الشمول والاستبعاد: شرط ثالث قد لا يزيد العدد

الخلاصة السريعة

الأعداد المطلوبة 12 عددًا:3 و 4 و 6 و 8 و 9 و 12 و 15 و 16 و 18 و 20 و 21 و 24. حساب المجموعات والتقاطعات هو 8 + 6 + 4 − 2 − 4 − 2 + 2 = 12. كل مضاعف لـ 6 هنا مضاعف لـ 3 أيضًا، لذلك يظل الاتحاد نفسه لو اكتفينا بشرطي القسمة على 3 أو 4.

• لعد اتحاد ثلاث مجموعات، نجمع أعداد عناصرها، ونطرح أعداد التقاطعات الثنائية الثلاثة، ثم نعيد عدد التقاطع الثلاثي. المطلوب عد كل عنصر في الاتحاد مرة واحدة. [1]
• النطاق هو الأعداد الصحيحة من 1 إلى 24، شاملًا الطرفين ودون 0. نسمي مضاعفات 3 المجموعة A وعددها 8، ومضاعفات 4 المجموعة B وعددها 6، ومضاعفات 6 المجموعة C وعددها 4. كلمة «أو» تقبل تحقق شرط واحد أو أكثر.
• التقاطع A∩B يضم 12 و 24 وعدده 2؛A∩C يضم 6 و 12 و 18 و 24 وعدده 4؛B∩C يضم 12 و 24 وعدده 2. والتقاطع الثلاثي 12 و 24 أيضًا، وعدده 2. التقاطعات الثنائية تشمل من يحقق الشرط الثالث كذلك.
• الجمع الأول 18، وبعد طرح التقاطعات الثنائية يصبح 10، ثم تعيد إضافة التقاطع الثلاثي العدد إلى 12. العدد 12 مثلًا عُد ثلاث مرات، وطُرح ثلاث مرات، ثم أعيد مرة:3 − 3 + 1 = 1.
• شرط القسمة على 6 لا يضيف عناصر إلى اتحاد A و B، لأن C داخل A. الحساب الأقصر 8 + 6 − 2 = 12 يعطي النتيجة نفسها؛ ليس ذلك ترخيصًا لحذف أي شرط ثالث دون فحصه؛ فشرط القسمة على 5 يدخل 5 خارج القائمتين.
• تحقق شرط واحد بالضبط يعطي 8 أعداد فقط، ويختلف عن شرط واحد على الأقل الذي يعطي 12. إذا انتهى النطاق عند 23 صار الاتحاد 11 عددًا؛ وإذا بدأ من 0 إلى 24 صار 13، لأن 0 يحقق الشروط الثلاثة. الأعداد تخص النطاق والشرط المعلنين.

ثلاث قوائم داخل نطاق واحد، والاتحاد لا يكرر العنصر

مبدأ الشمول والاستبعاد لثلاث مجموعات يجمع أحجام المجموعات منفردة، ثم يطرح أحجام التقاطعات الثنائية، ثم يضيف حجم التقاطع الثلاثي. بهذه المعالجة يحسب كل عنصر داخل الاتحاد مرة واحدة. [1]

نحصر الأعداد الصحيحة من 1 إلى 24، بما فيها 24 ودون 0. نختار A لمن يقبل القسمة على 3، و B لمن يقبل القسمة على 4، و C لمن يقبل القسمة على 6. قابلية القسمة هنا تعني وجود عدد صحيح نضربه في المقسوم عليه فنحصل على العدد، دون باقٍ.

العدد 12 يحقق الشروط الثلاثة:12 = 3 × 4 و 12 = 4 × 3 و 12 = 6 × 2. لكنه عنصر واحد في القائمة النهائية. أما العدد 3 فيحقق شرط القسمة على 3 فقط؛ وجود شرطين لا يحققهما لا يمنع إدراجه، لأن السؤال يستعمل «أو».

الصورة الرئيسية تعرض الأعداد الأربعة والعشرين مرة واحدة في شبكة. الأزرق يميز من يحقق شرطًا واحدًا على الأقل، والإطار الأخضر يحدد مضاعفات 6 التي دخلت الاتحاد أصلًا ضمن مضاعفات 3. موضع الخانة ومساحتها لا يحددان وزنًا أو احتمالًا.

اكتب عناصر المجموعات والتقاطعات قبل العمليات

قائمة A هي 3 و 6 و 9 و 12 و 15 و 18 و 21 و 24، وعددها 8. قائمة B هي 4 و 8 و 12 و 16 و 20 و 24، وعددها 6. قائمة C هي 6 و 12 و 18 و 24، وعددها 4. تحقق من كل قائمة بضرب المقسوم عليه في الأعداد الصحيحة الموجبة حتى الحد 24.

نبحث الآن عن العناصر المشتركة بين كل زوج من القوائم. في A و B نجد 12 و 24. في A و C نجد عناصر C الأربعة كلها. وفي B و C نجد 12 و 24 أيضًا. لا نستبعد 12 من تقاطع A و B لمجرد انتمائه إلى C.

التقاطع الثلاثي هو العناصر التي تظهر في القوائم الثلاث معًا:12 و 24. لذلك عدد A∩B يساوي عدد A∩B∩C في هذا المثال، رغم اختلاف السؤالين في التعريف. وقد تتغير هذه العلاقة لو غيرنا شروط القوائم.

