عدد أضلاع المضلع من المساحة والمحيط يمكن استعادته وحيدًا إذا كان المضلع منتظمًا محدبًا والمعطيان دقيقين ومتوافقين. نميز وجود الحل من وحدانيته، ونبرهن التزايد بالمشتقات. [1][2]
الخلاصة السريعة
نختبر نسبة 4A/P²؛ قد تطابق عددًا صحيحًا واحدًا للأضلاع، وقد لا تطابق أي عدد. [1][2]
- نفترض مضلعًا منتظمًا بسيطًا محدبًا، له n≥3 أضلاع، وn صحيح. المحيط P>0 والمساحة A>0 دقيقان، بوحدة طول ومربعها؛ طول الضلع s=P/n. الزاوية π/n بالراديان، لا بالدرجات. [1]
- من صيغة المنتظم: A=ns²/(4tan(π/n))=P²/(4n·tan(π/n)). إذن Q=4A/P²=F(n)، حيث F(n)=1/(n·tan(π/n)) وtan الظل. النسبة بلا وحدة؛ نحذف طول الضلع باستعمال المحيط. [1]
- في الحل الدقيق، نبحث عن عدد صحيح n≥3 يحقق Q=F(n)، ثم نستعيد s=P/n. إذا تطابقت النسبة، فإن إنشاء المنتظم بهذا الضلع يعيد P وA؛ عدم التطابق يمنع وجوده. [1]
- للبرهان: ضع x=π/n، وH(x)=x−sinx·cosx. عند 0<x≤π/3: H(0)=0 وH′(x)=2sin²x>0، فتكون H>0. ومشتقة tanx/x هي H/(x²cos²x)>0؛ لذلك F(n)=x/(πtanx) يزيد مع n، فيمنع حلين مختلفين. sin الجيب وcos جيب التمام. [2]
- مثال مؤلف: P=30cm وA=(75√3/2)cm². نحصل على Q=√3/6=F(6)، فيكون n=6 وs=5cm. التحقق: P=6×5cm=30cm، وA=(3√3/2)×25cm²=(75√3/2)cm². cm سنتيمتر. [1]
- مع P=30cm وA=50cm² تصبح Q=2/9، بين F(3)=√3/9 وF(4)=1/4. التزايد يمنع أي عدد صحيح مناسب؛ الإيجابية لا تكفي. المعطيان المقربان لا يثبتان وحدانية دقيقة؛ يلزم تحديد سماح القياس. [1][2]
ثبت الانتظام ودقة المعطيين
نفترض مضلعًا منتظمًا بسيطًا محدبًا، له n≥3 أضلاع، وn صحيح. المحيط P>0 والمساحة A>0 دقيقان، بوحدة طول ومربعها؛ طول الضلع s=P/n. الزاوية π/n بالراديان، لا بالدرجات. [1]
احذف طول الضلع من القانونين
من صيغة المنتظم: A=ns²/(4tan(π/n))=P²/(4n·tan(π/n)). إذن Q=4A/P²=F(n)، حيث F(n)=1/(n·tan(π/n)) وtan الظل. النسبة بلا وحدة؛ نحذف طول الضلع باستعمال المحيط. [1]
افحص التطابق مع عدد صحيح
في الحل الدقيق، نبحث عن عدد صحيح n≥3 يحقق Q=F(n)، ثم نستعيد s=P/n. إذا تطابقت النسبة، فإن إنشاء المنتظم بهذا الضلع يعيد P وA؛ عدم التطابق يمنع وجوده. [1]
أثبت لماذا لا يوجد حلان
للبرهان: ضع x=π/n، وH(x)=x−sinx·cosx. عند 0<x≤π/3: H(0)=0 وH′(x)=2sin²x>0، فتكون H>0. ومشتقة tanx/x هي H/(x²cos²x)>0؛ لذلك F(n)=x/(πtanx) يزيد مع n، فيمنع حلين مختلفين. sin الجيب وcos جيب التمام. [2]
استعد السداسي وتحقق
مثال مؤلف: P=30cm وA=(75√3/2)cm². نحصل على Q=√3/6=F(6)، فيكون n=6 وs=5cm. التحقق: P=6×5cm=30cm، وA=(3√3/2)×25cm²=(75√3/2)cm². cm سنتيمتر. [1]
اعرض معطيين بلا مضلع منتظم
مع P=30cm وA=50cm² تصبح Q=2/9، بين F(3)=√3/9 وF(4)=1/4. التزايد يمنع أي عدد صحيح مناسب؛ الإيجابية لا تكفي. المعطيان المقربان لا يثبتان وحدانية دقيقة؛ يلزم تحديد سماح القياس. [1][2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.