المتطابقة المثلثية: تبسيط العبارة مع الحفاظ على مجالها

اقرأ المساواة مع مجالها

حين نكتب مساواة في ورقة تمرين، نحدد هل نريد علاقة صحيحة لكل القيم المسموحة أم سؤالًا عن قيم تجعلها صحيحة. في العبارة sin²θ+cos²θ=1 لا نبحث عن زاوية واحدة مختارة كي تنجح؛ سنستعملها لإعادة كتابة جزء من حسابنا. أما شرط مثل sinθ=0 فينتقي زوايا بعينها. هذا الاختلاف في السؤال يغير طريقة عرض الجواب، حتى إذا تشابه شكل علامة المساواة.

والمجال الذي نتحدث عنه يتأثر بالعبارة المكتوبة فعلًا. الجيب وحده يقبل الزاوية الصفرية، لكن وجود الجيب في مقام عبارتنا الجديدة يستبعدها. لهذا لا يكفي أن تقول إن النسب المثلثية معروفة ثم تبدأ الاختصار. ضع إلى جانب الكسر شرط المقام، وارجع إليه عندما تصل إلى صيغة لا يظهر فيها الكسر. قد تختفي كتابة المقام من السطر الأخير، ويبقى شرطه جزءًا من السؤال الأصلي.

يمكنك التعامل مع كل صيغة على أنها زوج من معلومتين: طريقة حساب القيمة، والمدخلات التي سمحنا بها. إذا تغيرت طريقة الكتابة مع بقاء المجال والقيم، فقد وصفنا العبارة نفسها بطريقة أخرى. وإذا وسعت المدخلات من غير تصريح، فأنت تقدم دالة أخرى أو تمديدًا لها، حتى لو اتفق الجوابان على المدخلات القديمة. سنرى هذا الفرق في زاوية يسهل تعويضها، من غير حاجة إلى جدول أعداد طويل.

ما الذي تعنيه مربعات النسب؟

من المتطابقات الأساسية sin²θ+cos²θ=1. وتعني sin²θ مربع قيمة الجيب، لا جيب مربع الزاوية. [1]

في بطاقتنا العددية، sinθ=20/29، لذلك مربعه 400/841. ويترك مجموع المربعين لجيب التمام 1−400/841=441/841. البسطان أربعمئة وأربعمئة وواحد وأربعون يجمعان إلى ثمانمئة وواحد وأربعين، وهو المقام نفسه. هذه مراجعة دقيقة للنسب التي اخترناها، ولا تحتاج تقريبًا عشريًا في هذه المرحلة. الكسر المربع لا يخبرنا وحده هل القيمة قبل التربيع موجبة أم سالبة.

ولا تحول sin²θ إلى sin(θ²)؛ الأول يبدأ بحساب الجيب ثم يربع الناتج، والثاني يغير الزاوية قبل حساب الجيب. حتى لو ظهر رقم متفق عند مدخل خاص، فالعمليتان مختلفتان من حيث ما تنفذانه. في الحل المكتوب يمكنك وضع الأقواس (sinθ)² عندما تريد توضيح المطلوب، ثم العودة إلى الاختصار المعتاد. هذه الأقواس تساعد القارئ على مراجعة التعويض وعلى تحديد المكان الصحيح للحد الأوسط لاحقًا.

تبسيط العبارة المختارة خطوة خطوة

يمكن إثبات مساواة مثلثية بتحويل أحد الطرفين إلى الآخر، باستعمال المتطابقات والقواعد الجبرية المسموحة ضمن المجال المحدد. [1]

نبدأ من G(θ)=(1−cos²θ)/sinθ، ونصرح بأن الجيب غير صفر. نستبدل البسط بمربع الجيب، فتصير العبارة sin²θ/sinθ. نكتب المربع حاصل ضرب قيمتين للجيب، ثم نختصر إحداهما مع المقام المعلوم أنه غير صفري. وصلنا إلى G(θ)=sinθ على المجال الأصلي. لكل خطوة سببها: متطابقة في البسط، ثم تفكيك حاصل ضرب، ثم قسمة مسموحة تحت الشرط الذي بدأنا به.

