لولب كورنو: كيف يصغر بُعد النقطة ويزداد طول المسار؟

الخلاصة السريعة

لأن الإحداثيات تجمع تغيرات متذبذبة، بينما طول المسار يجمع مقدار المشتقة الموجب. في التمثيل P(t)=(C(t),S(t)) مقدار المشتقة1؛ لذلك طول الجزء من T إلى2T يساوي T، رغم أن جميع نقاط الذيل تقترب من M=(1/2,1/2) عندما يكبر T.

• نضع x=C(t) وy=S(t)، حيث C وS تكاملَا cos(πu²/2) وsin(πu²/2) من0 إلىt. [2] t معامل حقيقي، وليس زاوية قطبية أو زمنًا.
• المشتقة P′=(cosφ,sinφ) مع φ=πt²/2، ومقدارها1. طول فترة متزايدة[a,b] هو b−a؛ طول الجزء من الأصل إلى قيمة سالبة هو |t|، لا t السالبة.
• يتجه كل من C وS إلى1/2 عند الطرف الموجب. [2] لذلك تتجه النقاط إلى M، لكن طول كل ذيل من T إلى∞ غير محدود لأن مقدار المشتقة لا يتناقص.
• بالتكامل بالأجزاء نحصل على |P(T)−M|≤2/(πT) لكل T＞0. هذا حد للمسافة المباشرة إلى M، وليس طول الطريق المتبقي؛ لا يثبت أن المسافة تتناقص عند كل خطوة.
• الإحداثيات تتجاوز قيمتها الحدية: C(1)≈0.779893 وS(√2)≈0.713972، وكلاهما أكبر من1/2. اقتراب المنحنى من M لا يحصر الرسم كله في مربع نصف الوحدة ولا يجعل الإحداثيات متزايدة دائمًا.
• الأصل O=(0,0) نقطة صالحة عند t=0 ومماسها أفقي. الدالتان فرديتان، فيكون الحد السالب N=(−1/2,−1/2). الصور أجزاء محدودة، ولا تستخرج من t موعد وصول أو سرعة جسم.

حدد الإحداثيات قبل قراءة الالتفاف

نختار تكاملَي فرينل بالتعريفين C(t)=∫₀ᵗcos(πu²/2)du وS(t)=∫₀ᵗsin(πu²/2)du. [2] الرمز u متغير داخل التكامل؛ t يحدد حدّه النهائي. نعمل على القيم الحقيقية وبوحدة طول واحدة.

نسمي الموضع P(t)=(C(t),S(t)): المحور الأفقي C والرأسي S. تثبيت ترتيب المحورين ضروري؛ تبديلهما يعكس الرسم ويغير طريقة وصف اتجاه المماس، لكنه لا يغير الأطوال التي سنحسبها.

ليس t زاوية الشعاع من الأصل. الزاوية التي تظهر داخل الجيب وجيب التمام هيπt²/2، وسنراها اتجاهًا للمشتقة. لذلك لا نضع t في قانون طول قوس دائرة لمجرد أن الصورة ملتفة.

عند t=0 يكون التكاملان صفرًا، فيكون O=(0,0) نقطة من المنحنى. الرسم الرئيسي يعرض−4≤t≤4 فقط، مع علامتي الحدين M وN. لا تمثل حدود هذا القطع بداية المنحنى الكامل أو نهايته.

احسب الطول من مقدار المشتقة

باشتقاق التكاملين بالنسبة إلى الحد الأعلى نحصل على P′(t)=(cosφ,sinφ)، حيث φ=πt²/2. مربع المقدار هو cos²φ+sin²φ=1، ومنه |P′(t)|=1 لكل t حقيقية.

لا تنعدم المشتقة عند الأصل؛ هناك P′(0)=(1,0)، فيكون المماس أفقيًا والمنحنى منتظمًا. زيادة التفاف الرسم لاحقًا لا تجعل الأصل رأسًا مدببًا ذا مشتقة صفرية.

طول الجزء على فترة[a,b] مع a＜b يساوي تكامل مقدار المشتقة من a إلى b. بما أن المقدار1، يكون الطول b−a. هذا حساب دقيق، لا تقدير من عدد البكسلات أو من المسافة بين الطرفين.

مثلًا، الجزء من0 إلى4 طوله4، ومن4 إلى8 طوله4 أيضًا. أما طول الجزء الذي يصل O بالنقطة ذات t=−2 فهو2؛ نكامل على[−2,0] أو نأخذ |t|. عكس اتجاه التتبع لا يجعل الطول سالبًا.

نسمي1 هنا مقدار تغير الطول بالنسبة إلى المعامل الرياضي. لم نحدد ثانية أو قانون حركة جسم، لذلك لا نسميه سرعة زمنية ولا نعد t موعدًا للوصول.

تقارب الإحداثيات لا يجمع طول الطريق

نهاية C(t) ونهاية S(t) عند t→+∞ تساويان1/2. [2] إذن P(t)→M=(1/2,1/2). تقارب المركبتين يعني أن المسافة المباشرة إلى M تؤول إلى صفر.

