مبرهنة دي غوا: فيثاغورس لمساحات أوجه رباعي السطوح

الخلاصة السريعة

تقول مبرهنة دي غوا إن مربع مساحة الوجه المقابل لرأس رباعي السطوح الذي تلتقي عنده ثلاث حواف متعامدة زوجيًا يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى: S²=S1²+S2²+S3². [1]

• يشترط التعامد بين كل زوج من OA و OB و OC عند الرأس O. الصيغة S²=S1²+S2²+S3² تخص مساحات الأوجه، وليست جمع أطوال الحواف أو قانونًا لحجم المجسم. [1]
• في نموذجنا، الأوجه OAB و OAC و OBC مثلثات قائمة، ومساحاتها S1=18 و S2=24 و S3=54. مربعات المساحات 324 و 576 و 2916؛ مجموعها 3816.
• إذن S²=3816، ومساحة الوجه ABC هي S=6√106. نأخذ الجذر الموجب بعد جمع المربعات، ولا نجمع 18 و 24 و 54 مباشرة لإيجاد مساحة الوجه المقابل.
• يمكن فحص ABC من متجهين في مستواه: u=(−4,9,0) و v=(−4,0,12). لدينا|u|²=97 و|v|²=160 و u·v=16؛ من صيغة القاعدة والارتفاع نجد 4S²=97×160−16²=15264.
• عند تغيير B إلى B=(3,9,0)، يبقى OC عموديًا على OA و OB، لكن OA·OB=12. تصبح مساحة ABC هي 6√91، ومربعها 3276، بينما مجموع مربعات مساحات الأوجه الأخرى 4140. زوجان متعامدان لا يكفيان.
• المساحات بوحدات مربعة، ومربعاتها بوحدات القوة الرابعة. التكبير بعامل 2 يجعل كل مساحة أربعة أمثالها، وكل مربع مساحة ستة عشر مثلًا. الرسم إسقاط سلكي؛ لا نقيس منه الزوايا أو الأطوال.

افحص ثلاثة أزواج من الحواف

رباعي السطوح له أربعة رؤوس وأربعة أوجه مثلثة. سمِّ الرأس الذي نختبر عنده التعامد O، والرؤوس الأخرى A و B و C. الأوجه OAB و OAC و OBC تلتقي عند O، بينما ABC هو الوجه الذي لا يحتوي هذا الرأس. هذا هو الوجه المقابل في الصيغة.

نحتاج إلى OA⊥OB و OA⊥OC و OB⊥OC معًا. عند تحقق ذلك تنطبق مبرهنة دي غوا على مساحات الأوجه الأربعة. [1] لا يكفي وجود زاوية قائمة في وجه واحد، ولا نبحث عن تعامد بين ضلعين في الوجه ABC بدل الحواف الثلاث الخارجة من O.

في الإحداثيات المختارة، OA=(4,0,0)، OB=(0,9,0)، OC=(0,0,12). حاصل الضرب القياسي لأي زوج منها صفر، لأن المركبات غير الصفرية تقع في محاور مختلفة. بذلك تحققنا من جميع الأزواج الثلاثة، لا من شكلها الظاهر في الرسم.

سنسمي مساحة ABC بالرمز S، ومساحات OAB و OAC و OBC بالرموز S1 و S2 و S3 على الترتيب. الرمز S1² يعني مربع المساحة الأولى، لا مربع طول حافة. تثبيت هذه الأسماء يمنع نقل عدد من وجه إلى وجه آخر أثناء الحساب.

التعامد شرط هندسي في المجسم ذي الأبعاد الثلاثة. الإسقاط على شاشة ثنائية الأبعاد قد يرسم الحواف المتعامدة بزاوية تبدو حادة أو منفرجة. لذلك المخطط يربط أسماء الحواف والرؤوس، أما التحقق من التعامد فيأتي من المعطيات أو الحساب.

احسب مساحات الأوجه الثلاثة المجاورة

الوجه OAB مثلث قائم عند O، وضلعا قائمته 4 و 9. مساحته S1=4×9/2=18. والوجه OAC قائم عند O أيضًا، وضلعا قائمته 4 و 12، فتكون S2=4×12/2=24. في كل وجه نستعمل ضلعين متعامدين كقاعدة وارتفاع.

