كيف نحسب طول القطعة بين A(−3,2) وB(9,7) دون قياس الرسم بالمسطرة؟ قانون البعد بين نقطتين يحول السؤال إلى فروق إحداثيات وتربيع وجذر، لكن نسخ الزوج المرتب أو تجاهل وحدة المحور قد يغير المسألة قبل أن يبدأ الحساب. نتتبع هنا نقاطًا مؤلفة للتدريب، ونفحص الحالات الخاصة، ونميز المسافة المباشرة من طول مسار مكسور.
الخلاصة السريعة
قانون البعد بين نقطتين في مستوى بمحورين متعامدين ووحدات طول متوافقة هو d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]، حيث d طول القطعة الواصلة بينهما. [1]
- اكتب كل زوج بترتيب (x,y)، واحسب فرق الأفقيين وفرق الرأسيين داخل أقواس ثم ربعهما واجمع وخذ الجذر غير السالب؛ في المثال A(−3,2) وB(9,7) تكون الفروق 12 و5 والمسافة 13. [1]
- المسافة المباشرة في المثال 13، بينما المسار الأفقي ثم الرأسي طوله 17. لا يحدد هذا الحساب طريقًا فعليًا أو زمن رحلة.
- عكس ترتيب الطرفين يغير إشارات الفروق ويحفظ الطول. تبديل الإحداثيين في النقطتين معًا قد يحفظ رقم المسافة رغم تغيير المواقع، لذلك راجع المدخلات أيضًا.
- إذا تساوى إحداثي واحد بقي الفرق في الآخر؛ وإذا تطابقت النقطتان فالمسافة صفر. ميز مربع الطول من الطول، واحتفظ بالجذر الدقيق قبل التقريب: √34≈5.83.
- حول فروق المحورين إلى وحدة متوافقة قبل الجذر. عند فرق تدريجات 3 و4 ومقياسي 2 سم و1 سم يكون الطول √52≈7.21 سم، لا خمسة سنتيمترات.
- في مثالنا يحفظ النقل المشترك الطول 13، والتكبير الموحد بمعامل اثنين يعطي 26، أما تكبير اتجاه واحد فيعطي جوابًا آخر. راجع التحويل والفروق بدل توقع نتيجة واحدة لكل تغيير.
- يمكن مقارنة القرب بمربعي المسافتين إذا كانت الوحدات متوافقة، لكن جواب الطول يحتاج الجذر. تغيير مقياس أحد المحورين قد يغير النقطة الأقرب؛ افحص الترتيب والإشارات والوحدات في التدريبات.
افهم القانون وحدود استعماله
في مستوى ديكارتي بمحورين متعامدين، نحسب طول القطعة بين نقطتين من فروق إحداثياتهما: d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]. تمثل الفروق ضلعي مثلث قائم، وتمثل القطعة المائلة وتره؛ لذلك تظهر نظرية فيثاغورس. نقيس الطولين بوحدة متوافقة قبل الحساب، ونأخذ الجذر غير السالب لأنه طول. [1]
سنعمل على نقاط اخترناها للتدريب، لا على قياسات موقع حقيقي. في المثال الرئيس النقطة A هي A(−3,2)، والنقطة B هي B(9,7). نقرأ كل زوج مرتب باعتباره الإحداثي الأفقي ثم الرأسي. معنى السؤال هنا هو طول القطعة AB في هذا المستوى، وليس طول طريق ميداني أو زمن الوصول من نقطة إلى أخرى.
قبل التعويض اكتب رموز الإحداثيات في سطر واضح: x₁=−3، وy₁=2، وx₂=9، وy₂=7. هذه ليست خطوة شكلية؛ فهي تمنع وضع إحداثي رأسي مكان أفقي بسبب اتجاه الكتابة. لاحظ أيضًا أن الرقم السالب جزء من الإحداثي، ولا نحذفه لأننا نريد في النهاية طولًا موجبًا.
