مساحة أو محيط إضافي: كيف تختار أحد مثلثي قانون الجيب؟

ضع كل ضلع مقابل زاويته

يربط قانون الجيب كل ضلع بجيب الزاوية المقابلة له. في حالة ضلعين وزاوية غير محصورة قد ينتج مثلثان، وتحتاج الزاوية المستخرجة ومكملتها إلى فحص مجموع زوايا المثلث. [1]

نسمي الزاوية المعطاة أ، والضلع المقابل لها تسعة سنتيمترات، والضلع المقابل لزاوية ب أربعة عشر. القاعدة المجهولة تقابل الزاوية ج. نفترض مثلثات مستوية غير منهارة، ونعامل الأرقام الأصلية معطيات دقيقة في نموذجنا. لا نعد تحريك المثلث أو تدويره أو صورته المرآتية شكلًا إضافيًا؛ نبحث الفرعين اللذين يختلفان في طول القاعدة، ونرسمهما في وضع مشترك لتسهيل المقارنة.

بقانون الجيب يكون جيب ب أربعة عشر في جيب الثلاثين على تسعة، أي سبعة على تسعة. الزاوية الحادة ب تقارب واحدًا وخمسين درجة، ومكملتها المنفرجة تقارب مئة وتسعًا وعشرين. كل منهما يترك زاوية ج موجبة بعد طرح ب والثلاثين من مئة وثمانين، فتصلح الحالتان في المثال. نكتب القيم الأدق في سطر الحساب ولا نختار زاوية الحاسبة الأولى ونحذف الأخرى قبل فحصها.

A=30°; a=9 cm; b=14 cm; sin B=7/9; B₁≈51.057559°, B₂≈128.942441°

استخرج القاعدتين قبل إضافة شرط جديد

في الفرع ذي زاوية ب الحادة تكون زاوية ج نحو تسع وتسعين درجة، وفي ذي ب المنفرجة تكون ج نحو إحدى وعشرين. يعطي قانون الجيب للقاعدة في كل فرع طولًا مختلفًا. ويمكن مراجعة الطولين هندسيًا بوضع الرأس أ عند الأصل، والرأس ج عند إحداثيين سبعة جذر ثلاثة أفقيًا وسبعة رأسيًا؛ الضلع بينهما طوله أربعة عشر ويصنع زاوية ثلاثين مع شعاع القاعدة.

الرأس ب يقع على الشعاع الأفقي الموجب، ويبعد تسعة عن الرأس ج. لذلك يكون مربع الفرق الأفقي عن سبعة جذر ثلاثة زائد مربع الارتفاع سبعة مساويًا لمربع التسعة. الفرق الأفقي مربعُه اثنان وثلاثون، فيكون موجب أربعة جذر اثنين أو سالبها. نحصل للقاعدة على سبعة جذر ثلاثة زائد أربعة جذر اثنين، أو سبعة جذر ثلاثة ناقص أربعة جذر اثنين؛ كلا الطولين موجب، فهما مرشحان صالحان قبل الشرط الإضافي.

تساوي المعطيات الأصلية لا يعني تساوي القاعدة في الحلين. نحتفظ بالرمزين قاعدة أطول وقاعدة أقصر مع كل مجموعة زواياها، ولا نأخذ زاوية من الفرع الأول وطولًا من الثاني. هذا التنظيم ضروري حين تبدأ المقارنة بالمساحة أو المحيط؛ إذا خلطنا جدولَي الحلين، فقد صنعنا قيمًا لا تخص مثلثًا واحدًا، ثم نسبنا التعارض خطأ إلى قانون الجيب أو إلى المعطى الجديد.

c₊=7√3+4√2≈17.781210 cm; c₋=7√3−4√2≈6.467501 cm

المساحتان تختلفان رغم الارتفاع المشترك

مساحة المثلث نصف حاصل ضرب قاعدة في ارتفاعها، وتساوي أيضًا نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. قد يقع قدم الارتفاع على امتداد القاعدة خارج المثلث دون أن تتغير صيغة المساحة. [1]

في رسمنا الارتفاع من ج إلى خط القاعدة سبعة سنتيمترات في الحالتين. لذلك مساحة كل فرع نصف السبعة في طول قاعدته؛ القاعدة الأطول تعطي المساحة الأكبر. القيمتان الدقيقتان تسع وأربعون جذر ثلاثة زائد ثمانية وعشرون جذر اثنين، مقسومتان على اثنين، أو الفرق بين المقدارين مقسومًا على اثنين. تكتب المساحة بالسنتيمتر المربع، ولا نضعها في خانة طول أو نساوي رقميها برقمي القاعدتين مباشرة.

