طول حزام حول دائرتين: هل تكفي أنصاف المحيطات؟

نجمع المماسين والقوسين. [1][3]

الخلاصة السريعة

تكفي أنصاف المحيطات عندما R=r. [1][3]

مسار مثالي مشدود خارجي غير متقاطع حول دائرتين في مستوى واحد؛ R≥r>0 وd>R+r منتهية بالسنتيمتر. d بعد المركزين؛ السماكة مهملة. [2]
ضع δ=R−r؛ طول كل قطعة مماس t=√(d²−δ²)، لا d. أنصاف القطر عمودية على المماسين. [1][4]
الزاوية α=asin(δ/d) بالراديان. قوس الكبيرة زاويته π+2α، والصغيرة π−2α؛ طول القوس يساوي نصف القطر في زاويته. [1][3]
الطول الكامل L=2t+R(π+2α)+r(π−2α)=2t+π(R+r)+2δα سم. نجمع قطعتين مستقيمتين وقوسين. [1][3]
بمثالنا (R,r,d)=(4,1,10) سم، t≈9.539392؛ القوسان 15.003912 و2.532207 سم، فيكون L≈36.614903 سم. التقدير 2d+π(R+r)≈35.707963 سم أقل بنحو 0.906940 سم. [1][3]
عند R=r تكون α=0 وt=d، فيصبح L=2d+2πR. بمثالنا R=r=2 وd=10 سم، L≈32.566371 سم. النموذج هندسي؛ لا يحدد سماكة سير فعلي أو شدّه. [1][3]

النموذج

مسار مثالي مشدود خارجي غير متقاطع حول دائرتين في مستوى واحد؛ R≥r>0 وd>R+r منتهية بالسنتيمتر. d بعد المركزين؛ السماكة مهملة. [2]

القطعتان المستقيمتان

ضع δ=R−r؛ طول كل قطعة مماس t=√(d²−δ²)، لا d. أنصاف القطر عمودية على المماسين. [1][4]

قوسا التماس

الزاوية α=asin(δ/d) بالراديان. قوس الكبيرة زاويته π+2α، والصغيرة π−2α؛ طول القوس يساوي نصف القطر في زاويته. [1][3]

اجمع الأجزاء الأربعة

الطول الكامل L=2t+R(π+2α)+r(π−2α)=2t+π(R+r)+2δα سم. نجمع قطعتين مستقيمتين وقوسين. [1][3]

مثال مختلف الأنصاف

بمثالنا (R,r,d)=(4,1,10) سم، t≈9.539392؛ القوسان 15.003912 و2.532207 سم، فيكون L≈36.614903 سم. التقدير 2d+π(R+r)≈35.707963 سم أقل بنحو 0.906940 سم. [1][3]

تساوي الأنصاف

عند R=r تكون α=0 وt=d، فيصبح L=2d+2πR. بمثالنا R=r=2 وd=10 سم، L≈32.566371 سم. النموذج هندسي؛ لا يحدد سماكة سير فعلي أو شدّه. [1][3]

المراجع

مماسات الدائرة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.