إذا نقلت النقاط من رسم، فتأكد مما تمثله تدريجات المحورين. في أمثلتنا الأولى يمثل كل عدد وحدة طول واحدة على المحورين. سنغير هذا الشرط لاحقًا في تدريب عن محورين بمقياسين مختلفين، لنرى لماذا لا يكفي حساب الجذر من الأرقام المجردة عند السؤال عن مسافة بالسنتيمتر.
احسب الفروق أولًا ثم التربيع ثم الجذر
في المثال A(−3,2) وB(9,7)، الفرق الأفقي من A إلى B هو 9−(−3)=12. الفرق الرأسي هو 7−2=5. نستطيع تفسير الفرق الأول بالتحرك من سالب ثلاثة إلى الصفر ثلاث وحدات، ثم من الصفر إلى تسعة تسع وحدات؛ المجموع اثنتا عشرة. أما ارتفاع النقطة الثانية عن الأولى فخمس وحدات.
نربع الفرقين بعد إتمام الطرح: 12²=144، و5²=25. نجمع المربعين فنحصل على 169. هذا العدد هو مربع طول القطعة، لا طولها نفسه. الجذر √169=13؛ لذلك المسافة AB تساوي ثلاث عشرة وحدة طول. يمكننا إعادة الفحص بتربيع الجواب: 13²=169 يطابق مجموع المربعين.
اكتب الحل في مراحل منفصلة إذا كنت تتعلم القانون: الفرقان، ثم مربعاهما، ثم المجموع، ثم الجذر، ثم الوحدة. فصل المراحل يجعل مكان الخطأ ظاهرًا. فإذا وجدت 17 بدل 13، فاسأل هل جمعت 12 و5 مباشرة؟ وإذا وجدت 169، فاسأل هل توقفت قبل أخذ الجذر؟ العددان يخصان عمليتين غير المطلوب.
في الرسم الأصلي لهذا المثال سنضع C(9,2)، فتكون AC أفقية وCB رأسية. تقع الزاوية القائمة عند C لأن أحد الضلعين يوازي المحور الأفقي والآخر يوازي الرأسي. طول AC هو 12، وطول CB هو 5، وطول AB هو 13. الأعداد والرسم يعبران عن المسألة نفسها، لا عن ثلاثة أمثلة منفصلة.
لماذا لا نجمع الفروق للحصول على المسافة المباشرة؟
إذا تحركنا في المثال من A إلى C ثم من C إلى B، قطعنا 12+5=17 وحدة على مسار من قطعتين. وإذا وصلنا A وB بقطعة واحدة، فطولها 13 وحدة كما حسبنا. الفرق أربع وحدات بين المسارين المحددين. الجواب 17 صحيح لطول المسار المكسور المختار، لكنه لا يجيب عن طول القطعة المباشرة AB.
المثلث في الرسم يساعد على رؤية المسألتين: الخطان الأفقي والرأسي مسار، والخط المائل قطعة أخرى. لا نستنتج أن 13 هو طول أي طريق يمكن السير فيه بين الموقعين إذا وصفناهما يومًا بإحداثيات؛ قد يمنع حاجز اتباع القطعة المباشرة. هنا ليست لدينا بيانات طريق أو حاجز أصلًا، ولدينا تمرين رياضي في مستوى.
إذا كان سؤال التدريب يذكر المرور بالنقطة C، فاحسب طول AC ثم CB واجمعهما. أما إذا طلب المسافة بين A وB، فطبق حساب القطعة الواصلة مباشرة. اكتب في الجواب اسم المسار الذي قسته؛ ذلك أدق من عرض رقم واحد بلا وصف. عبارة «طول A ثم C ثم B» تمنع التباسه مع طول AB.
يمكن اختبار الفرق بمثال أفقي بسيط أيضًا. اختر D(1,4) وE(7,4) وF(7,8). المسار من D إلى E ثم إلى F طوله عشرة، بينما DF يساوي √52، أي نحو 7.21 وحدة. المثال مؤلف لتثبيت السؤالين، ولا يصف خريطة أو شبكة شوارع فعلية. لا تحول الجواب التقريبي إلى مساواة دقيقة مع الجذر.