أما OBC فله ضلعان متعامدان طولهما 9 و 12، ولذلك S3=9×12/2=54. لا نستعمل طول BC بوصفه ارتفاعًا لهذا المثلث؛ إنه الضلع المقابل للزاوية القائمة في الوجه OBC. حساب مساحته لا يتطلب معرفة هذا الوتر.

مربعات المساحات هي 18²=324 و 24²=576 و 54²=2916. يجمع الجدول اسم كل وجه ومساحته ومربع المساحة. الأعمدة ليست قابلة للتبادل؛ العدد 54 مساحة، بينما 2916 مربع هذه المساحة.

بجمع العمود الأخير نحصل على 324+576+2916=3816. هذا هو مربع مساحة ABC عندما يتحقق شرط المبرهنة. أكبر مساهمة هنا تأتي من مربع 54، لكننا لا نحذف المربعين الآخرين لمجرد أن أحد الأوجه أكبر مساحة.

إذا كانت الحواف بالسنتيمتر، فاكتب 18 سم² و 24 سم² و 54 سم². وبعد التربيع تكون الوحدات سم⁴ في الأعمدة والمجموع. هذه الوحدة لا تعني أن لدينا طولًا لحافة أو حجمًا رباعي الأبعاد؛ هي وحدة الكمية الحسابية الناتجة عن تربيع مساحة.

خذ الجذر ولا تجمع المساحات مباشرة

من المجموع السابق نجد S²=3816. ولأن 3816=36×106، فإن S=6√106. هذه مساحة موجبة، فلا نختار الجذر السالب. الاحتفاظ بالجذر يعطي قيمة دقيقة ولا يضيف خطأ تقريب إلى فحص المبرهنة.

جمع المساحات 18+24+54=96 يعطي مجموع مساحات الأوجه الثلاثة المجاورة للرأس O، لا مساحة ABC. ولو ساوينا S بهذا العدد لكان S²=9216، مخالفًا للمجموع 3816. التشابه مع فيثاغورس في جمع المربعات لا يبرر حذف التربيع.

الوجه ABC مثلث في مستوى مائل، وأضلاعه تربط الرؤوس الثلاثة البعيدة عن O. مثلًا AB²=4²+9²=97، و AC²=4²+12²=160، و BC²=9²+12²=225، ولذلك BC=15. هذه مربعات أطوال داخل الوجه وليست مربعات مساحات الأوجه المجاورة.

إذا أردنا المساحة الكلية لسطح رباعي السطوح، نجمع مساحات أوجهه الأربعة: 96+6√106. هذه عملية أخرى تشتمل على ABC نفسه. لا تدخل المساحة الكلية مكان S في العلاقة؛ الصيغة تحدد وجهًا واحدًا مقابل الرأس المتعامد.

يمكن وصف أي وجه بأنه قاعدة عند الحديث عن رباعي السطوح، لكن تغيير الاسم لا يغيّر موضع الرأس الذي يحقق التعامد. في تطبيق دي غوا، اربط S بالوجه المقابل لذلك الرأس تحديدًا، بدل الاعتماد على الوجه المرسوم أسفل الصفحة.

راجع مساحة الوجه من قاعدة وارتفاع متجهيين

للفحص المباشر في ABC، خذ u=AB=(−4,9,0) و v=AC=(−4,0,12). مربع طول u هو 97، ومربع طول v هو 160، وحاصل الضرب القياسي u·v=16. هذه ثلاثة مقادير تحدد طول قاعدة في الوجه، وطول الضلع الثاني، ومركبته في اتجاه القاعدة.

إذا رمزنا إلى طول الارتفاع في مستوى الوجه بالحرف h، فإن h²=|v|²−(u·v)²/|u|². السبب أن طول إسقاط v على اتجاه u هو (u·v)/|u|، والارتفاع عمودي على هذا الاتجاه. بتطبيق فيثاغورس داخل مستوى الوجه نطرح مربع الإسقاط من مربع طول v.

وبما أن S=|u|h/2، ينتج 4S²=|u|²|v|²−(u·v)². في المثال نجد 4S²=97×160−16²=15264، ثم S²=3816. عاد العدد نفسه بطريقة تعتمد على الوجه ABC مباشرة، لا على التعويض في مجموع مساحات الأوجه الثلاثة.

