صيغ فييت: اقرأ علاقات الجذور من المعاملات

اقرأ المعاملات بعد ترتيب القوى

في P(x)=6x³−11x²−3x+2، نقرأ a=6 وb=−11 وc=−3 وd=2. الإشارة جزء من المعامل؛ لهذا −b=11، بينما −d=−2.

صيغ المكعب تعطي المجموع−b/a، ومجموع جداءات الأزواجc/a، والضرب−d/a. [2]

بالتعويض نحصل على11/6، و−3/6=−1/2، و−2/6=−1/3. إذا قرأت11 و−3 و−2 دون القسمة على6، تكون قد استعملت قاعدة المعامل الرئيس1 في مثال لا يحققها.

نستعمل جميع الجذور مع التكرار، في الأعداد العقدية عند الحاجة؛ لا نجمع الجذور الحقيقية وحدها إذا بقيت جذور غير حقيقية خارج القائمة. [3]

وللتربيعية ax²+bx+c، المجموع−b/a والضربc/a عند a≠0. [1] مثلًا 2x²−9x+4=(2x−1)(x−4)، فجذراها1/2 و4: مجموعهما9/2 وضربهما2.

النشر يفسر الإشارات

نكتب المكعب على صورة a(x−r)(x−s)(x−t). النشر يعطي a[x³−(r+s+t)x²+(rs+rt+st)x−rst]؛ مقارنة المعاملات تفسر العلاقات الثلاث. [1][3]

لاحظ أن معامل x يجمع جداءات ثلاثة أزواج، لا مربعات الجذور، وأن الحد الثابت يحمل سالب حاصل ضرب الجذور في المكعب. [2]

في مثالنا P(x)=(x−2)(2x+1)(3x−1). العاملان الأخيران يعطيان6x²+x−1؛ ثم الضرب في x−2 يعطي6x³−11x²−3x+2.

القيم2 و−1/2 و1/3 تصفر العوامل. مجموعها12/6−3/6+2/6=11/6. جداءات الأزواج−1 و2/3 و−1/6، ومجموعها−6/6+4/6−1/6=−1/2؛ حاصل الضرب−1/3.

إذا ظهر الجذر مرتين، احتفظ به مرتين في القائمة. [1] في H(x)=3(x−2)²(x+1)=3x³−9x²+12، القائمة2،2،−1.

مجموعها3، وجداؤها−4. أما جداءات الأزواج فهي4،−2،−2، فتجمع إلى0؛ وهذا يطابق معامل x الغائب. إسقاط إحدى نسختي2 يعطي مجموعًا1، فلا يطابق−(−9)/3.

احسب تعبيرًا دون حل جديد

لنسمِّ المجموع S1، ومجموع جداءات الأزواج S2، والضرب S3. نشر مربع S1 يعطي r²+s²+t²=S1²−2S2. [1]

في P نجد (11/6)²−2(−1/2)=121/36+1=157/36. ونراجع من الجذور:4+1/4+1/9=144/36+9/36+4/36=157/36.

إذا كانت الجذور الثلاثة غير صفرية، فإن1/r+1/s+1/t=(st+rt+rs)/(rst)=S2/S3. جمع الكسور على المقام المشترك يبرهن الهوية مباشرة.

إذن مجموع المقلوبات في P يساوي(−1/2)/(−1/3)=3/2. ومن الجذور نحصل على1/2−2+3=3/2 أيضًا.

أما Q(x)=x³−4x²−5x=x(x−5)(x+1)، فقائمة جذوره0،5،−1. المجموع4، والأزواج−5، والضرب0؛ العلاقات تعمل، لكن مقلوب الجذر0 غير معرف، فلا نحسب مجموع المقلوبات بقسمة−5 على0.

لا تكتفِ بالمجموع والضرب

تأمل الجذور المقترحة1،6،6: مجموعها13 وضربها36، وجداءات الأزواج6 و6 و36، ومجموعها48. لذلك عواملها تعطي U(x)=(x−1)(x−6)²=x³−13x²+48x−36.

والقائمة2،2،9 لها المجموع13 والضرب36 أيضًا، لكن الأزواج4 و18 و18 مجموعها40. عواملها تعطي V(x)=(x−2)²(x−9)=x³−13x²+40x−36.

المكعبان مختلفان رغم تطابق معامل x² والحد الثابت. فلو قدم أحدهم القائمة2،2،9 جذورًا لـU، يمر فحص المجموع والضرب، ثم يفشل فحص الأزواج. بل U(2)=16 وU(9)=72، فلا تصفر القيم المقترحة U.

للمكعب، مطابقة العلاقات الثلاث مع المعامل الرئيس تعيد كل المعاملات عند نشر العوامل. [2] لكن هذا يتطلب قائمة من ثلاثة جذور مع التكرار؛ مطابقة بعض العلاقات فقط لا تكفي.

راجع الدرجة، والمعامل الرئيس غير الصفري، والمعاملات الغائبة التي تساوي صفرًا، والإشارات. ثم احتفظ بتكرار الجذور، وحدد إن كنت تحسب علاقة جماعية أم تبحث عن قيمة كل جذر.