عالج الإشارة السالبة داخل الأقواس
لنبدل ترتيب النقطتين في المثال الرئيس، فنحسب من B إلى A. الفرق الأفقي يصير −3−9=−12، والرأسي يصير 2−7=−5. تربيع الفرقين يعطي 144 و25 مرة أخرى، فتظل المسافة 13. اتجاه الفرق تغير، لكن الطول الذي نحسبه لم يتغير؛ نختبر ذلك بالأعداد بدل الاكتفاء بوعد حفظ قاعدة.
انتبه إلى الفرق بين (−12)² وبين −12² عند قراءة تعبير حسابي. الأول يربع العدد السالب كله فيعطي 144. وفي الثاني، إذا اتبعنا ترتيب العمليات المعتاد، يجرى التربيع قبل الإشارة الخارجية فيعطي −144. لذلك نكتب فرق الإحداثيين داخل قوسين قبل التربيع. الأقواس تحدد العدد المقصود، ولا توضع لمجرد تحسين شكل الحل.
جرب مثالًا آخر مؤلفًا: P(−5,−2) وQ(1,6). لدينا فرق أفقي مقداره ست وحدات، وفرق رأسي مقداره ثماني وحدات. المربعان 36 و64، ومجموعهما مئة، والجذر عشرة. إذا قرأت −2 على أنها 2، يصبح الفرق الرأسي أربعة، ويتغير مجموع المربعين إلى 52؛ هذا فحص واضح لأثر فقد الإشارة.
يمكنك استعمال القيم المطلقة للفروق عندما تريد تسمية أطوال ضلعي المثلث، لكن لا تخلط بين ذلك وحذف الإشارة من الإحداثيات نفسها. في المثال الرئيس طول الضلع الأفقي 12، مع أن أحد الطرفين له إحداثي سالب. نحسب الطرح الصحيح أولًا، ثم نفهم طول الضلع؛ تحويل −3 إلى 3 قبل الطرح سيعطي مسألة أخرى.
افحص ترتيب الزوج المرتب ولا تعتمد على شكل النص
نعتمد في المقال الصيغة (x,y): الأول أفقي، والثاني رأسي. في A(−3,2)، لا نقرأ موضع النقطة على أنه x=2 وy=−3. اكتب كل قيمة تحت اسم إحداثيها عندما تنقل المثال إلى دفتر عربي. ثم راجع الرسم: النقطة الأولى يسار المحور الرأسي وفوق المحور الأفقي، وهو ما يوافق إحداثييها المكتوبين.
قد يحدث خطأ يصعب كشفه من رقم المسافة وحده: إذا بدلت الإحداثيين في النقطتين معًا، صارت النقطتان (2,−3) و(7,9). الفروق عندئذ خمسة واثنتا عشرة، ومجموع مربعيهما ما زال 169. يعطي الحساب 13 أيضًا، لكن مواقع النقاط تغيرت. تساوي طول في هذه الحالة لا يثبت أنك نقلت الإحداثيات بطريقة صحيحة.
أما إذا بدلت إحداثيي نقطة واحدة فقط، واحتفظت بـB(9,7) مع A الجديدة (2,−3)، يصبح الفرقان سبعة وعشرة. الناتج √149، أي نحو 12.21، وليس 13. يساعد هذا الاختبار على التمييز بين تبديل المحورين لكل الرسم وتغيير أحد الطرفين وحده. لا نعالج خطأ النسخ بتغيير الطرف الآخر حتى يعود العدد المتوقع.
عند مراجعة جواب، افحص ثلاثة أشياء مستقلة: هل النقاط المكتوبة هي المعطاة؟ هل الطرح بين إحداثيين من النوع نفسه؟ هل الحساب صحيح لتلك النقاط؟ يمكن أن تنجح العملية الحسابية بعد نسخ خاطئ، ولذلك لا تكفي مقارنة الناتج مع قيمة محفوظة. رسم صغير أو قائمة أسماء الإحداثيات يضيف فحصًا قبل مرحلة الحساب.
