة 2,2,2,2,2,2,2. لا يوجد هنا صندوق فيه 3. تغيير عدد الصناديق يغير الحساب؛ لا نحافظ على نتيجة 3 بعد تبديل العدد الذي قسمنا عليه.

نعد قطعًا كاملة موزعة في صندوق واحد لكل قطعة، لا كميات قابلة للتجزئة ولا أعضاء يمكن تسجيلهم في أكثر من مجموعة. إذا سمح السؤال بالتقسيم أو التكرار، فتحتاج إلى نموذج جديد؛ شروط برهان 14 قطعة لا تصف تلك الحالات.

لا يحتاج هذا الضمان إلى مساواة فرص الاختيار أو طريقة رمي عشوائية؛ كل توزيع يستوفي الشروط يحقق النتيجة. كما لا يخبرنا احتمال أن يكون A هو الصندوق الكبير. اكتب المجموع الفعلي وعدد الصناديق ومعنى «على الأقل» قبل الاستنتاج.