الأعداد الأولية: كيف تفحص العدد بالقسمة وغربال إراتوستينس؟

القاسم: ماذا يعني أن نقسم دون باقٍ؟

القاسم الموجب لعدد صحيح موجب هو عدد صحيح يقسمه دون باقٍ. ويمكن التعبير عن ذلك بوجود عدد صحيح موجب آخر يعيد العدد الأصلي عند ضربهما. وصف العدد بأنه مركب يتطلب قاسمًا غير الواحد وغير العدد نفسه. [1]

لنجرّب العدد عشرين. يمكن ترتيبه في أربعة صفوف، في كل صف خمس قطع، لأن أربعة مضروبة في خمسة تساوي عشرين. ويمكن ترتيبه في صفين، في كل صف عشر قطع. أما تقسيمه إلى ثلاث مجموعات متساوية من قطع كاملة فيترك قطعتين، لأن ثلاثًا مضروبة في ست تساوي ثماني عشرة فقط.

اكتب النتيجة بصيغة تبين الحاصل والباقي: عشرون تساوي ثلاثة مضروبة في ست، ثم نضيف اثنين. هذه الصيغة أوضح من شاشة تعرض عددًا عشريًا مقربًا دون أن تخبرك كيف تراجع القسمة. عندما تبحث عن قاسم، تريد باقيًا يساوي صفرًا؛ ولا يعد قرب الناتج العشري من عدد صحيح دليلًا كافيًا.

وفي العدد تسعة عشر، افحص ترتيبًا من صفين أو ثلاثة أو أربعة صفوف. تحصل على بقايا في كل حالة. سنبرهن لاحقًا أن هذه الفحوص تكفي هنا، لأن أربعة هي أكبر عدد صحيح لا يتجاوز جذره التربيعي. الرسم الرئيسي يعرض تسعة عشر في صف واحد، ويقارنها بترتيب غير تافه لعشرين، من دون افتراض أن الرسم وحده برهان عام لكل عدد.

لماذا لا يعد الصفر والواحد عددين أوليين؟

التعريف الحديث يستبعد الواحد لأنه ليس أكبر من واحد ولأنه يملك قاسمًا موجبًا مختلفًا واحدًا فقط. وإدخال الواحد في تحليل العوامل لا يضيف معلومات: يمكن تكراره دون تغيير حاصل الضرب. لهذا نفرّق بينه وبين العدد الأولي. [3]

لا تعدّ عبارتي «الواحد» و«العدد نفسه» قاسمين مختلفين عندما تفحص الواحد. في هذه الحالة تشير العبارتان إلى القيمة نفسها. قارن ذلك بالعدد اثنين: القيمتان واحد واثنان مختلفتان، ولذلك لا يقع الالتباس. كتابة القواسم في مجموعة بدل تكرار وصفها تمنعك من عدّ القيمة الواحدة مرتين.

أما الصفر فلا يحقق شرط العدد الأكبر من واحد. ومن جهة القسمة، كل عدد صحيح موجب يقسم الصفر، لأن ضربه في صفر يعيد صفرًا. ليس الصفر مثالًا على عدد له قاسمان موجبان فقط. ولا نحاول القسمة على الصفر نفسه؛ فهذه عملية مختلفة وغير معرّفة في الحساب المعتاد.

لذلك يبدأ تصنيف الأولي والمركب الذي نستخدمه هنا من اثنين. إذا أعطتك ورقة تدريب قائمة تشمل صفرًا وواحدًا، فاجعل لهما خانة مستقلة، ولا تضعهما تلقائيًا في خانة المركب لمجرد أنهما ليسا أوليين. عبارة «ليس أوليًا» أوسع من «مركب» عندما تكون القائمة خارج مجال الأعداد الصحيحة الأكبر من واحد.