وفي حالة الربع الثاني المؤلفة، نحسب من الأصل (1−441/841)/(20/29). البسط 400/841، والقسمة تعطي (400/841)×(29/20)=20/29. عادت النتيجة إلى الجيب، كما قال السطر المبسط. هذا تعويض لمراجعة مثال محدد، وليس هو وحده ما أثبت العلاقة العامة. السبب العام جاء من الخطوات الجبرية التي بينت متى يجوز الاستبدال والاختصار لكل زاوية مسموحة.

إذا أراد الطالب البدء من الصيغة القصيرة وبناء الكسر، فقد يستطيع ذلك أيضًا، لكنه يحتاج إدخال الشرط عند القسمة. لا توجد قدسية لاتجاه العمل؛ المهم ألا تدخل عملية غير معرفة ثم تتعامل معها كأنها حافظت على القيمة. البدء من الطرف الذي يحمل كسرًا في مثالنا جعل شرطه ظاهرًا منذ البداية، وأتاح أن نكتب عند كل سطر ما الذي بقي ثابتًا: الزاوية المسموحة وقيمة العبارة المقصودة.

الزاوية المستبعدة لا تعود بعد الاختصار

الجيب يساوي صفرًا عند θ=kπ، ومنه نستبعد هذه الزوايا من مجال G. خذ الصفر مثالًا مباشرًا: البسط في الأصل صفر، والمقام صفر، فيظهر 0/0، وهو لا يحدد قيمة للكسر. أما الصيغة الأخيرة sinθ فتساوي صفرًا عنده. إذا منحت هذا الصفر للدالة G من غير تعديل تعريفها، فإنك أضفت مدخلًا كان السؤال الأصلي قد استبعده. [2]

وفي المقابل، نصف ط زاوية مسموحة لعبارتنا: الجيب واحد وجيب التمام صفر، فيكون الكسر (1−0)/1=1. وعند ثلاثة أنصاف ط يكون الجيب سالب واحد وجيب التمام صفرًا، فنحصل على سالب واحد. هذان التعويضان يبينان أن وجود جيب تمام صفري ليس مشكلة في هذه العبارة، لأنه في البسط لا في المقام. اسم النسبة وحده لا يحدد الاستثناء؛ موقعها في الصيغة يحدده.

يمكن تأليف دالة جديدة نجعلها الجيب على جميع الأعداد الحقيقية، فتتفق مع G في مدخلاتها القديمة وتضيف قيمًا عند المستبعدات. لكن علينا أن نسمي ذلك تعريفًا جديدًا أو تمديدًا صريحًا، وأن نميز الدالتين في الورقة. لا يفرض التبسيط الجبري وحده هذا التمديد. لذلك نحتفظ في الرسم الرئيسي بشريط الشرط تحت خطوات التحويل، بدل عرضه في أول بطاقة ثم إسقاطه من البطاقة الأخيرة.

الجيب نفسه قد يترك إشارتين لجيب التمام

للعدد الحقيقي u يكون الجذر التربيعي الرئيسي لمربعه √(u²)=|u|؛ فلا يعيد قيمة سالبة لمجرد أن العدد قبل التربيع كان سالبًا. [3]

على دائرة الوحدة يمثل جيب التمام الإحداثي الأفقي، والجيب الإحداثي الرأسي. في الربع الثاني يكون الأول سالبًا والثاني موجبًا. [2]

نبدأ بمعطى الجيب عشرين على تسعة وعشرين فقط. أعطانا مجموع المربعين cos²θ=441/841، ولذلك يمكن أن يكون جيب التمام موجب واحد وعشرين على تسعة وعشرين أو سالب ذلك. إذا أضفنا أن الزاوية في الربع الثاني، نأخذ السالب. ولو اخترنا الربع الأول بدلًا منه، نأخذ الموجب مع بقاء قيمة الجيب المعطاة. لم يتغير مربع جيب التمام بين الفرعين، لكن قيمته الموقعة تغيرت.

في فرع الربع الثاني تصبح نقطة دائرة الوحدة (−21/29,20/29)، وفي فرع الأول (+21/29,20/29). نراجع وجود النقطتين على الدائرة بجمع مربعي الإحداثيين؛ النتيجة واحد في الحالتين. هذه إحداثيات اخترناها للحساب، وليست نقطتين قسناهما في رسم مرجعي. ظهرت فائدتهما لأن التربيع يحفظ المقدار نفسه عند تغيير الإشارة، بينما وصف الربع يعيد لنا المعلومة التي لا يحددها المربع وحده.

