مساحة شبه المنحرف القائم: الارتفاع وفحص الأبعاد المجهولة

حدد الأبعاد من هندسة الشكل

مساحة شبه المنحرف القائم تبدأ من معرفة القاعدتين والارتفاع، ثم تصبح أكثر فائدة عندما نستعمل المساحة نفسها لإيجاد بعد مفقود وفحص صلاحية الجواب. نختار في هذا الدرس شكلًا مؤلفًا قاعدته الأطول ثلاثة وعشرون سنتيمترًا، والأقصر أحد عشر، وساقه العمودية خمسة. سنقسمه إلى مستطيل ومثلث، ونراجع وحداته، ثم نعطي بطاقات مساحة مختلفة ونختبر القاعدة التي تستنتج منها. نعتمد في التمارين قاعدة طويلة اسمها B وقاعدة أقصر اسمها b مع 0<b<B، وارتفاعًا موجبًا. الأعداد والرسومان للتعليم؛ لم نقس أرضًا أو قطعة صناعية.

نضع رؤوس شكلنا في مستوى مؤلف بالسنتيمتر: (0,0),(23,0),(11,5),(0,5)، ونصل بينها بهذا الترتيب. القاعدة السفلى أفقية بطول ثلاثة وعشرين، والعليا أفقية بطول أحد عشر، والساق عند الإحداثي الأفقي صفر تصل من ارتفاع صفر إلى خمسة. لذلك نعرف التوازي والتعامد من المعطيات، لا من منظر رسم غير مضبوط. الزاويتان عند طرفي الساق العمودية قائمتان في هذا البناء.

المسافة بين خطي القاعدتين خمسة سنتيمترات، وهي الارتفاع الذي ندخله في المساحة. الخط المائل من الرأس العلوي الأيمن إلى السفلي الأيمن له امتداد أفقي أيضًا، لذلك طوله يختلف عن تلك المسافة. حين تقرأ بطاقة أطوال، اسأل أين يبدأ كل مقدار وأين ينتهي. لا تجعل أكبر عدد مكتوب بجانب الشكل هو الارتفاع تلقائيًا؛ موضع الضلع والعلاقة العمودية يحددان وظيفة الرقم.

يمكن تدوير هذا الشكل في الصفحة فتتغير جهة الارتفاع المرسومة، وتظل المسافة العمودية بين القاعدتين خمسة. ما يهم هو القاعدتان المتوازيتان، لا أن تكونا أفقيتين على الشاشة في كل عرض. الإحداثيات التي اخترناها تسهل القراءة والحساب هنا، وتسمح بإعادة بناء الرسم. أما طول ضلع من صورة مأخوذة بزاوية أو بمقياس مختلف، فلا يعد بديلًا من الأبعاد التي قدمها السؤال صراحة.

حساب المساحة بمتوسط القاعدتين

نجمع ثلاثة وعشرين وأحد عشر فنجد أربعة وثلاثين سنتيمترًا، ثم نقسم على اثنين لنحصل على سبعة عشر. نضرب في الارتفاع خمسة، فتكون المساحة خمسة وثمانين سنتيمترًا مربعًا. كتابة الوحدات في هذه المراحل تكشف تغير نوع الكمية: متوسط القاعدتين طول، أما ضربه في الارتفاع فينتج مساحة. لا نضع السنتيمتر المربع بجانب المتوسط قبل أن نضربه في طول آخر.

ويؤدي ترتيب آخر للحساب إلى النتيجة نفسها: نحسب أولًا (23+11)×5=170، ثم نقسم الناتج على اثنين فنجد خمسة وثمانين. لا نقسم على اثنين مرة في المتوسط ومرة ثانية بعد الضرب، لأن القانون يحمل هذا العامل مرة واحدة. وإذا اخترت الاحتفاظ بكسر في المتوسط في مسألة أخرى، فتستطيع إتمام الضرب بالقيمة الدقيقة قبل تقريب العرض. أرقام مثالنا تجعل المتوسط عددًا صحيحًا، فتسهل المراجعة.

وللتأكد من أن البيانات نفسها استعملت، أعد الناتج إلى العلاقة 2A=(B+b)h. الطرف الأول 2×85=170 cm²، والثاني 34×5=170 cm². هذا تعويض يراجع السطر الأصلي، ولا يضيف مساحة جديدة للشكل. إذا ظهر عدد مختلف، ابحث عن القاعدة أو الارتفاع أو عامل النصف الذي تغير في التعويض. التحقق يعيد ربط الجواب بالأبعاد المعطاة بدل الاكتفاء بمعقولية الرقم وحدها.

