قطاع دائري وقوسه: هل لهما مركز الكتلة نفسه؟

مركز كتلة القطاع الدائري وقوسه يعتمد على مواضع المادة. [4]

الخلاصة السريعة

للقطاع غير الكامل يختلف المركزان؛ السلك أبعد عن مركز الدائرة. [4]

نصف قطر منتهٍ R>0 سم، وزاوية 0<θ≤2π بالراديان؛ مركز الدائرة O=(0,0) ومنصف الزاوية محور x. الصفيحة تملأ القطاع بكثافة ثابتة σ>0 غ/سم²؛ السلك المثالي على القوس فقط بكثافة ثابتة λ>0 غ/سم، دون نصفي القطر. بالتماثل ȳ=0. [4]
للصفيحة، dA=r dr dφ مع 0≤r≤R و−θ/2≤φ≤θ/2. المساحة A=R²θ/2 سم²، والعزم الأول J_A=∫∫x dA=2R³sin(θ/2)/3 سم³؛ لذا x̄_P=J_A/A=4Rsin(θ/2)/(3θ). [3]
للسلك، ds=R dφ؛ طول القوس L=Rθ سم وعزمه J_L=∫x ds=2R²sin(θ/2) سم². إذن x̄_C=J_L/L=2Rsin(θ/2)/θ. الكثافة الخطية الثابتة تلغى. [2]
عند 0<θ<2π يكون المركزان على المحور الموجب، وx̄_C=(3/2)x̄_P>x̄_P. هذه نسبة البعدين عن O، وليست نسبة الكثافتين المختلفتين في الوحدة. [4]
مثالنا R=15 سم وθ=120°=2π/3: x̄_P=15√3/π≈8.269933 سم، وx̄_C=45√3/(2π)≈12.404900 سم؛ ȳ=0 لكليهما. المساحة 75π سم²، والطول 10π سم. [1][2]
عند θ=2π يصبحان قرصًا وحلقة؛ المركزان O، ونسبة 0/0 غير معرفة. الزاوية صفر مستبعدة لانعدام الكتلة؛ عند الاقتراب منها الحد للصفيحة 2R/3 وللسلك R. الكثافة المتغيرة تحتاج حسابًا جديدًا؛ مركز السلك قد يقع في الفراغ. [4]

حدد الصفيحة والسلك

نصف قطر منتهٍ R>0 سم، وزاوية 0<θ≤2π بالراديان؛ مركز الدائرة O=(0,0) ومنصف الزاوية محور x. الصفيحة تملأ القطاع بكثافة ثابتة σ>0 غ/سم²؛ السلك المثالي على القوس فقط بكثافة ثابتة λ>0 غ/سم، دون نصفي القطر. بالتماثل ȳ=0. [4]

حد الصفيحة ليس سلكًا إضافيًا؛ لا نضيف كتلة إلى الحافة. [4]

كامل مواضع مساحة القطاع

للصفيحة، dA=r dr dφ مع 0≤r≤R و−θ/2≤φ≤θ/2. المساحة A=R²θ/2 سم²، والعزم الأول J_A=∫∫x dA=2R³sin(θ/2)/3 سم³؛ لذا x̄_P=J_A/A=4Rsin(θ/2)/(3θ). [3]

نكتب x=rcosφ؛ تكامل r² شعاعيًا يعطي R³/3، وتكامل cosφ زاويًا يعطي 2sin(θ/2). الكتلة σA والعزم الكتلي σJ_A؛ القسمة تلغي σ. [3]

كامل مواضع القوس

للسلك، ds=R dφ؛ طول القوس L=Rθ سم وعزمه J_L=∫x ds=2R²sin(θ/2) سم². إذن x̄_C=J_L/L=2Rsin(θ/2)/θ. الكثافة الخطية الثابتة تلغى. [2]

على القوس x=Rcosφ؛ سرعة تمثيله الزاوي طولها R، فتنتج صيغة ds. لا نزن الوتر أو الحواف المستقيمة. [2]

قارن البعدين عن الأصل

عند 0<θ<2π يكون المركزان على المحور الموجب، وx̄_C=(3/2)x̄_P>x̄_P. هذه نسبة البعدين عن O، وليست نسبة الكثافتين المختلفتين في الوحدة. [4]

إلغاء العامل الزاوي المشترك يعطي النسبة لكل زاوية مسموحة غير كاملة. [4]

طبق مثالًا بزاوية معلومة

مثالنا R=15 سم وθ=120°=2π/3: x̄_P=15√3/π≈8.269933 سم، وx̄_C=45√3/(2π)≈12.404900 سم؛ ȳ=0 لكليهما. المساحة 75π سم²، والطول 10π سم. [1][2]

الأعداد حسابية، بلا تجربة؛ نقرب في النهاية. [1][2]

البعد والزاوية — الدوائر المفتوحة للحدود. [1][2]

افحص الدورة الكاملة والحدود

عند θ=2π يصبحان قرصًا وحلقة؛ المركزان O، ونسبة 0/0 غير معرفة. الزاوية صفر مستبعدة لانعدام الكتلة؛ عند الاقتراب منها الحد للصفيحة 2R/3 وللسلك R. الكثافة المتغيرة تحتاج حسابًا جديدًا؛ مركز السلك قد يقع في الفراغ. [4]

الحد عند الصفر لا يمثل جسمًا فعليًا بكتلة موجبة. [4]

المراجع

راجع مساحة القطاع

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.