لذلك اكتب في الإجابة عن جيب التمام الشرط الذي اختار الفرع، لا الجذر الموجب تلقائيًا. وإذا لم يقدم السؤال ربعًا أو معلومة أخرى تعين الإشارة، فابقِ الاحتمالين اللذين تسمح بهما المعطيات. لا تجعل رغبتك في نتيجة واحدة معلومة جديدة تدخلها في الحل. أما مقدار الجذر التربيعي للمربع، فهو الواحد والعشرون على التاسعة والعشرين في هذه الحالة؛ استعادة القيمة الموقعة سؤال إضافي.

الظل والقاطع يحتاجان المقام نفسه

الظل tanθ=sinθ/cosθ، والقاطع secθ=1/cosθ؛ يحتاجان إلى جيب تمام غير صفري. وبالقسمة المشروطة نحصل على 1+tan²θ=sec²θ. [1]

نطبق التعريفين على فرع الربع الثاني: الظل (20/29)/(−21/29)=−20/21، والقاطع 1/(−21/29)=−29/21. كلاهما سالب في الحالة المؤلفة، لكن مربعيهما موجبان. نتحقق من العلاقة باختيار المقام أربعمئة وواحد وأربعين: 1+400/441=841/441، وهو مربع القاطع. القسمة مسموحة هنا لأن جيب التمام سالب كسر غير صفري، لا لأنه كان موجبًا أو سالبًا في حد ذاته.

وإذا أردنا فهم كيف ظهرت العلاقة، نقسم مجموع مربعَي الجيب وجيب التمام على مربع جيب التمام، بشرط ألا يساوي صفرًا. نحصل على مربع الظل زائد واحد، وعلى الطرف الآخر مقلوب مربع جيب التمام. لا نقسم عند نصف ط ثم نسمي النتيجة علاقة بقيم لا نهائية؛ التعريفان اللذان نستخدمهما لا يعطيان قيمة للظل أو القاطع عندما يكون هذا المقام صفرًا. الشرط جزء من الصيغة التي نطبقها.

وفي فرع الربع الأول، يصبح الظل موجب عشرين على واحد وعشرين والقاطع موجب تسعة وعشرين على واحد وعشرين. تبقى معادلة المربعين صحيحة بالقيم نفسها، لكنها لا تميز هذين الفرعين الموقّعين. هذا مثال آخر على أن مساواة المقادير المربعة لا تعيد كل معلومات العلامة. نستعمل مربع النسبة للسؤال الذي يخصه، ثم نعود إلى وصف الربع إذا كان المطلوب قيمة النسبة قبل التربيع.

اختصار مقام داخل مقام يحتاج مراجعة المجال

نؤلف العبارة T(θ)=tan²θ/sec²θ. بدايةً، يحتاج كل من الظل والقاطع جيب تمام غير صفري؛ والقاطع في هذا المجال لا يساوي صفرًا، لأن تعريفه مقلوب قيمة غير صفرية. نعيد الكتابة (sin²θ/cos²θ)/(1/cos²θ)، ثم نضرب في المقلوب المسموح، فنصل إلى مربع الجيب. لذلك T(θ)=sin²θ على المجال الأصلي الذي سبق أن حددناه للعبارة المركبة.

وفي حالتنا المؤلفة نتحقق من (400/441)/(841/441)=400/841، وهو مربع عشرين على تسعة وعشرين. عند نصف ط، تكون الصيغة الأخيرة مربع الجيب مساوية لواحد، لكن الظل والقاطع في الأصل غير معرفين. لا يجوز كتابة نسبة بين قيمتين غير معرفتين ثم الاستناد إلى شكل الكسر كي تحصل على الواحد. المعطيات العددية الناجحة في زاوية مسموحة لا تمنح الزوايا المستبعدة تعريفًا جديدًا.