تقسيم الشكل إلى مستطيل ومثلث

مساحة المستطيل حاصل ضرب طوله وعرضه، ومساحة المثلث نصف حاصل ضرب قاعدته في ارتفاعها العمودي. نستعملهما عند تقسيم شكل إلى أجزاء غير متداخلة. [1]

نرسم من الرأس العلوي عند (11,5) مقطعًا عموديًا إلى (11,0). يتكون على اليسار مستطيل عرضه أحد عشر وارتفاعه خمسة، وعلى اليمين مثلث قائم امتداده الأفقي اثنا عشر وارتفاعه خمسة. القطعة الجديدة خط تقسيم داخل الشكل، وليست ضلعًا إضافيًا على حدوده الخارجية. اخترنا تقسيمًا يجعل المساحتين سهلتي الحساب، مع عدم تداخل الجزءين داخل الشكل.

مساحة المستطيل خمسة وخمسون، والمثلث ثلاثون، فيكون المجموع خمسة وثمانين سنتيمترًا مربعًا. نستطيع كتابة الحساب 11×5+(23−11)×5/2=85. وإذا وزعت الحدود جبريًا، حصلت على 23×5/2+11×5/2، وهو القانون الذي استعملناه أولًا. هذه قراءة ثانية للمساحة نفسها؛ لا تجمع ناتج القانون فوق مساحتي الجزءين، لأنك ستكون قد عددت الشكل مرتين.

يساعد هذا التقسيم على تفسير لماذا لم تدخل الساق المائلة في قانون المساحة مباشرة. الجزء المثلث يحتاج قاعدته الأفقية والارتفاع العمودي، لا طول وتره. كما يوضح معنى طرح القاعدة الأقصر من الأطول في هذا الرسم القائم تحديدًا. لقد وضعنا طرفيهما الأيسر على ساق واحدة عمودية، لذلك ظهر الامتداد المتبقي كله في الجهة اليمنى. لا ننقل هذا الرسم المساعد إلى شكل آخر دون معرفة طريقة وضع قواعده.

الضلع المائل يفيد في فحص الاتساق

في المثلث القائم، مجموع مربعي الضلعين القائمين يساوي مربع الوتر. الوتر يقابل الزاوية القائمة، ولا يحل محله أحد الضلعين في علاقة المساحة. [2]

في المثلث المساعد امتداد أفقي اثنا عشر وارتفاع خمسة، فتكون الساق المائلة √(12²+5²)=√169=13 cm. الثلاثية خمسة واثنا عشر وثلاثة عشر علاقة فيثاغورسية مألوفة؛ استعملناها في شكلنا المؤلف ولا ندعي اختراعها. إذا أعطت بطاقة الأبعاد هذا الضلع بدل الارتفاع، نستطيع مع شرط الشكل القائم أن نحسب h=√(13²−12²)=5 cm ثم ندخله في المساحة. [2]

أما وضع الثلاثة عشر مكان الخمسة في قانون المساحة، فيعطي (23+11)×13/2=221 cm²، وهو جواب لشكل ذي ارتفاع مختلف عن شكلنا. الفرق سببه وظيفة الطول الذي أدخلناه، لا خطأ في ضرب الأرقام. لهذا نميز الساق العمودية من المائلة قبل التعويض. الصيغة لا تعرف من تلقاء نفسها أن رقمًا أخذته من موضع آخر لا يمثل المسافة المطلوبة بين القاعدتين.

ويمكن جمع الحدود الأربعة في هذا المثال فنجد محيطًا 23+11+5+13=52 cm. نذكره للمقارنة بين نوعي القياس فقط: اثنان وخمسون طول إطار، وخمسة وثمانون مساحة داخلية. القطعة التي رسمناها للتقسيم لا تدخل في ذلك الجمع لأنها ليست حدًا خارجيًا. لا نستعمل المحيط بديلًا من المساحة، ولا نقارن العددين بوصفهما وحدتين لشيء واحد يحتاج اختيار الأكبر.

استعادة الارتفاع من مساحة معلومة

نعطي الآن مساحة خمسة وثمانين سنتيمترًا مربعًا والقاعدتين ثلاثة وعشرين وأحد عشر، ونخفي الارتفاع. نبدأ من 2A=(B+b)h ونقسم على مجموع القاعدتين الموجب، فنجد h=2A/(B+b)=170/34=5 cm. لم نقسم المساحة على القاعدة الطويلة وحدها، لأن هذا سيستعمل قانون مستطيل لا العلاقة الخاصة بالأبعاد التي قدمناها. المتوسط هو الطول الذي تقابله المساحة والارتفاع في حسابنا.