اثنان استثناء؛ والفردية ليست اختبارًا كاملًا

العدد اثنان هو العدد الأولي الزوجي الوحيد. وكل عدد زوجي أكبر منه له القاسم اثنان، ولذلك يكون مركبًا. أما العدد الفردي فقد يكون أوليًا وقد يكون مركبًا؛ فالزوجية والفردية لا تعطيان اختبارًا مكتملًا وحدهما. [1]

انظر إلى العددين واحد وثلاثين وخمسة وثلاثين. كلاهما فردي، لكن خمسة وثلاثين تساوي خمسة مضروبة في سبعة، ولذلك يكفي هذا الضرب لإثبات أنه مركب. أما واحد وثلاثون فلا تقسمه الأعداد اثنان وثلاثة وخمسة دون باقٍ، وهي جميع الأعداد الأولية التي لا تتجاوز جذره التربيعي؛ فيثبت فحصها أنه أولي.

يمكنك صنع أمثلة كثيرة لأعداد فردية مركبة بدل حفظ استثناء واحد. اضرب ثلاثة في تسعة فتحصل على سبعة وعشرين، أو سبعة في سبعة فتحصل على تسعة وأربعين. في المثال الثاني يظهر العامل نفسه مرتين، لكن ذلك لا يجعل الناتج أوليًا. المطلوب في التعريف قاسمان مختلفان للعدد، لا أن يكون عاملاه في عملية ضرب واحدة مختلفين.

واستخدم الأزواج المتتابعة بحذر أيضًا. اثنان وثلاثة أوليان ومتتابعان كعددين صحيحين. بعدهما، أي زوج من عددين صحيحين متتابعين يتضمن عددًا زوجيًا أكبر من اثنين، فلا يكون الاثنان معًا أوليين. لكن هذا لا يمنع أن يفصل بين أوليين فرق مقداره اثنان، مثل أحد عشر وثلاثة عشر.

قواعد القسمة السريعة: مرشح أول لا حكم نهائي

يقبل العدد القسمة على اثنين إذا كان رقم آحاده زوجيًا، وعلى ثلاثة إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على ثلاثة، وعلى خمسة إذا انتهى بصفر أو خمسة. هذه قواعد للقسمة، وليست تعريفًا للأولية. انتبه إلى أن اثنين وثلاثة وخمسة أنفسها أولية. [1]

للتدريب، افحص مئة وثلاثة وأربعين. رقم الآحاد ثلاثة، فلا يمر باختبار القسمة على اثنين أو خمسة. ومجموع أرقامه ثمانية، فلا يمر باختبار ثلاثة أيضًا. مع ذلك، مئة وثلاثة وأربعون تساوي أحد عشر مضروبة في ثلاثة عشر. النتيجة مركبة، وتبين أن الفشل في هذه الاختبارات الثلاثة لا يكفي لإعلان الأولية.

وفي مئة وثمانين، يكفي رقم الآحاد صفرًا لتعرف وجود القاسم اثنين أو خمسة. لا يلزم إكمال كل اختبارات القسمة كي تثبت التركيب؛ قاسم واحد غير تافه يفي بالغرض. تستطيع كتابة مئة وثمانين تساوي اثنين مضروبة في تسعين، ثم تتوقف إذا كان المطلوب مجرد التصنيف، لا التحليل الكامل.

دوّن بجوار كل اختبار عبارة «نجح» أو «لم ينجح»، لكن حدّد المقصود بالنجاح. هنا نجاح اختبار القسمة يعني اكتشاف قاسم، وقد يؤدي إلى استبعاد العدد من قائمة الأوليين. هذا يختلف عن نجاح إثبات الأولية. استعمال الجملة الكاملة «وجدت قاسمًا غير تافه» يجعل الاستنتاج أوضح من كلمة عامة قد تعكس المعنى.

لماذا يكفي الفحص حتى الجذر التربيعي؟

القسمة التجريبية تحتاج إلى اختبار القواسم الأولية التي لا تتجاوز الجذر التربيعي للعدد. إذا كان عدد أكبر من واحد مركبًا، فله عامل غير تافه في هذا المجال. لذلك لا يكفي اختبار أعداد تختارها عشوائيًا أو استبعاد القواسم الأصغر من الجذر مع نسيان مساواته. [2]

يمكن فهم السبب من زوج عوامل. افترض أن عددًا يساوي حاصل ضرب عاملين موجبين، وكلا العاملين أكبر من جذره التربيعي. عند ضربهما يكون الناتج أكبر من العدد نفسه، وهذا يناقض أنهما عاملاه. إذن أحد العاملين على الأقل لا يتجاوز الجذر. وإذا كان هذا العامل مركبًا، فإن له قاسمًا أوليًا أصغر منه يدخل في مجال الفحص أيضًا.