هذه المراجعة تختلف قليلًا عن الكسر G: هناك ظهر الجيب في المقام مباشرة، أما هنا نشأت الشروط من تعريف دالتين ومن قسمة إحداهما على الأخرى. اكتب الصيغ الوسيطة إذا احتجت كشف هذه الشروط. قد تبدو النتيجة القصيرة آمنة لكل زاوية، لكن الطريق الذي أعاد كتابتها بدأ بعبارة أضيق مجالًا. تحديد مجال البداية يوفر عليك تخمين الاستثناءات من نهاية لا تحمل المقامات القديمة.

مربع مجموع النسب يحمل حدًا أوسط

نؤلف U(θ)=(sinθ+cosθ)². بتوسيع حاصل الضرب نحصل على مربع الجيب ومربع جيب التمام ومرتين حاصل ضربهما. نستبدل مجموع المربعين بواحد فنجد U(θ)=1+2sinθcosθ. لا يختفي الحد الأوسط لمجرد وجود متطابقة مجموع المربعين؛ فهو جزء من مربع المجموع الذي اخترناه. هذه خطوة جبرية تكشف أي حدود جمعت وأي حدود ما زالت في العبارة.

في فرعنا ذي جيب التمام السالب، مجموع القيم 20/29−21/29=−1/29، ومربعه 1/841. ومن الصيغة الأخرى، حاصل ضرب الجيب وجيب التمام −420/841، فيعطي 1−840/841=1/841 أيضًا. لو أسقطت الحد الأوسط، لبقي الواحد وحده، وهو أكبر من الناتج الصحيح في هذا التعويض. تستطيع اكتشاف الخطأ سريعًا بالقيمة الدقيقة التي قدمناها، ثم إصلاح سببه الجبري.

وفي فرع الربع الأول يصير مجموع القيم واحدًا وأربعين على تسعة وعشرين، ومربعه 1681/841. هذا لا يناقض كون كل من الجيب وجيب التمام بين سالب واحد وموجب واحد؛ العبارة التي حسبناها هي مربع مجموعهما، لا نسبة جيب واحدة. [2]

نجاح التعويضات لا يصنع برهانًا عامًا

نختبر الدعوى sinθ+cosθ=1 عند الصفر، فنحصل على 0+1=1. ونختبرها عند نصف ط، فنجد 1+0=1. قد يغري النجاح في هاتين الزاويتين بإعلانها متطابقة. لكن حالة الربع الثاني التي ألفناها تعطي سالب واحد على تسعة وعشرين في الطرف الأيسر، بينما الطرف الأيمن واحد. هذه الحالة الواحدة المسموحة تكفي لرفض صحة الدعوى لكل الزوايا.

وعند إثبات عبارة صحيحة، لا نحتاج قائمة لا تنتهي من التعويضات؛ نحتاج خطوات تبرر العلاقة على المجال المقصود. التعويضات مفيدة في كشف بعض الأخطاء، وفي مراجعة تطبيق لقيمة معينة، لكنها لا تستبدل الحجة العامة. كذلك لا يصح أن تستعمل رسمًا محدود الدقة أو نطاقًا صغيرًا من نقاطه لإثبات أن كل القيم المسموحة تتطابق. اعرض الفحص بما فعلته فعلًا: قيمًا محددة، أو خطوة جبرية عامة بشروطها.

في مراجعة ذاتية، اكتب سبب النجاح بجانب كل سطر: هنا حسبت مثالًا، وهنا استعملت متطابقة معلومة، وهنا أجريت قسمة مشروطة. هذا التمييز يمنع أن تتعامل مع ثلاث نتائج متفقة في الدفتر على أنها النوع نفسه من الدليل. الرسمان هنا يوضحان التحويل واختيار الإشارة؛ لا ندعي أنهما وحدهما برهان مبني على جميع نقاط المجال أو أنهما تسجيل تجربة عددية شاملة.

حين تتحول المسألة إلى البحث عن حلول

نؤلف المعادلة sin²θ+cos²θ+sinθ=1. نستبدل مجموع المربعين بواحد، ثم نطرح الواحد من الطرفين، فنجد sinθ=0. في الزوايا الحقيقية المكتوبة بالراديان تكون الحلول θ=kπ. هنا القيم التي استبعدناها من كسر G هي نفسها حلول معادلة أخرى لا تحتوي ذلك المقام. لا تناقض في هذا؛ المجال والشرط جاءا من صيغتين مختلفتين.