وللتدريب نؤلف بطاقة بنفس القاعدتين ومساحة مئة واثنين، فنحصل على h=204/34=6 cm. يعود التعويض بالقانون إلى مئة واثنين، فيكون الارتفاع متسقًا مع هذه البطاقة الجديدة. لكنه لا يجعل الساق المائلة ثلاثة عشر كما كانت في البطاقة الأولى؛ إذا طلبت حساب تلك الساق، أعد استعمال الارتفاع الجديد مع الامتداد الأفقي. تغيير حقل واحد قد يستلزم إعادة حساب حقول تعتمد عليه.

إذا نتج ارتفاع صفر أو سالب من بيانات يفترض أنها مساحة موجبة لشكل غير منعدم، فراجع الفروض والتعويض قبل اعتماد النتيجة. في البطاقات التي ندرسها القاعدتان موجبتان والمساحة موجبة، لذلك يخرج الارتفاع الموجب من العلاقة. هذه مراجعة لشروط الحالة، لا إذن بتغيير رقم غير ملائم حتى يصير موجبًا. يمكنك أن تقول إن البيانات لا تصف الشكل المطلوب إذا خالفت الشروط التي بدأ بها السؤال.

استعادة القاعدة الأقصر ومراجعة وصفها

من العلاقة نفسها نكتب B+b=2A/h، ثم نطرح القاعدة الطويلة فنصل إلى b=2A/h−B. في البطاقة الأصلية تصبح b=170/5−23=34−23=11 cm. القسمة على الارتفاع الموجب تعطينا طولًا، وطرح طول القاعدة الطويلة يبقي وحدة الطول. لا نقبل رقمًا بوحدة مساحة في خانة القاعدة، مهما بدا قريبًا من عدد قرأناه في الشكل.

نختار بطاقة جديدة A=95 cm²,h=5 cm,B=23 cm. تصبح القاعدة المطلوبة 190/5−23=15 cm، وهي موجبة وأقصر من ثلاثة وعشرين. نراجع (23+15)×5/2=95 cm²، فتعيد المعادلة مساحة البطاقة. هذا المثال يبين أن معرفة المساحة والارتفاع والقاعدة الطويلة تحدد الأقصر في عائلة الأشكال التي اخترناها، من غير الحاجة إلى تخمين ميل الساق المرسومة.

وبعد استخراجها، اقرأ العبارة التي سمت القاعدة الأخرى «الأطول». إذا خرجت القاعدة المطلوبة أكبر منها، فالمشكلة في توافق النتيجة مع هذا الوصف. يمكن أن يكون لشبه منحرف آخر قاعدة من ذلك الطول، لكن بطاقتنا صرحت بترتيب معين للطولين. فحص الاسم والشرط يحدد ما إذا كان الجواب يحقق السؤال فعلًا، أو أنه يتطلب إعادة تفسير بطاقة لم تعط هذا التفسير منذ البداية.

مجال المساحات الممكنة في عائلة البطاقات

نثبت القاعدة الطويلة عند ثلاثة وعشرين والارتفاع عند خمسة، ونسمح للأقصر أن تتغير بشرط 0<b<23 cm. من A=(23+b)×5/2 نجد A=57.5+2.5b عندما نقيس المساحة بالسنتيمتر المربع والطول بالسنتيمتر. لذلك تكون المساحة أكبر من سبعة وخمسين ونصف وأقل من مئة وخمسة عشر. هذه حدود مستنتجة لعائلة محددة، وليست مجالًا رقميًا عامًا لكل أشباه المنحرف.

عند الحد السفلي، تعطي المعادلة قاعدة أقصر صفرًا؛ عندئذ تنهار القاعدة إلى نقطة ولا يبقى الرباعي الذي افترضناه. وعند الحد العلوي تعطي قاعدة بطول ثلاثة وعشرين، فتتساوى القاعدتان وفي بنائنا العمودي يصير الشكل مستطيلًا. نحن اعتمدنا في التمرين قاعدة أقصر فعلًا وزوجًا واحدًا من الأضلاع المتوازية. لذلك لا ندخل أيًا من الحدين، مع أن للمستطيل أو المثلث الناتج عند انعدام القاعدة القصيرة مسائل أخرى لها تعريفاتها.