في مئة وواحد، نعرف أن عشرة مربعة تساوي مئة، وأحد عشر مربعة تساوي مئة وواحدًا وعشرين. يقع الجذر بين عشرة وأحد عشر، ولذلك نحتاج إلى الأوليين اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة فقط. لا نحتاج إلى قسمة مئة وواحد على كل عدد حتى مئة، ولا إلى تجربة أحد عشر الذي يقع خارج الحد.

انتبه إلى المربع الكامل مئة وتسعة وستين. جذره ثلاثة عشر، ويجب اختبار ثلاثة عشر نفسه؛ إذ إن حاصل ضربه في نفسه يعيد العدد. إذا استخدمت شرطًا يستبعد المساواة فقد تفوتك هذه الحالة. وفي الأعداد الصحيحة تستطيع تحديد الحد بمقارنة مربع القاسم بالعدد، بدل الاعتماد على جذر عشري مقرب قد يضع الحد في جهة غير صحيحة.

مثال كامل: هل مئة وواحد عدد أولي؟

حددنا أن القواسم الأولية المطلوبة هي اثنان وثلاثة وخمسة وسبعة. لنكتب القسمة مع الباقي لكل واحد منها. مئة وواحد تساوي اثنين مضروبة في خمسين مع إضافة واحد. وتساوي ثلاثة مضروبة في ثلاثة وثلاثين مع إضافة اثنين. وتساوي خمسة مضروبة في عشرين مع إضافة واحد. وتساوي سبعة مضروبة في أربعة عشر مع إضافة ثلاثة.

البواقي الأربعة غير صفرية، إذن لا يوجد قاسم أولي في المجال المطلوب. وبما أن العدد أكبر من واحد، فقد اكتمل اختبار القسمة الذي يثبت أوليته. لاحظ أننا لم نجرب أحد عشر، ولم نتوقف بعد اختبار اثنين وحده. النتيجة تعتمد على اكتمال قائمة القواسم اللازمة، لا على عدد المحاولات التي تبدو كثيرة.

إذا استخدمت آلة حاسبة، راجع القسمة بالضرب. عندما تختبر السبعة، حاصل ضرب سبعة في أربعة عشر ثمانية وتسعون، والفارق عن مئة وواحد ثلاثة. هذه المراجعة تعطي باقيًا صحيحًا بوضوح. أما كتابة خارج قسمة مقرب إلى منزلة عشرية واحدة فقد تخفي تفاصيل تحتاج إليها في مسائل أعداد أكبر.

اكتب نهاية الحل في جملة تربط السبب بالنتيجة: العدد مئة وواحد أولي، لأن جميع القواسم الأولية التي لا تتجاوز جذره التربيعي أعطت باقيًا غير صفري. لا تكتب أنه أولي لأنه لا يقبل القسمة على أي عدد؛ فهو يقبل القسمة على واحد وعلى نفسه، وهذان القاسمان جزء من التعريف لا اعتراض عليه.

مثال مقابل: متى نتوقف لأن العدد مركب؟

لنفحص مئتين وواحدًا وعشرين. أربعة عشر مربعة تساوي مئة وستة وتسعين، وخمسة عشر مربعة تساوي مئتين وخمسة وعشرين؛ لذلك تقع قيمة الجذر بينهما. قائمة الأوليين اللازمة هي اثنان وثلاثة وخمسة وسبعة وأحد عشر وثلاثة عشر. لم نحتج إلى القيمة العشرية الدقيقة للجذر كي نختار القائمة.