الحالات الأفقية والرأسية والنقطتان المتطابقتان
اخترنا U(−4,3) وV(8,3). الفرق الرأسي صفر لأن النقطتين لهما y نفسه. يبقى √[(8−(−4))²+0²]=√144=12. القطعة أفقية، ويسهل عد طولها على المحور من سالب أربعة إلى ثمانية. إذا عكست ترتيب الطرح كان الفرق −12، لكن الجذر بعد التربيع يعيد طولًا هو 12.
في المثال الرأسي اخترنا W(2,−6) وZ(2,9). الفرق الأفقي صفر، والرأسي 9−(−6)=15، فتكون المسافة 15. ليس علينا إدخال فرق غير صفري للمحورين في كل مسألة؛ أحدهما هنا صفر فعلًا. ويمكن التحقق من الرسم بوجود النقطتين على الخط الرأسي نفسه x=2، لا بمحاولة رسم مثلث له مساحة.
إذا كان الطرفان كلاهما عند T(4,−1)، فالفرقان صفران، والمسافة √0=0. النقطتان هنا تمثلان الموقع نفسه، لذلك لا يوجد طول موجب بين موقعين مختلفين. هذا المثال يوضح لماذا نقول إن المسافة غير سالبة، لا إنها موجبة في جميع الحالات. عندما تختلف إحدى القيم على الأقل، يختلف الوضع عن هذا التطابق.
أضف هذه الحالات إلى مراجعة القانون بدل وضعها في قائمة استثناءات منفصلة عنه. الصيغة نفسها عملت مع ضلع أفقي وحده، ومع ضلع رأسي وحده، ومع موقع متطابق. وإذا أعطى حلك طولًا سالبًا في إحدى الحالات، فراجع هل أبقيت فرقًا موقعًا على أنه طول، أو كتبت الفرع السالب من الجذر رغم أن السؤال يطلب مسافة.
ميز بين الجواب الدقيق والتقريب العشري
في مثال مؤلف جديد R(−1,1) وS(4,4)، الفرقان خمسة وثلاثة، ومجموع المربعين 25+9=34. المسافة الدقيقة √34 وحدة. لا يوجد عدد صحيح مربعه 34؛ فـ5²=25 و6²=36 يحيطان به. لذلك تقع المسافة بين خمسة وستة، ويمكن الاحتفاظ بالجذر جوابًا دقيقًا إذا لم يطلب السؤال تقريبًا.
إذا قربنا √34 إلى منزلتين عشريتين حصلنا على 5.83 تقريبًا. تربيع 5.83 يعطي 33.9889، وهو قريب من 34 لكنه لا يساويه. هذا الفرق متوقع من التقريب، ولا يعني أن القانون أخطأ. اكتب √34≈5.83، واحتفظ بعلامة المساواة للخطوات التي تعطي القيمة نفسها بالفعل.
إذا احتجت ناتجًا أدق في حساب لاحق، فلا تستبدل الجذر بقيمة مقربة مبكرًا دون حاجة. مثلًا مقارنة مربع هذه المسافة بالعدد 34 سهلة مباشرة من القيمة الدقيقة. أما تربيع 5.83 فقد يترك فرقًا صغيرًا سببه التقريب وحده. احتفظ بالجذر أو بالدقة الداخلية للحساب، ثم قرب عند عرض الجواب وفق المطلوب.
يمكن فحص قيمة عشرية قبل الوثوق بها بمقارنة بسيطة: 5.8²=33.64، و5.9²=34.81؛ إذن √34 بين 5.8 و5.9. إذا ظهرت على الآلة قيمة 0.583 أو58.3، فلن تقع في هذا المجال. هذا الفحص يكشف خطأ الحجم أو موضع الفاصلة، لكنه لا يختار وحده جميع المنازل العشرية الصحيحة.