الجدول يعرض كل مجموعة أو تقاطع وعناصره وعدده. فواصل القائمة تفصل عناصر، والرمز∩ يعني أخذ المشترك. هذه التقاطعات شاملة، وليست فئات «الشرطان الأولان فقط» أو «شرطان بالضبط».

إضافة التقاطع الثلاثي تعيد العددين 12 و 24

في الجمع الأول نحصل على 8 + 6 + 4 = 18. نطرح التقاطعات الثنائية بأعدادها 2 و 4 و 2، فيكون 18 − 2 − 4 − 2 = 10. هذا ناتج مرحلة وسطى، ولا يمثل الاتحاد النهائي.

نضيف عدد التقاطع الثلاثي 2، فتصير النتيجة 8 + 6 + 4 − 2 − 4 − 2 + 2 = 12. الصورة الداخلية تفصل حدود الجمع والطرح وإعادة التقاطع الثلاثي، كي لا يختلط حجم المجموعة بإشارة دخوله في الحساب.

راجع العدد 12 وحده. يدخل في A و B و C، لذلك ظهر ثلاث مرات في الجمع. يدخل كذلك في A∩B و A∩C و B∩C، فطرحناه ثلاث مرات. من دون الحد الأخير كان رصيده 0؛ إضافته ضمن A∩B∩C تعطي 3 − 3 + 1 = 1. ينطبق الحساب نفسه على 24.

العدد 6 ينتمي إلى A و C دون B؛ يجمع مرتين ويطرح مرة ضمن A∩C، فيكون 2 − 1 = 1. والعدد 3 ينتمي إلى A فقط، فيدخل مرة دون طرح. نجمع هذه الحالات لنفهم لماذا تختفي التكرارات دون حذف العناصر المقبولة.

عند دمج القوائم وكتابة كل عنصر مرة، نحصل على 3 و 4 و 6 و 8 و 9 و 12 و 15 و 16 و 18 و 20 و 21 و 24. عددها 12، فتؤكد الحساب. الحصر المباشر مفيد هنا لأن النطاق صغير؛ لا نعتمد على صحة شكل المعادلة وحده دون مراجعة القوائم.

لماذا لا يضيف شرط القسمة على 6 عناصر جديدة؟

إذا كان العدد مضاعفًا لـ 6، فهو مضاعف لـ 3 أيضًا: نستبدل 6 بجداء 3 × 2 في الضرب الذي ينتجه. في النطاق المحدد تظهر عناصر C الأربعة كلها في A. لذلك C مجموعة محتواة في A، وليست مجموعة جديدة من عناصر خارجها.

من يحقق «القسمة على 3 أو 4 أو 6» يحقق بالفعل «القسمة على 3 أو 4»، والعكس صحيح لأن الشرطين الأولين ما زالا ضمن السؤال. الاتحادان متساويان هنا. نستطيع حساب الاتحاد من A و B فقط:8 + 6 − 2 = 12.

في الحساب ذي الشروط الثلاثة، يلغى عدد C مع طرح A∩C لأن كلا العددين 4، ويلغى طرح B∩C مع إضافة A∩B∩C لأن كلا العددين 2. تبقى حدود A و B وتقاطعهما. هذا اختصار نبرره من القوائم والاحتواء، لا من تشابه أسماء المجموعات.

لا نحذف شرطًا ثالثًا في مسألة أخرى لمجرد أنه الثالث. مثلًا العدد 5 لا يحقق شرط القسمة على 3 أو 4؛ لو أضفنا شرط القسمة على 5 لدخل 5 في الاتحاد الجديد. هذه ملاحظة على اختلاف الشرط، وليست إعادة استخدام للعدد 12 في سؤال معدل.

على الأقل وبالضبط، وحدود النطاق، تعطي أسئلة مختلفة

من يحقق شرطًا واحدًا بالضبط هنا هم 3 و 4 و 8 و 9 و 15 و 16 و 20 و 21؛ عددهم 8. أما 6 و 18 فيحققان شرطين، و 12 و 24 يحققان الثلاثة. سؤال الاتحاد يقبل هذه الحالات جميعًا، فيكون عدده 8 + 2 + 2 = 12.

إذا انتهينا عند 23 بدل 24، نحذف 24 من النطاق ومن القوائم التي تضمه. تبقى 11 قيمة في الاتحاد، لا 12. لا يجوز إبقاء أعداد التقاطعات القديمة ثم وصف الجواب بأنه يخص النطاق الجديد.

وفي تعديل مختلف يبدأ من 0 وينتهي عند 24، يدخل 0 في القوائم الثلاث:0 = 3 × 0 و 0 = 4 × 0 و 0 = 6 × 0. يضاف عنصر واحد إلى الاتحاد فيصبح 13. لم يدخل 0 في حسابنا الأصلي لأننا بدأنا من 1، لا لأن القسمة عليه مطلوبة أو مسموحة.

نعد عناصر مجموعة محددة، ولا نضع احتمالًا لاختيار عدد دون إعلان طريقة الاختيار. احتفظ بحدي النطاق وبمعنى «أو» وبقوائم التقاطع. لا تسم حجم التقاطع الثنائي عدد من يحقق شرطين بالضبط إلا بعد إخراج من يحقق الثالث وفق سؤال جديد.