القسمة على اثنين تترك واحدًا، وعلى ثلاثة تترك اثنين، وعلى خمسة تترك واحدًا. وللسبعة، حاصل ضرب سبعة في واحد وثلاثين مئتان وسبعة عشر، فيبقى أربعة. ولأحد عشر، حاصل ضربه في عشرين مئتان وعشرون، فيبقى واحد. لكن ثلاثة عشر مضروبة في سبعة عشر تساوي مئتين وواحدًا وعشرين تمامًا.

عند هذا الاختبار وجدنا قاسمًا غير تافه، فيثبت أن العدد مركب. يمكن التوقف عن اختبار الأولية فورًا. ولو كان المطلوب تحليل العدد كله إلى عوامل أولية، فهذا سؤال إضافي ينبغي إكماله؛ أما إثبات التركيب فلا يحتاج إلى العثور على كل القواسم. الفرق بين السؤالين يوفر عليك عملًا لا يطلبه التمرين.

قارن هذا المثال بمئة وواحد: هناك احتجنا إلى نفي القسمة على جميع القواسم المطلوبة، وهنا كفانا إثبات قسمة واحدة ناجحة. قد يقع القاسم في آخر القائمة أو أولها؛ موضعه لا يغير قوة الدليل. المهم أن يكون أكبر من واحد وأصغر من العدد، وأن تعيد عملية الضرب العدد الأصلي دون باقي.

غربال إراتوستينس: إنتاج قائمة بدل فحص عدد واحد

غربال إراتوستينس ينشئ قائمة أوليين بحذف مضاعفات الأعداد الأولية تباعًا. نبدأ من اثنين، ونحافظ على العدد الأولي نفسه ونشطب مضاعفاته الأكبر منه. وبعد اكتمال الشطب اللازم تبقى الأعداد الأولية في المجال المحدد. [4]

في الرسم الداخلي اخترنا المجال من واحد إلى ستين. وضعنا الواحد في خانة منفصلة لأنه ليس أوليًا ولا مركبًا. أبقينا اثنين، وشطبنا أربعة وستة وثمانية وسائر مضاعفاته حتى ستين. ثم أبقينا ثلاثة، وشطبنا مضاعفاته بدءًا من تسعة؛ فستة كان مشطوبًا في الخطوة السابقة ولا يحتاج إلى إعادة حسابه كعدد جديد.

بعد ذلك أبقينا خمسة وبدأنا الشطب الجديد عند خمسة وعشرين. ثم أبقينا سبعة وشطبنا تسعة وأربعين، وهو المضاعف الوحيد في هذا المجال الذي يحتاج إلى شطب جديد عند هذه المرحلة. عندما نصل إلى أحد عشر، يكون مربعه مئة وواحدًا وعشرين، أكبر من ستين؛ لذلك لا توجد خطوة شطب إضافية لازمة لإنهاء هذا النموذج.

القائمة الباقية تضم سبعة عشر عددًا أوليًا. ليست الأعداد الخضراء مختارة لأننا أحببنا شكلها أو مكانها في الجدول؛ إنها نتيجة خطوات الحذف المحددة. وعرضنا دائرة للأولي وعلامة شطب للمركب حتى لا يعتمد فهم الصورة على اللون وحده. يمكنك إعادة تنفيذ الخطوات بقلم على نسخة مطبوعة ومقارنة النتيجة بالرسم.

لماذا يبدأ الشطب من مربع العدد الأولي؟

افحص خطوة السبعة في الجدول. مضاعفاته قبل تسعة وأربعين هي أربعة عشر وواحد وعشرون وثمانية وعشرون وخمسة وثلاثون واثنان وأربعون. لكل واحد منها عامل أصغر من سبعة، ولذلك كان قد شطب في خطوة سابقة: أربعة عشر من مضاعفات اثنين، وواحد وعشرون من مضاعفات ثلاثة، وخمسة وثلاثون من مضاعفات خمسة.

هذا يفسر لماذا يبدأ الشطب الجديد عند مربع العامل الأولي. إنه لا يعني أن المضاعفات السابقة أولية أو أننا تجاهلناها؛ يعني أنها عولجت بالفعل. إذا بدأت من ضعف العدد الأولي فستصل إلى القائمة الصحيحة أيضًا، لكنك تكرر بعض العمل. افصل بين صحة النتيجة وعدد مرات المرور على الخانة نفسها.