ويمكن أن تختار داخل المجال مساحة خمسة وثمانين أو خمسة وتسعين، فتحصل على القاعدتين أحد عشر وخمسة عشر اللتين راجعناهما. زيادة المساحة عشر وحدات مربعة رفعت القاعدة الأقصر أربع وحدات طولية في هذه العائلة، لأن معاملها اثنان ونصف. لا ننقل هذه العلاقة العددية إلى ارتفاع مختلف؛ فهي ناتجة عن تثبيت الخمسة تحديدًا. اكتب ما ثبت قبل أن تستعمل فرقًا بين نتيجتين لإيجاد طول جديد.

بطاقتان يكشف فيهما الحل شرطًا مخالفًا

البطاقة الأولى تعطي مساحة خمسين مع الارتفاع خمسة والقاعدة الطويلة ثلاثة وعشرين. نحسب b=100/5−23=−3 cm. الطول السالب لا يحقق عائلة الأشكال التي عرفناها، والمساحة تقع أصلًا دون حدها السفلي. لا نستبدل بالسالب قيمته المطلقة ثلاثة، لأن التعويض بالثلاثة يعطي (23+3)×5/2=65 cm²، لا الخمسين التي طلبتها البطاقة. تحويل العلامة كان سيغير المعطيات بدل حلها.

والبطاقة الثانية تعطي مساحة مئة وعشرين، فنجد b=240/5−23=25 cm. الرقم موجب، لكنه أكبر من ثلاثة وعشرين التي صرحنا بأنها القاعدة الطويلة. لذلك يخالف وصف البطاقة، لا مبدأ إمكان وجود شبه منحرف قائم بقاعدتين ثلاثة وعشرين وخمسة وعشرين. لو لم يسم السؤال إحدى القاعدتين الأطول، لأمكن إعادة ترتيب الاسمين في شكل آخر. احتفظ بهذا الفرق عند تفسير رفض النتيجة.

تظهر هذه البطاقات في الرسم الداخلي: نتيجة حسابية لكل مجموعة، ثم شرط نقيس به قبولها. نجاح العمليات الحسابية ليس كافيًا عندما تكون للكميات قيود وصفية. وكذلك رفض بطاقة لا يجعل القانون نفسه غير صحيح؛ إنه كشف أن مدخلاتها لا تحقق الفروض التي أعلناها. اذكر في الجواب ما الذي خالفته تحديدًا: طول موجب، أو ترتيب الطويلة والأقصر، أو عدم انعدام الشكل، بدل كلمة «خطأ» لا تشرح موضع المشكلة.

توحيد الأطوال قبل حساب المساحة

نكتب البطاقة الأصلية مرة أخرى بقاعدة طويلة ثلاثة وعشرين سنتيمترًا، وأقصر مئة وعشرة مليمترات، وارتفاع خمسين مليمترًا. نحول الأخيرين إلى أحد عشر وخمسة سنتيمترات، فنعود إلى خمسة وثمانين سنتيمترًا مربعًا. أو نحول الطويلة إلى مئتين وثلاثين مليمترًا، فنحسب (230+110)×50/2=8500 mm². النتيجتان تمثلان المساحة نفسها بوحدتين، لا شكلين مختلفين.

إذا جمعت ثلاثة وعشرين مع مئة وعشرة كما هما ثم ضربت في خمسين، فإنك خلطت السنتيمتر والمليمتر في السطر نفسه. كتابة وحدة مربعة بعد الناتج لن تصلح هذا الخلط. اجعل كل الأبعاد بوحدة واحدة قبل الجمع والضرب. ويمكن أن تشير في ورقة العمل إلى التحويل الذي نفذته حتى يعرف القارئ لماذا تغير العدد بينما بقي الطول المسمى هو نفسه.

ونكتب خمسة وثمانين سنتيمترًا مربعًا على أنها 0.0085 m²، لأن المتر المربع يحتوي عشرة آلاف سنتيمتر مربع. التحويل بين وحدات المساحة يربّع عامل تحويل الطول، ولذلك لا نقسم الخمسة والثمانين على مئة فقط. وعندما تنقل الجواب إلى جدول، احتفظ بالوحدة في عنوان العمود أو بجانب القيمة. قد يكون رقم صغير بوحدة المتر المربع أكبر مساحة من رقم أكبر عدديًا بوحدة أخرى.

تكبير كل الأبعاد وتغيير الارتفاع وحده

نضاعف جميع أبعاد البطاقة الأصلية: القاعدتان ستة وأربعون واثنان وعشرون، والارتفاع عشرة. المساحة (46+22)×10/2=340 cm²، وهي أربعة أمثال خمسة وثمانين. الساق المائلة تتضاعف إلى ستة وعشرين، والمحيط إلى مئة وأربعة سنتيمترات في هذا التكبير المتناسب. عامل الطول اثنان دخل في اتجاهين للمساحة، لذلك ظهر العامل أربعة؛ لم نضف قاعدة أو جزءًا جديدًا إلى الشكل.

