مبرهنة أويلر للرباعي: الفرق بين مربعات الأضلاع والقطرين

الخلاصة السريعة

تربط مبرهنة أويلر للرباعي مربعات الأضلاع بمربعي القطرين. إذا كان M منتصف AC و N منتصف BD، وسمينا مجموع مربعات الأضلاع T ومجموع مربعي القطرين Q، فإن T=Q+4MN². [1]

• القطعة MN تصل منتصفي القطرين، وليست مسافة من تقاطعهما. العلاقة T=Q+4MN² تشتمل على أربعة أضلاع وقطرين، وكل كمية فيها مربع طول. [1]
• في المثال، مربعات الأضلاع 144 و 58 و 104 و 26؛ مجموعها T=332. مربعا القطرين 130 و 194؛ مجموعهما Q=324. نجمع المربعات نفسها من دون أخذ الجذور أولًا.
• لدينا M=(9/2,7/2) و N=(11/2,5/2)، ولذلك MN²=2. بعد الضرب في 4 نحصل على 8، فتتحقق 332=324+8. استعمال MN² وحده يفقد عامل 4.
• بالتوسيع في كل إحداثي نجد F−G=(a−b+c−d)²، ثم نجمع النتيجتين. لأن M−N نصف المتجه A−B+C−D، يعطي مربع طوله عامل 4 في العلاقة.
• في متوازي الأضلاع المختار يتطابق المنتصفان، فيصبح T=Q=186. أما شبه المنحرف ذو القطرين المتساويين فيعطي T=162 و Q=146؛ تساوي القطرين لا يلغي الفرق.
• عند تكبير أطوال المثال بعامل 2 تصبح T=1328 و Q=1296 والفرق 32. هذه مقادير بوحدة مربعة، لكنها ليست مساحة الرباعي؛ مساحته الأصلية 68 وحدة مربعة.

سمّ المنتصفين قبل تطبيق الصيغة

ارسم رباعيًا محدبًا، ورتب رؤوسه A و B و C و D على حدوده. أضلاعه AB و BC و CD و DA، وقطراه AC و BD. ضع M في منتصف AC، و N في منتصف BD. النقطة التي يلتقي عندها القطران يمكن تسميتها P، لكن هذا الاسم لا يجعلها منتصف أي منهما.

نكتب T=AB²+BC²+CD²+DA²، ثم Q=AC²+BD². هذان رمزان لمجموعين، لا لطول ضلع خامس أو قطر ثالث. العلاقة التي نستعملها هي T=Q+4MN²، ويجب أن تقاس جميع الأطوال بوحدة واحدة قبل تربيعها.

من الصيغة يكون T−Q غير سالب، لأن 4MN² غير سالب. فإذا خرج مجموع مربعي القطرين أكبر من مجموع مربعات الأضلاع في مسألة بإحداثيات دقيقة، فراجع ترتيب النقاط وحساب المسافات. لا تبدّل الفرق إلى قيمة مطلقة لإخفاء عدم توافق الأرقام.

احسب مربعات المسافات مباشرة

نختار A=(0,0)، B=(12,0)، C=(9,7)، D=(−1,5). لحساب مربع المسافة بين نقطتين، نجمع مربع فرق الإحداثيين الأفقي والرأسي. لا نحتاج إلى تقريب الجذور عند حساب T أو Q.

في الضلع BC، الفرق من B إلى C هو (−3,7)، فيكون BC²=9+49=58. ومن C إلى D الفرق (−10,−2)، فيكون CD²=100+4=104. أما AB²=144، و DA²=1+25=26. يجمع الجدول مربعات المسافات الست التي نحتاجها.

إذن T=144+58+104+26=332. وفي القطر AC نجد AC²=81+49=130، بينما BD²=169+25=194. لذلك Q=130+194=324. لو جمعنا أطوال الأضلاع قبل تربيع الناتج لظهرت حدود إضافية، ولحسبنا كمية مختلفة عن T.

الفرق هنا 332−324=8. يمكن استخراج المسافة بين المنتصفين منه: MN²=8/4=2، ثم MN=√2. هذه طريقة عكسية مفيدة بعد تحديد المجموعين؛ ويجب فحص النتيجة من إحداثيات المنتصفين أيضًا.

المنتصفان ليسا نقطة تقاطع القطرين

نأخذ متوسط إحداثيي A و C لنجد M=(9/2,7/2). وبالمثل N=(11/2,5/2). من M إلى N الفرق (1,−1)، ومنه MN²=1²+(−1)²=2. إذن 4MN²=8، وهو الفرق الذي حسبناه من الأضلاع والقطرين.

أما تقاطع القطرين فهو P=(135/34,105/34). على AC يقع عند الجزء 15/34 من المسار من A إلى C؛ وعلى BD يقع عند الجزء 21/34 من B إلى D. النسبتان مختلفتان عن 1/2، ولذلك P لا يطابق M ولا N.

مثلًا، من P إلى M الفرق (9/17,7/17)، فيكون PM²=130/289. ضربه في 4 يعطي 520/289، وهو لا يساوي 8. هذا حساب يكشف خطأ وضع المسافة من التقاطع إلى منتصف واحد مكان MN.