وفي حد التوقف، يكفي أن يكون مربع الأولي التالي أكبر من نهاية المجال. لا تحذف الأولي التالي لمجرد أنه بعد حد الجذر؛ إننا نوقف شطب مضاعفاته الجديدة، لا نعلن أن كل عدد بعد الحد مركب. في نموذج الستين، أحد عشر وثلاثة عشر وسبعة عشر وغيرها تبقى ضمن قائمة الأوليين رغم أنها أكبر من الجذر.

من المفيد الاحتفاظ بسجل صغير لما شطب لأول مرة. يحتوي نموذجنا على تسع وعشرين خانة جديدة عند اثنين، وتسع عند ثلاثة، وثلاث عند خمسة، وواحدة عند سبعة. مجموعها اثنتان وأربعون خانة مركبة. ومع سبعة عشر أوليًا وخانة واحدة للواحد، نحصل على ستين خانة، فيتفق العد مع حجم الجدول.

التعميمات السريعة: ابحث عن مثال مضاد

لا تعمم من بضع قيم أعجبتك. العددان خمسة وسبعة يحيطان بستة، لكن خمسة وعشرين يساوي أربعة أمثال ستة مع زيادة واحد، وهو مركب لأنه خمسة مضروبة في خمسة. وخمسة وثلاثون يساوي ستة أمثال ستة مع نقصان واحد، وهو أيضًا مركب. مجرد الوجود قرب مضاعف لستة لا يثبت الأولية.

ويمكن اختبار ادعاء آخر يقول إن كل عدد صحيح أكبر من ثلاثة مجموع عددين أوليين. اختر أحد عشر. مجموع أوليين فرديين زوجي؛ لذا لكي نحصل على أحد عشر يجب أن يكون أحدهما اثنين، ويكون الآخر تسعة. لكن تسعة ليس أوليًا لأنه ثلاثة مضروبة في ثلاثة. هكذا يكفي هذا المثال لرفض التعميم بصيغته الواسعة.

المثال المضاد لا يخبرك تلقائيًا ما العبارة البديلة الصحيحة. قد يحتاج السؤال المعدل إلى برهان آخر أو يظل مفتوحًا، لذلك لا تحول تصحيح خطأ إلى وعد بقاعدة أوسع لم تفحصها. في هذه المقالة نستخدم تعريفًا محددًا واختبار قسمة كاملًا، ونميز بينهما وبين ملاحظة نمط في قائمة قصيرة.

كذلك لا تستنتج أن الفرق بين أوليين متجاورين في القائمة يزيد دائمًا. في جزء مستقل من القائمة، الفرق من تسعة وعشرين إلى واحد وثلاثين اثنان، ثم إلى سبعة وثلاثين ستة، ثم إلى واحد وأربعين أربعة. هذه القيم الصغيرة تبين أن الفرق قد ينقص بعد زيادته. راجع الادعاء نفسه بدل الاكتفاء بأن الاتجاه العام يبدو مقنعًا.

هل يوجد آخر عدد أولي؟ فكرة برهان قصيرة

الأعداد الأولية غير منتهية. في فكرة البرهان المعتادة، نفترض قائمة منتهية تشملها كلها، ونضرب عناصرها ثم نضيف واحدًا. العدد الجديد أو أحد قواسمه الأولية لا يمكن أن يكون ضمن القائمة المفترضة. [6]

لتقريب الفكرة، ابدأ بالقائمة اثنين وثلاثة وخمسة. حاصل ضربها ثلاثون، ومع إضافة واحد نحصل على واحد وثلاثين. قسمة هذا العدد على كل عنصر في القائمة تترك واحدًا، ولذلك لا ينتمي أي منها إلى قواسمه. في هذه الحالة العدد الجديد نفسه أولي، لكن هذه ليست نتيجة مضمونة في كل تطبيق للفكرة.

