كرة مثقوبة: هل الأكبر يترك حجمًا أكبر؟

نقارن كرتين بثقبين مركزيين، وارتفاع متبقٍ واحد. [4]

الخلاصة السريعة

لا؛ الارتفاع المتبقي نفسه يعطي الحجم نفسه. [4]

كرة مصمتة نصف قطرها R>0، وثقب دائري أسطواني نافذ محوره يمر بالمركز، بنصف قطر 0<a<R. الأطوال منتهية بالسنتيمتر؛ نتعامل مع جسم هندسي مثالي. [1][2]
ارتفاع الحلقة بين حافتيها H=2√(R²−a²)، ومنه a²=R²−H²/4 و0<H<2R. الارتفاع H لا يساوي قطر الكرة 2R. [1][2]
عند |z|≤H/2، مساحة المقطع المتعامد مع المحور A(z)=π[(R²−z²)−a²]=π(H²/4−z²) سم²؛ تختفي R من المساحة. [2][3]
تكامل مساحات المقاطع يعطي V=πH³/6 سم³. يساوي حجم كرة مصمتة نصف قطرها H/2؛ التساوي في المساحة، لا شكل المقطع. [4]
في مثالنا H=8 سم، الكرتان R=5,7 سم تحتاجان a=3,√33 سم؛ لكل حلقة V=256π/3≈268.082573 سم³. تساوي الارتفاع لا يعني تساوي الثقبين. [4]
طرح الأسطوانة πa²H وحدها يبقي قبعتين أزيلتا محسوبتين؛ الجواب يزيد على الحجم الصحيح. الحكم خاص بثقب مركزي نافذ؛ لا يشمل الثقب المزاح أو الأعمى. [1]

كرة مصمتة نصف قطرها R>0، وثقب دائري أسطواني نافذ محوره يمر بالمركز، بنصف قطر 0<a<R. الأطوال منتهية بالسنتيمتر؛ نتعامل مع جسم هندسي مثالي. [1][2]

اللون في الرسم للمادة الباقية، لا الفراغ المثقوب. قطر الثقب 2a، وقطر الكرة 2R. [1][2]

ارتفاع الحلقة بين حافتيها H=2√(R²−a²)، ومنه a²=R²−H²/4 و0<H<2R. الارتفاع H لا يساوي قطر الكرة 2R. [1][2]

تقاطع الجدار الأسطواني والسطح الكروي يحقق a²+(H/2)²=R². عند تثبيت H، زيادة R تفرض زيادة a. [1][2]

عند |z|≤H/2، مساحة المقطع المتعامد مع المحور A(z)=π[(R²−z²)−a²]=π(H²/4−z²) سم²؛ تختفي R من المساحة. [2][3]

نصف القطر الخارجي للمقطع √(R²−z²)، والداخلي a. عند z=3 سم بمثالنا: π(16−9)=π(40−33)=7π سم². [2][3]

تكامل مساحات المقاطع يعطي V=πH³/6 سم³. يساوي حجم كرة مصمتة نصف قطرها H/2؛ التساوي في المساحة، لا شكل المقطع. [4]

ضع b=H/2. دالة أصلية لمساحة المقطع هي π(b²z−z³/3)؛ فرق قيمتيها عند −b,b يساوي 4πb³/3=πH³/6. هذه مساواة دقيقة لجميع المقاطع. [4]

في مثالنا H=8 سم، الكرتان R=5,7 سم تحتاجان a=3,√33 سم؛ لكل حلقة V=256π/3≈268.082573 سم³. تساوي الارتفاع لا يعني تساوي الثقبين. [4]

التعويض 5²−3²=16 و7²−(√33)²=16 يعطي H=8 لكليهما. نعوض الارتفاع في الحجم ونقرب في النهاية. [4]

طرح الأسطوانة πa²H وحدها يبقي قبعتين أزيلتا محسوبتين؛ الجواب يزيد على الحجم الصحيح. الحكم خاص بثقب مركزي نافذ؛ لا يشمل الثقب المزاح أو الأعمى. [1]

الطرح الناقص يعطي 284π/3 و580π/3 سم³ بدل 256π/3. القبعتان خارج الارتفاع H جزء من المحذوف. لا نستنتج كتلة من الحجم دون كثافة. [1]

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.