في الرسم، النقطتان الورديتان هما المنتصفان، والنقطة الرمادية هي P. نرسم MN بالوردي بين M و N فقط. لا نمد هذه القطعة إلى أحد الرؤوس، ولا نستنتج طولها من قياس الرسم إذا كانت الإحداثيات مكتوبة أمامنا.

من توسعة المربعات إلى عامل أربعة

يمكن إثبات العلاقة بإحداثيات عامة. خذ أعدادًا a و b و c و d تمثل إحداثيًا واحدًا للرؤوس الأربعة. سمّF=(a−b)²+(b−c)²+(c−d)²+(d−a)²، وسمّG=(a−c)²+(b−d)².

بفتح الأقواس وطرح G من F تبقى F−G=(a−b+c−d)². تظهر مربعات الأعداد الأربعة بمعامل واحد، وتظهر الحدود الثنائية بالمعاملات نفسها التي تنتج عند تربيع a−b+c−d. هذا تحقق جبري عام، لا مجرد توافق الأرقام في نموذجنا.

طبّق هذه المساواة مرة على الإحداثيات الأفقية ومرة على الإحداثيات الرأسية، ثم اجمع. الطرف الأيسر يصبح T−Q، والطرف الأيمن مربع طول المتجه A−B+C−D، أي مجموع مربعي مركبتيه.

وبما أن M=(A+C)/2 و N=(B+D)/2، فإن M−N=(A−B+C−D)/2. المقصود هنا جمع متجهات الموضع وطرحها. عندما نربع الطول، ينتج MN²=|A−B+C−D|²/4، ومنه T−Q=4MN².

هذا البرهان يفسر عامل 4: إحداثيات منتصف القطر تتضمن القسمة على 2، وتربيع المسافة يتضمن القسمة على 4. لا علاقة للعامل بعدد نقاط التقاطع أو بعدد المثلثات التي يوحي بها الرسم.

متى يختفي الفرق؟

جرّب A=(0,0)، B=(8,0)، C=(10,5)، D=(2,5). نجد M=N=(5,5/2)، فنرسم نقطة واحدة K تمثل كليهما. مربعات الأضلاع 64 و 29 و 64 و 29، ومجموعها 186. مربعا القطرين 125 و 61، ومجموعهما 186 أيضًا.

هذا النموذج متوازي أضلاع: المتجه من A إلى B هو (8,0)، ويطابق المتجه من D إلى C، كما يطابق المتجه من A إلى D المتجه من B إلى C. القطران مختلفا الطول، ومع ذلك T=Q؛ فلا يشترط تساويهما لزوال الفرق.

عمومًا، اختفاء الفرق يعني MN²=0، أي M=N. ومن معادلة المنتصفين نحصل على A+C=B+D، ثم B−A=C−D و D−A=C−B. في رباعي محدب غير منعدم، يثبت ذلك أن كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان؛ والعكس يتحقق في متوازي الأضلاع.

ولفحص شرط مختلف، خذ A=(0,0)، B=(10,0)، C=(8,3)، D=(2,3). إنه شبه منحرف متساوي الساقين؛ مربعا قطرَيه 73 و 73، لكن مربعات الأضلاع 100 و 13 و 36 و 13. لذا T=162، و Q=146، والفرق 16.

منتصفا القطرين في النموذج الأخير هما M=(4,3/2) و N=(6,3/2)، والمسافة بينهما 2. لذلك 4MN²=16. الجدول يجمع المقارنات: تساوي طولَي القطرين وحده لا يثبت تطابق منتصفيهما.

مربع الطول لا يحدد مساحة الرباعي

إذا كانت وحدة الإحداثيات سنتيمترًا، فكل من T و Q و 4MN² بوحدة سم². لكن هذه الوحدة لا تعني أن T مساحة الرباعي. في نموذجنا الأصلي المساحة 68 سم²، بينما T=332 سم² و Q=324 سم²؛ المعاني مختلفة رغم اتفاق نوع الوحدة.

لإيجاد 68 مباشرة من الإحداثيات، نجمع الضربات المتبادلة للرؤوس المتتابعة، فنحصل على 84+52=136، ثم نأخذ النصف. هذا حساب مساحة مستقل، وليس طرفًا ثالثًا ينبغي إدخاله في مبرهنة أويلر.

إذا ضربنا جميع الإحداثيات في 2، تضرب مربعات الأطوال في 4: T=1328 و Q=1296، و MN²=8، والفرق 32. تبقى 1328=1296+32 صحيحة. أما الإزاحة والدوران فيحفظان المسافات نفسها، فلا يغيران أيًا من هذه المجاميع.

قبل تسليم الحل، تأكد من الأضلاع الأربعة والقطرين، ومن تعريف M و N، ومن عامل 4، ومن الوحدة. احتفظ بالمربعات والأعداد الكسرية الدقيقة ما أمكن، ثم خذ جذر MN² فقط إذا كان المطلوب طول القطعة MN.