خذ الآن القائمة اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة وأحد عشر وثلاثة عشر. حاصل الضرب ثلاثون ألفًا وثلاثون، ومع إضافة واحد يصبح ثلاثين ألفًا وواحدًا وثلاثين. هذا العدد مركب: تسعة وخمسون مضروبة في خمسمئة وتسعة تساويه. ومع ذلك لا يوجد أي من القاسمين في القائمة الأصلية، وهو ما تحتاج إليه فكرة البرهان.

سبب خروج القاسم الأولي من القائمة هو الباقي واحد عند القسمة على كل عنصر فيها، لا كبر العدد وحده. إذا كان الناتج مركبًا، يمكن متابعة تقسيمه حتى نصل إلى قاسم أولي؛ وهذا القاسم يستحيل أن يكون أحد عناصر القائمة المفترضة. إذن افتراض أن القائمة تضم جميع الأوليين يقود إلى وجود أولي خارجها. [5]

ورشة مراجعة: صنف واذكر دليلًا مناسبًا

اكتب قائمة التدريب التالية على ورقة: صفر، وواحد، واثنان، وواحد وثلاثون، وتسعة وأربعون، وواحد وتسعون، ومئة وواحد، ومئة وثلاثة وأربعون، ومئة وتسعة وستون، ومئتان وواحد وعشرون. أنشئ ثلاثة أعمدة: العدد، والتصنيف، والدليل. حاول ملء الدليل قبل الرجوع إلى إجابات هذا القسم؛ فالهدف معرفة سبب التصنيف، لا حفظ ترتيب الأسماء.

الصفر والواحد يقعان خارج فئتي الأولي والمركب في التصنيف المستخدم. اثنان أولي لأن قاسميه الموجبين المختلفين هما واحد واثنان. واحد وثلاثون أولي بعد اختبار اثنين وثلاثة وخمسة. تسعة وأربعون مركب لأن سبعة مضروبة في سبعة تساويه. واحد وتسعون مركب لأن سبعة مضروبة في ثلاثة عشر تساويه. اكتب عملية الضرب بجوار كل مركب، فهي دليل يمكن التحقق منه مباشرة.

مئة وواحد أولي كما أثبتنا بفحص القواسم الأربعة المطلوبة. ومئة وثلاثة وأربعون مركب لأن أحد عشر مضروبة في ثلاثة عشر تساويه. ومئة وتسعة وستون مركب لأن ثلاثة عشر مربعة تساويه. ومئتان وواحد وعشرون مركب لأن ثلاثة عشر مضروبة في سبعة عشر تساويه. لا تستخدم العبارة نفسها «لم أجد قاسمًا» للنتائج كلها؛ فلبعضها قاسم وجدناه بوضوح.

ولمراجعة الفحص الأخير للأولي، جرّب مئة وسبعة وخمسين. يقع جذره بين اثني عشر وثلاثة عشر، لذا نفحص اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة وأحد عشر. البواقي على الترتيب واحد وواحد واثنان وثلاثة وثلاثة، ولا يوجد باقي صفري. هذا مثال إضافي مستقل تستطيع التأكد منه بإعادة الضرب ثم إضافة الباقي في كل سطر.

عند نقل النتيجة من الآلة الحاسبة، انتبه إلى كتابة العدد المدخل. تغيير رقم واحد قد يبدل التصنيف بالكامل. اقرأ المدخل مرة ثانية، واكتب حد الجذر والقواسم المختبرة، ثم سجّل النتيجة. إذا توقفت عند قاسم ناجح، فاحتفظ بعملية الضرب التي تعيد العدد؛ وإذا أكملت فحص الأولية، فاحتفظ بالقائمة الكاملة التي تثبت أنك لم تنس قاسمًا لازمًا.

يمكن متابعة سؤال مختلف هو تحليل العدد إلى عوامله الأولية. هنا تعلمنا كيف نثبت الأولية أو التركيب، أما التحليل فيطلب تفكيك العدد المركب إلى جميع عوامله الأولية مع تكرارها. اختر السؤال الذي تريد الإجابة عنه قبل أن تبدأ، وستعرف متى تتوقف ومتى ينبغي إكمال العمل.