وحدات المحورين جزء من المسألة
في الأمثلة السابقة استعملنا وحدة طول واحدة للمحورين. لننشئ شبكة أخرى يساوي كل تدريج أفقي فيها سنتيمترين، وكل تدريج رأسي سنتيمترًا واحدًا. اختر النقطة الأولى عند (0,0)، والثانية عند (3,4) بحسب أرقام التدريجات. الفرق العددي ثلاثة أفقيًا وأربعة رأسيًا، لكن الطولين بالسنتيمتر هما ستة وأربعة، وليس ثلاثة وأربعة.
إذا سألنا عن المسافة الحقيقية في هذا النموذج بالسنتيمتر، نطبق الحساب على الطولين المحولين: √(6²+4²)=√52≈7.21 سم. أما استعمال √(3²+4²)=5 فيجيب عن مسافة في شبكة عددية بمقياس موحد، وهو ليس طول السنتيمترات الذي حددناه. الرسم الداخلي يقارن الحسابين ليظهر موضع تغيير الوحدة قبل الجذر.
إذا كان كل تدريج على المحورين يساوي سنتيمترين معًا، فالوضع مختلف. الزوج (3,4) يقابل فرقين طوليين ستة وثمانية سنتيمترات، والمسافة عشرة سنتيمترات. يمكن هنا حساب خمسة من التدريجات ثم ضربه في اثنين. لا نستعمل هذه الخطوة نفسها مع المقياسين المختلفين لأن الفرقين لا يتضاعفان بعامل واحد.
اكتب في أعلى الرسم ما تمثله وحدة كل محور، ولا تعتمد على كون المربعات تبدو متساوية على الشاشة. صورة ممدودة أو رسم توضيحي غير مضبوط قد يغير الشكل الظاهر. إذا أعطى السؤال الإحداثيات وشروط المقياس، فالحساب يعتمد على تلك المعطيات؛ قياس الخط بالبصر لا يعوض معلومة الوحدة المفقودة.
الإزاحة وتغيير المقياس: فحصان مختلفان
ننقل النقطتين الرئيسيتين بمقدار أربع وحدات أفقيًا وثلاث إلى الأسفل. تصبح A الجديدة (1,−1)، وB الجديدة (13,4). الفرقان ما زالا 12 و5، ولذلك يبقى الطول 13. الأعداد المطلقة في الزوجين تغيرت، لكن فرق كل إحداثي بقي نفسه. هذا فحص عددي لمثال نقل كامل، وليس تغييرًا لطرف واحد دون الآخر.
إذا ضاعفنا الإحداثيات الأصلية لكل نقطة بدل نقلها، صارت A(−6,4) وB(18,14). الفرقان 24 و10، ومجموع المربعين 576+100=676، والجذر 26. هنا المسافة تضاعفت؛ فعملية تغيير المقياس ليست الإزاحة السابقة. لا نحفظ عبارة «تغيير الإحداثيات لا يغير المسافة» لأنها تخفي نوع التغيير الذي نفذناه.
لو غيرنا الإحداثيات الأفقية وحدها إلى مثليها مع إبقاء الرأسية، نحصل على فرقين 24 و5، ومجموع مربعيهما 601، والمسافة √601≈24.52. ليست هذه ضعف ثلاث عشرة. المثال يبين كيف يختلف تكبير اتجاه واحد عن تكبير الرسم كله بعامل موحد؛ وهو سبب إضافي لقراءة مقاييس المحورين قبل تفسير طول صورة.
يمكنك استعمال الحالات الثلاث لتراجع برنامجًا تعليميًا أو ورقة حساب من إعدادك: الأصل يعطي 13، والنقل يعطي 13، والتكبير الموحد يعطي 26. وإذا أعطت النتائج خلاف ذلك، عد إلى النقاط المحولة والفروق. أما التكبير الأفقي وحده فله جواب آخر تحققنا منه، ولا نصنفه خطأ لمجرد أنه لا يطابق جواب التكبير الموحد.