يمكن أيضًا استخراج البرهان العام بهذه الطريقة. ضع A=(a,0,0)، B=(0,b,0)، C=(0,0,c)، مع a و b و c موجبة، و O أصل الإحداثيات. يصبح u=(−a,b,0) و v=(−a,0,c)، فيكون u·v=a².

إذن 4S²=(a²+b²)(a²+c²)−a⁴، وبالتوسيع يبقى a²b²+a²c²+b²c². أما مساحات الأوجه المجاورة فهي ab/2 و ac/2 و bc/2. مجموع مربعاتها هو (a²b²+a²c²+b²c²)/4، وهو S² نفسه. هذا برهان إحداثي عام؛ اتفاق المثال العددي وحده لا يغني عنه.

غيّر رأسًا واحدًا لاختبار التعامد الثالث

اترك O=(0,0,0)، A=(4,0,0)، C=(0,0,12)، لكن غيّر B إلى B=(3,9,0). لا تزال OA و OB في المستوى الأفقي، وكلاهما عمودي على OC. لكن OA·OB=4×3=12، وهو غير صفر؛ فهذان الضلعان لا يتعامدان.

يبقى وجه OAB ذا قاعدة OA طولها 4 وارتفاع إلى خطها 9، فتظل مساحته 18. ووجه OAC لم يتغير، فمساحته 24. أما OB فطوله 3√10، وهو عمودي على OC ذي الطول 12، فتكون مساحة OBC هي 18√10.

مربعات هذه المساحات 324 و 576 و 3240، ومجموعها 4140. لو طبقنا الصيغة من غير شرطها لادعينا S=6√115، لأن 4140=36×115. لكن الحساب المباشر في ABC يعطي قيمة أخرى.

هنا u=AB=(−1,9,0)، فيكون|u|²=82، بينما v=AC=(−4,0,12) ومربع طوله 160، و u·v=4. إذن 4S²=82×160−4²=13104، ومنه S²=3276 و S=6√91. الفرق بين 4140 و 3276 هو 864، فلا توجد مساواة.

الجدول والرسم يقارنان النموذجين مع بقاء O و A و C ثابتة. تغيير B أفسد تعامد OA و OB، مع احتفاظ الزوجين الآخرين بالتعامد. هذا المثال ينقض تعميم المبرهنة على حالة يكون فيها زوجان فقط متعامدين؛ لا ينقض المبرهنة بشروطها الأصلية.

ميز مساحة الوجه من مربعها والحجم

هذه علاقة بين أربع مساحات سطحية. الحجم كمية مختلفة بوحدة مكعبة، وطول الحافة بوحدة خطية، ومربع مساحة الوجه بوحدة القوة الرابعة. لا تضع أيًا منها مكان الأخرى ولو تشابهت الأعداد في مسألة أخرى.

عند تكبير جميع الإحداثيات بعامل 2، تصير الحواف 8 و 18 و 24 بدل 4 و 9 و 12. المساحات المجاورة تصبح 72 و 96 و 216، أي أربعة أمثال 18 و 24 و 54. ومساحة ABC تصبح 24√106، أي أربعة أمثال 6√106.

مربعات المساحات تتضاعف بعامل 16. ولذلك 72²+96²+216²=61056، وهو مربع 24√106. تربيع معامل المساحة 4 يعطي 16؛ لا نستخدم عامل 2 مباشرة في هذه الخطوة لأن الكمية التي نكبرها هي مساحة مربعة مرة ثانية.

نقل المجسم أو تدويره يحفظ الأطوال والمساحات والتعامد. أما تمديده في اتجاه واحد فقط فقد يغيّر أطوال الحواف بنسب مختلفة؛ عندئذ أعد حساب المساحات وافحص الشروط من المعطيات الجديدة بدل استعمال معامل تكبير موحد غير موجود.

قبل التعويض، حدد الرأس والأزواج الثلاثة والوجه المقابل، ثم احسب المساحات ووحداتها، واجمع المربعات وخذ الجذر الموجب. افحص النتيجة بطريقة مستقلة عندما تتاح إحداثيات الرؤوس. المخطط الإسقاطي يوضح الاتصال بين النقاط، ولا يثبت شرط التعامد من زاوية مرسومة.