وفي فرع مختلف نضاعف الارتفاع فقط إلى عشرة، ونبقي القاعدتين ثلاثة وعشرين وأحد عشر. المساحة تصبح مئة وسبعين، أي ضعفي الأصل. هذا تغيير لا يحافظ على نسب جميع أضلاع الشكل كما فعل الفرع السابق. لا نثبت الساق المائلة عند ثلاثة عشر في هذه البطاقة، لأن الارتفاع الذي أسهم في حسابها تغير. يمكنك حساب المساحة مباشرة من الأبعاد الجديدة من غير افتراض تكبير متناسب لم يُعطَ.

والفرعان مستقلان، فلا نجمع مساحتيهما كأنهما قطعتان من البطاقة الأصلية. استخدم لكل مقارنة اسمًا يبين ما الذي تبدل: جميع الأطوال أم الارتفاع وحده. هذه التسمية تساعد على مراجعة عامل التغير قبل إجراء الضرب، وعلى تفسير لماذا أعطت عبارة «ضاعفنا الشكل» جوابًا مختلفًا إذا لم يصرح الكاتب بالأبعاد التي ضاعفها. الحساب الدقيق يحتاج إلى وصف التعديل بقدر حاجته إلى القيم الجديدة.

قياس مساعد لا يحل محل معطى مفقود

إذا أعطينا القاعدتين فقط ثلاثة وعشرين وأحد عشر، فلا تتحدد المساحة وحدها؛ يمكن تأليف ارتفاع خمسة أو ستة والحصول على خمسة وثمانين أو مئة واثنين. وصف الشكل بأنه قائم يحدد علاقة زاوية، لكنه لا يختار طول الساق العمودية تلقائيًا. يحتاج السؤال إلى الارتفاع أو إلى معطيات أخرى تستعيده، مثل الساق المائلة مع الأبعاد التي تجعل المثلث المساعد محددًا في البناء الذي ندرسه.

وفي مثال الساق المائلة ثلاثة عشر، نراجع فرق القاعدتين اثني عشر ونستخرج الخمسة من العلاقة القائمة. أما إذا نقلت البيانات إلى شبه منحرف غير قائم من غير بيان موضع القاعدتين أو زواياه، فلا تحمل هذه الخطوة الفرض نفسه. لهذا تسبق معلومة النوع استعمال الشكل المساعد. لا نستنتج التعامد من حاجة الحساب إليه، بل نستعمله عندما كان معطى في النص أو في إحداثيات البناء الأصلية.

والإحداثيات في رسمنا وسيلة لتوثيق الأبعاد، لا أربع معلومات عددية مستقلة يجب جمعها في قانون المساحة. الفروق بين الإحداثيات هي التي تعطي الأطوال هنا: فرق أفقي على خط القاعدة، وفرق عمودي بين خطين متوازيين. إذا غيرت نقطة بداية المحاور من غير تغيير الشكل، تتغير أرقام الإحداثيات وتبقى تلك الفروق والأبعاد. هذا يمنع تحويل موضع رأس على الصفحة إلى طول ضلع لمجرد أن بجانبه عددًا.

إجابة نهائية تربط القانون بالشكل المطلوب

لحل سؤال مساحة شبه المنحرف القائم، اكتب طولي القاعدتين والارتفاع العمودي بوحدة واحدة، ثم القانون والتعويض. وإذا كانت المساحة معطاة ومطلوبًا بعد، أعد ترتيب العلاقة، ثم راجع الطول الموجب ووصف القاعدتين ونوع الشكل. في بطاقة خمسة وثمانين يكفي أن تعيد إلى السطر أحد عشر وثلاثة وعشرين وخمسة، فترى أين جاء المتوسط وأين جاء الارتفاع وكيف اتفقا مع النتيجة.

ولمراجعة أوسع، حل بطاقات خمسة وتسعين وخمسين ومئة وعشرين بالترتيب، مع تثبيت الخمسة والثلاثة والعشرين كما أعلنا. ستجد جوابًا مقبولًا وخطأ طول سالب وخلافًا في وصف القاعدة الأطول. بعد ذلك حول البطاقة الأصلية إلى المليمترات، ثم قارن تكبير جميع الأطوال بتغيير الارتفاع وحده. هذه التمارين تعطي لكل شرط فرصة واضحة للفحص، وتحفظ معنى النتيجة والوحدة من أول الرسم إلى آخر السطر.