قاعدة بايز بكيسين: الحمراء لا تكشف الكيس وحدها

الخلاصة السريعة

احتمال أن تأتي البطاقة الحمراء من A في نموذجنا هو 2/5؛ نحسب فرصة اختيار A مع الحمراء وهي 1/8، ثم نقسمها على فرصة الحمراء من أي كيس وهي 5/16.

• تربط قاعدة بايز احتمال الحدث عند معرفة المصدر باحتمال المصدر عند معرفة الحدث. نضرب فرصة المصدر في فرصة الحدث داخله، ثم نقسم على فرصة الحدث من جميع المصادر؛ يجب أن تكون فرصة الحدث موجبة. [1]
• في A بطاقتان حمراوان من 4؛ فرصة الحمراء داخله 1/2. في B واحدة حمراء من 4؛ فرصتها 1/4. فرصتا اختيار الكيسين 1/4 و 3/4 قبل معرفة اللون. نختار بطاقة واحدة، ولا نفترض أن كل بطاقة من الكيسين معًا لها الفرصة نفسها.
• فرصة A مع حمراء 1/4 × 1/2 = 1/8، وفرصة B مع حمراء 3/4 × 1/4 = 3/16. مجموعهما 5/16، لأنه لا يمكن أن تأتي البطاقة الواحدة من الكيسين معًا. الجدول يفصل نوع كل احتمال.
• بعد معرفة الحمراء، نقسم 1/8 على 5/16 فنحصل على 2/5. الاحتمال المقابل لـ B هو 3/5؛ مجموعهما 1. الحمراء ترفع فرصة A من 1/4 إلى 2/5، لكنها لا تحدده يقينًا، ولا تجعل الجواب 1/2.
• يمكن تنفيذ اختيار الكيس بأربعة خيارات متساوية: واحد لـ A وثلاثة لـ B، ثم اختيار موضع من أربعة داخل الكيس. توجد 16 مسارات متساوية؛ 5 تعطي حمراء، منها 2 من A و 3 من B. الصورة الداخلية تحتفظ بهذه الخمسة فقط.
• إذا كانت البطاقة زرقاء، ففرصة A تصبح 2/11، ولا تساوي 1 − 2/5؛ هذا الأخير فرصة B بشرط الحمراء. وإذا اخترنا الكيسين بفرصتين متساويتين، أصبحت فرصة A بشرط الحمراء 2/3. واختيار بطاقة من الثماني مباشرة بفرص متساوية يعطي 2/3 كذلك. إذا كان اللون مستحيلًا وفق النموذج، فلا نعرف هذه القسمة احتمال الكيس بشرطه.

نعرف محتويات الكيسين وفرص اختيار كل منهما

نميز بطاقات كل كيس بأربعة مواضع مؤقتة من 1 إلى 4. في A الموضعان 1 و 2 حمراوان، و 3 و 4 أزرقان. في B الموضع 1 أحمر، و 2 و 3 و 4 زرقاء. الأرقام تساعد على العد؛ المعلومة التي نراها في السؤال هي اللون فقط.

تجربتنا خطوتان: اختيار الكيس ثم اختيار بطاقة داخله. نفرض 1/4 لـ A و 3/4 لـ B، وبعد تحديد الكيس نعطي مواضعه الأربعة فرصًا متساوية. لا تختار بطاقة من مجموع البطاقات الثماني مباشرة؛ تلك آلية أخرى.

عند تثبيت A، يكون اللون الأحمر في بطاقتين من أربع بطاقات، أي 2/4 = 1/2. وعند تثبيت B، تكون 1/4. أما فرصة A قبل معرفة اللون فهي 1/4. تشابه بعض الكسور لا يجعل الأحداث التي تصفها واحدة.

الاحتمال المشترك يدخل فرصة اختيار الكيس

للحصول على A وحمراء معًا، لا يكفي أن يكون نصف A أحمر؛ يجب أولًا اختيار A. نحسب 1/4 × 1/2 = 1/8. وللحصول على B وحمراء نحسب 3/4 × 1/4 = 3/16.

قاعدة الاحتمال الكلي تجمع الاحتمالات المشتركة عندما تقسم المصادر التجربة إلى حالات لا تتداخل وتغطيها كلها. يمكن استعمال هذا المجموع في مقام قاعدة بايز. [1]

في نموذجنا، كل بطاقة مسحوبة تأتي من A أو B وحده. لذلك فرصة الحمراء من أي مصدر هي 1/8 + 3/16 = 5/16. لا نجمع 1/2 و 1/4 مباشرة؛ هذان احتمالان داخل كيسين مختلفين، ويحتاج كل منهما وزن اختيار كيسه.

الجدول يميز فرصة المصدر قبل اللون، وفرصة الحمراء داخل المصدر، وفرصتهما معًا. العمود الأخير لا يعطي بعدُ احتمال المصدر بشرط الحمراء؛ إنه قبل القسمة على مجموع الحالات الحمراء.