قارن القرب بمربعات المسافات عندما يكفي ذلك
نختار في تدريب جديد نقطة مرجعية O(0,0)، ونقطتين M(3,4) وN(1,5). مربع المسافة إلى M هو 9+16=25، وإلى N هو 1+25=26. لذلك M أقرب في هذا المثال: طول OM خمسة، وطول ON هو √26 الذي يزيد على خمسة. لا نحتاج قيمة عشرية كاملة لإثبات المقارنة بين هذين العددين.
إذا سألك التمرين أي النقطتين أقرب، فاكتب مربعي المسافتين وأوضح أن المقارنة بينهما تعطي الترتيب نفسه بعد الجذر غير السالب. لكن إذا طلب المسافة نفسها، فلا تسلم 25 جوابًا عن OM؛ ذلك مربعها. اربط كل عدد باسمه ووحدته: طول بالوحدة، ومربع طول بالوحدة المربعة.
لا ننقل المقارنة إلى إحداثيات لا تشترك في معنى الوحدات. مثلًا في الشبكة ذات التدريج الأفقي الذي يساوي سنتيمترين، يتغير مربع طول OM بالسنتيمتر إلى 6²+4²=52، ويتغير مربع طول ON إلى 2²+5²=29. في هذا النموذج الجديد تكون N أقرب. المسألتان تختلفان في المقياس، ولم يتناقض الحساب.
هذا التدريب مفيد لأنه يمنع التركيز على الجذر وحده. قبل إجرائه حدد ما تريد مقارنته: عدد إحداثي في شبكة موحدة أم طول فعلي بمقياسين مختلفين؟ ثم احسب الفروق المحولة ومربعاتها. لا يصبح اختيار النقطة الأقرب حقيقة عن أي خريطة تحمل الزوجين نفسيهما؛ معنى الأعداد وشروط القياس جزء من الاختيار.
تمارين مستقلة مع مراجعة أسباب النتائج
احسب المسافة بين H(−2,−3) وJ(6,3). الفرق الأفقي ثمانية، والرأسي ستة، فمجموع المربعين مئة والمسافة عشرة. ثم اعكس ترتيب النقطتين لتحصل على فرقين سالبين لهما المربعان نفسيهما. إذا اختلف الطول في المحاولة الثانية، فتوقف عند الأقواس والتربيع؛ المعطيات تصف الطرفين نفسيهما في المحاولتين.
احسب المسافة بين K(−7,5) وL(−2,5). الفرق الرأسي صفر، والأفقي خمسة، فيكون الطول خمسة. لاحظ أن الإحداثيين الأفقيين سالبان، ومع ذلك لا يساوي الفرق طرح قيمتيهما المطلقتين بأي ترتيب عشوائي. اكتب −2−(−7)=5 أو عكسه داخل قوس قبل التربيع، وسيعطي القانون النتيجة نفسها.
احسب المسافة بين V(2.5,1) وW(5.5,5). فرق الإحداثيين الأفقيين ثلاثة، والرأسيين أربعة، والمسافة خمسة. وجود فاصلة في مدخلات المسألة لا يفرض أن يحتوي الجواب على فاصلة أيضًا. وإذا قربت الإحداثيات قبل الطرح إلى أعداد صحيحة، فقد تغير المسألة؛ استعمل القيم المعطاة ما لم يطلب السؤال إجراء تقريب محدد.
اختم الحل بمراجعة قصيرة: هل نقلت الإحداثيات بالترتيب الصحيح؟ هل وحدات الطول متوافقة؟ هل حسبت الطرح قبل التربيع؟ هل ميزت المجموع من جذره؟ وهل وصف الجواب القطعة أم مسارًا آخر؟ احتفظ بالقيمة الدقيقة والوحدة، ثم أضف التقريب المطلوب. هذه الخطوات تربط الرقم بالنقطتين اللتين سأل عنهما التمرين.
المصادر ومتابعة القراءة
- Math Open Reference: المسافة من فروق الإحداثيات ونظرية فيثاغورس (يفتح في نافذة جديدة)mathopenref.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.