محدد فاندرموند: الفروق وترتيب الصفوف

حدد شكل المصفوفة قبل استعمال الصيغة

مصفوفة فاندرموند مربعة. نرتب أعمدتها حسب القوى0،1،…،n−1؛ يبدأ كل صف بالثابت1، ثم قيمةx وقواها. [2]

نكتب الصفوف من اليسار إلى اليمين. معx₁=−2 وx₂=1 وx₃=4 تكونV=[[1,−2,4],[1,1,1],[1,4,16]]. العدد4 في آخر الصف الأول هو(−2)².

الصيغة تستخدمxⱼ−xᵢ لكلi<j. [1] الأزواج في مثالنا هي(1,2) و(1,3) و(2,3)، والفروق1−(−2)=3 و4−(−2)=6 و4−1=3. حاصل الضرب3×6×3=54.

عندn=1 تكونV ذات العنصر1، ومحددها1؛ لا توجد أزواج، ويؤخذ الجداء الخالي مساويًا1. [1] حتى إذا كانت قيمةx صفرًا، تظل خانة البداية الثابت1؛ لا نحتاج تفسير0⁰.

إذا تكررت قيمتان حقيقيتان، ظهر فرق صفري. وإذا كانت جميعها مختلفة، كانت الفروق كلها غير صفرية، فمحددV غير صفري وتقبل العكس. [2]

اشتقاق كامل لثلاثة صفوف

نستعمل قيمًا حقيقيةa,b,c، ومصفوفة صفوفها(1,a,a²) و(1,b,b²) و(1,c,c²). اطرح الأول من الثاني والثالث؛ تبقى قيمة المحدد، وتصبح الصفوف(1,a,a²) و(0,b−a,b²−a²) و(0,c−a,c²−a²).

لأنb²−a²=(b−a)(b+a)، فالصف الثاني هو(b−a)(0,1,b+a). وبالمثل الثالث(c−a)(0,1,c+a). إخراج العاملين من المحدد يعطي(b−a)(c−a) مضروبًا في محدد صفوفها(1,a,a²) و(0,1,b+a) و(0,1,c+a).

بالتوسع على العمود الأول يتبقى المحدد الثنائي[[1,b+a],[1,c+a]]. قيمته(c+a)−(b+a)=c−b. إذنdet(V)=(b−a)(c−a)(c−b).

لم نقسم علىb−a أوc−a. اعتمدنا مساواة صف بمضاعف صف آخر وإخراج العامل من المحدد؛ لذلك تبقى الهوية صحيحة حتى إذا كان أحد الفروق صفرًا.

في مثالa=−2,b=1,c=4، يصبح الصف الثاني بعد الطرح(0,3,−3)، والثالث(0,6,12). المحدد المتبقي قبل إخراج العاملين هو3×12−(−3)×6=54. هذا فحص آخر للنتيجة.

الترتيب يحدد الإشارة

أبقِ القيم نفسها، وغيّر ترتيب الصفوف إلى1،−2،4. المصفوفة الجديدةW=[[1,1,1],[1,−2,4],[1,4,16]]. الفروق المرتبة هي−3 و3 و6؛ ومنهاdet(W)=−54.

ما زالت القيم الثلاث مختلفة، فلا يزيل تبديل الصفين قابلية العكس. لكنه غيّر إشارة النتيجة في الحساب. استعمال مسافات موجبة فقط بين القيم كان سيخفي هذا الفرق.

كذلك لا تستعمل الصيغة نفسها دون انتباه إذا بدأت الأعمدة بالقوى2،1،0. في مثالنا تكونU=[[4,−2,1],[1,1,1],[16,4,1]]، ومحددها4(1−4)−(−2)(1−16)+(4−16)=−54.

عكس الأعمدة الثلاثة هنا تبديل للأول والثالث. لا نخلطU معV رغم أنهما مبنيتان من قيمx نفسها. أثبت ترتيب الأعمدة أولًا، ثم احسب الفروق وفق ترتيب الصفوف الفعلي.

فرق صغير، ثم تطبيق على المعاملات

خذ القيم0،1،1+h. صفوف المصفوفة(1,0,0) و(1,1,1) و(1,1+h,(1+h)²). بالجداء نجدdet=1×(1+h)×h. يصفر عندh=0 أوh=−1، لأن القيمة الثالثة تطابق الثانية أو الأولى.

عندh=1/10 تكون القيمة11/100، وعندh=1/100 تكون101/10000. كلاهما غير صفري، رغم أنهما صغيرتان. هذه حسابات دقيقة؛ لا نجعل قرب القيم تكرارًا، ولا نستنتج من حجم المحدد وحده جودة حساب تقريبي.

من تطبيقات هذه البنية إيجاد معاملات كثير حدود من قيمه عند مواضع مختلفة؛ يتطلب التفرد تقييد الدرجة. [3] اكتبp(x)=α+βx+γx²، واخترp(−2)=13 وp(1)=4 وp(4)=31.

المصفوفةV السابقة تضرب عمود المعاملات(α,β,γ) لتعطي(13,4,31). المرشح(3,−1,2) صحيح: عند−2 نجد3+2+8=13، وعند1 نجد3−1+2=4، وعند4 نجد3−4+32=31.

لتأكيد التفرد في المثال مباشرة، اطرح أي حلين، وسم فرق المعاملات(u,v,w). المعادلات هيu−2v+4w=0 وu+v+w=0 وu+4v+16w=0. طرح الأولى من الثانية يعطي3v−3w=0، وطرح الثانية من الثالثة يعطي3v+15w=0.

إذنv=w ومن ثم18w=0؛ فتكونw=v=u=0. هذا التفرد ضمن الدرجة≤2. إذا سمحنا بالدرجة3، فإنp(x)+t(x+2)(x−1)(x−4) يعيد القيم نفسها لكلt حقيقي، فلا نبقي دعوى التفرد دون حد الدرجة.