بعد معرفة الحمراء، يصبح المقام جميع الحالات الحمراء

صيغة بايز تعكس جهة الشرط باستخدام الاحتمال المشترك والاحتمال الكلي للحدث المشاهد. شرط القسمة أن يكون احتمال هذا الحدث أكبر من الصفر. [1]

نحتفظ الآن بالحالات التي تعطي بطاقة حمراء فقط. احتمال A مع الحمراء 1/8، وإجمالي احتمال الحمراء 5/16. النسبة المطلوبة 1/8 ÷ 5/16 = 2/5. وتكون النسبة الخاصة بـ B هي 3/16 ÷ 5/16 = 3/5.

مجموع 2/5 و 3/5 هو 1، لأن الكيسين يغطيان جميع الحالات الحمراء. كان A أقل اختيارًا في البداية بفرصة 1/4؛ الحمراء ترجحه مقارنة بتلك البداية، فتصير فرصته 2/5. لكنه لا يصبح يقينًا ولا يتفوق على B في هذا المثال.

السؤال «هل البطاقة حمراء إذا اخترنا A؟» يثبت الكيس ويبحث عن اللون؛ جوابه 1/2. أما «هل اخترنا A إذا كانت البطاقة حمراء؟» فيثبت اللون ويبحث عن الكيس؛ جوابه 2/5. الجملتان تقيدان المقارنة بمجموعتين مختلفتين.

ستة عشر مسارًا تجعل المقام الجديد مرئيًا

لتمثيل فرصة الكيسين، اختر رقمًا من 1 إلى 4 بفرص متساوية. الرقم 1 يوجه إلى A؛ والأرقام 2 و 3 و 4 توجه إلى B. ثم اختر رقم موضع من 1 إلى 4 داخل الكيس بفرص متساوية شرط اختيار ذلك الكيس. يوجد 4 × 4 = 16 زوجًا للرقمين، لكل منها فرصة 1/16.

الصورة الرئيسية تعرض صفًا لكل خيار أول وأربع خلايا لمواضع البطاقة. صف A يعطي حمراء في خليتين، وكل واحد من صفوف B الثلاثة يعطي حمراء في خلية واحدة. إذن يوجد 5 مسارات حمراء: 2 من A و 3 من B.

الصورة الداخلية تترك المسارات الحمراء الخمسة فقط، مع اسم الكيس لكل منها. اختيار مسار من هذه المجموعة المشروطة يعطي A في 2 من 5، وهو 2/5. المسارات الثلاثة التي تصل إلى حمراء B لا تعني وجود ثلاث بطاقات حمراء مختلفة في B؛ إنها خيارات أولى مختلفة تصل إلى البطاقة الحمراء نفسها.

هذه خريطة للنموذج، وليست 16 نتيجة سحب جمعناها فعليًا. مساواة فرص المسارات جاءت من اختيار أربعة خيارات متساوية ثم أربعة مواضع متساوية داخل الكيس المختار، ولا تحتاج افتراض استقلال اللون عن اسم الكيس.

تغيير اللون أو طريقة اختيار الكيس يغير السؤال

إذا عرفنا أن البطاقة زرقاء، نحتفظ بالمسارات الزرقاء وحدها. يوجد 11: اثنان من A وتسعة من B. لذلك فرصة A بشرط الزرقاء 2/11. لا نحسبها من 1 − 2/5؛ متمم A بشرط الحمراء هو B بشرط الحمراء، وفرصته 3/5.

ولو اخترنا A و B بفرصتين متساويتين، لكانت فرصة A مع الحمراء 1/2 × 1/2 = 1/4، وفرصة B مع الحمراء 1/2 × 1/4 = 1/8. مجموع الحمراء 3/8، وفرصة A بعدها 1/4 ÷ 3/8 = 2/3. تغيرت القبليات، مع ثبات محتويات الكيسين.

اختيار بطاقة بفرصة متساوية من البطاقات الثماني مجتمعة يعطي كذلك 2/3 لـ A عند ظهور الحمراء: هناك ثلاث بطاقات حمراء، اثنتان من A. هذه النسبة لا تحل سؤال الآلية الأصلية، التي جعلت B أكثر اختيارًا من A.

وقبل أي قسمة، تحقق أن اللون المشاهد ممكن وفق النموذج. لو لم توجد بطاقة حمراء في أي كيس، صار احتمال الحمراء 0، ولم تعرف هذه القسمة احتمال المصدر بشرطها. لا تستبدل القسمة على صفر باحتمال 0 أو 1.

المثال سحب واحد من محتويات معلومة وفرص مفترضة. إذا غيرنا طريقة الاختيار، نعيد حساب الاحتمال المشترك والمجموع. اللون وحده لا يكشف الكيس يقينًا هنا، ولا يثبت أن قرعة أو سجلًا واقعيًا يتبع الفرص التي افترضناها.