قانون محيط ربع الدائرة: القوس والضلعان مع أمثلة

كيف يتكون محيط ربع الدائرة؟

ربع الدائرة قطاع زاويته المركزية 90°. يمتد قوسه بين طرفي نصفي قطر متعامدين، ويلتقي الضلعان في المركز. لذلك يمكن تتبع الحافة في دورة مغلقة: ضلع أول، ثم القوس، ثم ضلع ثان يعيدنا إلى نقطة البداية. هذا هو المقصود بالمحيط الكامل. ^[1]

محيط الدائرة الأصلية 2πr، وبأخذ ربع طولها نحصل على القوس L = πr/2. ثم نضيف r + r إلى هذا الطول لنحسب الإطار. الرمز π قيمة ثابتة، أما 3.14 فهو تقريب لها؛ احتفظ بالرمز أثناء الحل ثم قرّب النتيجة في نهايته. ^[2]

حساب المحيط إذا عُرف نصف القطر

لنفترض لوحة على شكل ربع دائرة، نصف قطرها 8 cm. إذا أردنا شريطًا يغطي الحافة المنحنية وحدها، فطوله 4π cm، أي نحو 12.566 cm. أما الإطار الذي يغطي الحد كله فيحتاج إلى 16 + 4π cm، أي نحو 28.566 cm.

الفرق بين الإجابتين 16 cm، وهو مجموع الضلعين المستقيمين. تذكر هذا الفرق عند قراءة مسألة عن سياج أو إطار: استبعد الضلعين فقط عندما ينص السؤال على أن القياس خاص بالقوس، أو يبين أن جزءًا من الحد لن يغطى.

استخدام القطر بدل نصف القطر

إذا كان المعطى قطر الدائرة الأصلية d، فإن r = d/2. بالتعويض في القانون تصبح الصيغة P = πd/4 + d. لا تضع القطر مباشرة مكان r؛ فهذا يضاعف الإجابة المطلوبة.

مثلًا، إذا كان القطر 10 cm، فالقوس 2.5π cm، والضلعان معًا 10 cm. إذن المحيط 10 + 2.5π cm، ويساوي تقريبًا 17.854 cm. يمكن التحقق بتعويض نصف القطر 5 cm في الصيغة الأولى.

إيجاد نصف القطر من المحيط

نجمع الحدين اللذين يحتويان على r فنكتب P = r(2 + π/2). ومنه r = P/(2 + π/2). الأقواس ضرورية؛ القسمة تشمل مجموع العددين، ولا تعني القسمة على أحدهما ثم إضافة الآخر.

إذا أعطي المحيط بدقة على الصورة 12 + 3π cm، كان نصف القطر 6 cm؛ لأن 6(2 + π/2) = 12 + 3π. تحقق بإعادة بناء القوس والضلعين، بدل الاعتماد على رقم عشري مقرب فقط.

ما الفرق بين المحيط والمساحة؟

المحيط طول الحد، بينما المساحة مقدار السطح المحصور داخله. لربع الدائرة A = πr²/4؛ وهي نتيجة أخذ ربع مساحة الدائرة. في اللوحة ذات نصف القطر 8 cm، المساحة 16π cm²، أي نحو 50.265 cm²، وهي لا تصلح جوابًا عن طول الشريط.

• حدد أولًا هل المطلوب قوس أم حد مغلق أم مساحة.
• استخرج نصف القطر من القطر قبل التعويض، أو استخدم صيغة القطر مباشرة.
• اكتب وحدة طول للمحيط ووحدة مربعة للمساحة، واذكر درجة التقريب عند الحاجة.