لكن إذا ثبتنا T＞0 ومددنا نهاية الجزء إلى R＞T، فطوله R−T. عندما R→∞ يزداد هذا الطول بلا حد. لذلك لا يوجد عدد محدود يمثل طول الذيل كله، رغم اقتراب مواضعه من نقطة محدودة.

المسافة المباشرة تخص قطعة بين موضعين، أما طول القوس فيجمع مسارًا تتغير فيه الاتجاهات. في حساب الإحداثيات قد تلغي التغيرات الموجبة والسالبة أثر بعضها؛ في حساب المقدار |P′| لا يقع هذا الإلغاء.

هذه هي خصوصية المثال: تكاملان متذبذبان يتقاربان، بينما تكامل مقدار المتجه نفسه لا يتقارب. لا نستبدل تكامل المقدار بمقدار التكامل ثم ننقل نتيجة أحدهما إلى الآخر.

ولا نحتاج إلى افتراض أن النقطة M لا تظهر عند أي معامل محدود لكي نثبت تباعد الطول. البرهان يعتمد على المقدار1 وعلى مجال غير محدود؛ التقارب وحده لا يحسم أسئلة إضافية عن جميع التقاطعات.

ضع حدًا للمسافة لا للطريق المتبقي

لنجمع المركبتين في عدد مركب، ونكتب F(u)=e^(iπu²/2)، حيث i²=−1. تكامل F من T إلى∞ هو J(T)، ومركبتاه هما1/2−C(T) و1/2−S(T). لذلك |J(T)| يساوي |P(T)−M|.

لدينا F′(u)=iπuF(u). على فترة[T,R] نكامل بالأجزاء باستخدام F′/(iπu). حد الطرف عند R يتجه إلى صفر لأن |F(R)/(iπR)|=1/(πR). نحصل بعد أخذ R→∞ على الصيغة الآتية.

J(T)=−F(T)/(iπT)+∫[T,∞] F(u)/(iπu²)du.

مقدار الحد الأول1/(πT). ومقدار التكامل الثاني لا يزيد عن تكامل1/(πu²)، وقيمته1/(πT). بجمع الحدين نجد |P(T)−M|≤2/(πT) لكل T＞0.

ينطبق البرهان أيضًا على أي نقطة لاحقة بمعامل t≥T؛ يكون بعدها عن M لا يزيد عن2/(πt)، وبالتالي لا يزيد عن2/(πT). إذن الذيل كله محصور قرب M بقرص يصغر حده مع T.

مع ذلك، طول الجزء[T,2T] يساوي T. عندما نضاعف T يصغر حد المسافة إلى النصف، ويكبر طول الفترة التالية. الجدول يقارن هاتين الكميتين؛ العمود الأخير حد أعلى للمسافة، وليس المسافة الفعلية أو طول الذيل.

الحد ليس سقفًا لكل إحداثي

بالتكامل العددي في المثال نجد C(1)≈0.779893 وS(1)≈0.438259. نسمي هذه النقطة A. إحداثيها الأفقي تجاوز1/2، رغم أن القيمة الحدية الأفقية عند اللانهاية1/2.

وعند t=√2 نحصل على B≈(0.528892,0.713972). الإحداثي الرأسي أيضًا أكبر من1/2. لذلك لا يصح رسم المنحنى كله داخل المربع0≤x≤1/2 و0≤y≤1/2 اعتمادًا على نهاية المركبتين.

توضح المشتقات السبب: C′=cosφ وS′=sinφ، وتتغير إشارتاهما مع ازدياد φ. الاقتراب الحدي لا يعني أن كل مركبة تقترب باتجاه واحد طوال المجال.

الأرقام المعروضة مقربة إلى ست منازل، بينما برهان الطول يستعمل الهوية الدقيقة لا هذه التقريبات. لا نجعل توافق رسم صغير دليلًا على مساواة إحداثيين مقربين أو على اتجاه عام لم نثبته.

راجع الفرع السالب وحدود الصورة

الدالتان cos(πu²/2) وsin(πu²/2) زوجيتان بالنسبة إلى u. لذلك تكاملهما من0 إلى−t هو سالب تكاملهما من0 إلىt، فنحصل على C(−t)=−C(t) وS(−t)=−S(t).

المنحنى متناظر مركزيًا حول O. عندما t→−∞ تتجه النقاط إلى N=(−1/2,−1/2). طول الجزء من−R إلى−T، حيث R＞T＞0، يساوي R−T أيضًا؛ لا يحول التناظر الذيل السالب إلى طريق محدود.

الصورة الداخلية تكبر4≤t≤8 حول M بمقياس موحد للمحورين. الأزرق جزء طوله4، والقطعة الخضراء من P(4) إلى M تمثل مسافة مباشرة فقط. لا يمثل الرسم بقية الذيل بعد8 أو جميع دوراته.

عند مراجعة منحنى مشابه، احسب الإحداثيات والطول كلًا من تعريفه. حدد المعامل والمجال، افصل القوس عن المسافة، ولا تستنتج رتبة الطول أو وقت وصول من قرب الشكل من نقطة في صورة محدودة.