وعند نصف ط لا تنجح هذه المعادلة، لأن مجموع المربعين واحد والجيب واحد، فيصبح الطرف الأيسر اثنين. هذه زاوية مسموحة لتعويض المعادلة لكنها لا تحققها. فرِّق بينها وبين زاوية لا تكون العبارة معرفة عندها أصلًا. في الحالة الأولى تحسب وتجد عدم مساواة، وفي الثانية تتوقف عند شرط التعريف. كلاهما لا يصلح جوابًا يحقق السؤال، لكن سبب الاستبعاد مختلف ويظهر في كتابة الحل.

ولا نحتاج هنا استعمال علاقة مجموع المربعين كأنها معادلة جديدة نحلها وحدها. لقد استعملناها داخل سؤال آخر لتبسيط ما نريد اختباره. قد تظهر المتطابقة خطوةً في حل معادلة، من غير أن يصبح كل السؤال متطابقة. اكتب في النهاية قيم الحلول إذا كان هذا ما طلب، أو اكتب التحويل وشروطه إذا كان المطلوب تبسيط العبارة. اسم المهمة يحدد شكل النتيجة المفيدة للقارئ.

تمرين موازٍ يغير الاستثناءات

نجعل H(θ)=(1−sin²θ)/cosθ، مع جيب تمام غير صفري. يتحول البسط إلى مربع جيب التمام، فنختصر على المجال المسموح ونجد H(θ)=cosθ. الاستثناءات هنا θ=π/2+kπ، بدل مضاعفات ط التي استبعدناها في G. تشابه الخطوات لا يجعل المجالين متساويين، لأن المقام في بداية التمرينين مختلف. هذه أول خانة ينبغي أن تقارنها قبل نقل جواب التمرين السابق. [2]

في حالة الربع الثاني المختارة، نحسب (1−400/841)/(−21/29)، فيعطي البسط 441/841 ثم الناتج −21/29. وعند الصفر يكون H معرفًا ويساوي واحدًا، بينما G غير معرف. وعند نصف ط يحدث العكس من جهة التعريف: G معرف ويساوي واحدًا، وH غير معرف. هاتان الزاويتان تقدمان مراجعة قصيرة ومباشرة للفروق التي كتبناها في الشرط.

يمكنك أن تنشئ جدولًا صغيرًا للتعريف والنتيجة في هاتين الزاويتين، مع إبقاء العبارة الأصلية أعلى كل عمود. إذا استعملت الصيغتين القصيرتين وحدهما، فقد تملأ قيمًا في خانات لم يسمح بها أصل الكسر. لهذا يعرض جدول المراجعة كلمة «غير معرف» عندما يلزم، بدل صفر أو فراغ غامض. معرفة أين يمكنك بدء الحساب جزء من جودة الحل، وليست تفصيلًا يأتي بعد الناتج العددي.

مسار مراجعة يحفظ القيمة والشرط

ابدأ بتحديد الزوايا المسموحة من جميع المقامات وتعريفات النسب الظاهرة. ثم اختر العلاقة التي تعيد كتابة الجزء المطلوب، ونفذ التحليل أو التوسيع مع إبقاء الشرط. راجع حسابًا مؤلفًا معلوم القيم، واختبر زاوية مستبعدة كي ترى لماذا لم تدخل في الأصل. وعند استخراج قيمة من مربع، أضف المعلومة التي تختار الإشارة أو صرح بالاحتمالين. هذه خطوات يمكن تنفيذها على G وH وT، لا قائمة متطابقات تحفظها من غير استعمال.

في ورقة إجابتك عن مفهوم المتطابقات المثلثية، قدم مثالًا على مساواة صحيحة مع مجالها، ثم فرّقها من معادلة ذات حلول معينة. مثالنا العددي والعلاقات المبسطة يتيحان إعادة فحص القيم مباشرة، بينما الألفاظ التي تخص المقام والربع تشرح صلاحية كل خطوة. النتيجة الأقصر مفيدة عندما تحمل هذه المعلومات معها. وإذا لم يقدم السؤال معلومة كافية لإشارة أو مدخل، فلا تملأها بتخمين يجعل الحساب يبدو مكتملًا.