في المثلث ذي القاعدة القصيرة يقع قدم الارتفاع على امتداد القاعدة بعد الرأس ب، لأن إحداثي ج الأفقي أكبر من طول هذه القاعدة. لا نحذف المثلث أو نفرض ارتفاعًا داخليًا جديدًا كي توافق الصورة توقعنا. العلاقة التي استعملناها تخص الارتفاع العمودي إلى خط القاعدة. يبين الرسم هذا الخط وامتداده، ويجعل المقارنة العددية مفهومة حتى عندما يتغير موضع القدم بالنسبة إلى القطعة المحددة بين رأسي القاعدة.

K₊=7c₊/2≈62.234235 cm²; K₋=7c₋/2≈22.636255 cm²

المساحة الدقيقة تستطيع اختيار الفرع

نفترض أن المعطى الجديد هو المساحة الدقيقة الأصغر، المعبر عنها بالفرق الجذري الذي حسبناه. نعوضها في القاعدة تساوي ضعفي المساحة على السبعة، فتعود القاعدة الأقصر نفسها. لا تحتاج هذه الخطوة إلى تخمين زاوية ب من رسم؛ المساحة ربطت ارتفاعًا ثابتًا بالقاعدة المجهولة، فأضافت شرطًا يميز طولين مختلفين في الحلين الأصليين.

بعد الاختيار نراجع بقية الفرع: الضلعان المعطيان باقيان تسعة وأربعة عشر، والزاوية أ ثلاثون، وتكون زاوية ب منفرجة وزاوية ج حادة. لا نكتفي بأن المساحة صغيرة فنقرر أن كل الزوايا حادة؛ توزيع الزوايا تحدده الأطوال والقانون في ذلك الفرع. كما أن إعطاء المساحة الدقيقة الكبرى كان سيختار القاعدة الأطول بدل الأقصر. المعلومة الإضافية تحتاج أن تطابق إحدى القيمتين، لا أن تكون مجرد عدد موجب.

سبب القدرة على الاختيار واضح في هذه الحالة: الارتفاع معلوم وثابت، والمساحة تتناسب طرديًا مع القاعدة. كل واحدة من القاعدتين المختلفتين تعطي مساحة مختلفة. لا نحول هذا التفسير إلى حكم بأن أي مساحة وأي مجموعة معطيات تختار مثلثًا دائمًا؛ ربما لم تطابق المساحة أي فرع، أو كانت البيانات الأصلية مختلفة عما ثبتناه. ورقة الحل تعرض المعطيات والعلاقة التي جعلت هذا الشرط مميزًا هنا.

K=(49√3−28√2)/2 cm² ⇒ c=2K/7=7√3−4√2 cm

المحيط يحدد قاعدة عند تثبيت الضلعين

محيط المثلث مجموع أطوال أضلاعه. الضلعان المعطيان مجموعهما ثلاثة وعشرون سنتيمترًا، لذلك محيط كل فرع ثلاثة وعشرون زائد قاعدته. المحيط الأكبر يوافق القاعدة الأطول، والأصغر يوافق الأقصر. إذا أعطيت إحدى قيمتي المحيط الدقيقتين، فإن طرح الثلاثة والعشرين يعيد طول القاعدة الموافق لها، ثم نكمل التحقق من الزاوية المعطاة في الفرع المختار.

يمكن أيضًا مراجعة توافق مساحة ومحيط إضافيين في الوقت نفسه. في نموذجنا يساوي المحيط ثلاثة وعشرين زائد ضعفي المساحة على السبعة. لذلك ليست مساحة الفرع الأقصر مع محيط الفرع الأطول مجموعتين مستقلتين صالحتين للمثلث نفسه. كل رقم منهما قد يوافق مثلثًا من الفرعين على حدة، لكن جمعهما في بطاقة واحدة يطلب قاعدة صغيرة وكبيرة معًا، فيكشف عدم اتساق المعطيات الإضافية.

هذه المراجعة تمنع أن نأخذ معلومة جديدة على أنها مؤكدة ثم نحذف ما تعارض معها من المعطيات القديمة. إذا كانت المسألة تقصد فحص مجموعة بيانات، نعرض التعارض صراحة. وإذا كانت تقصد اختيار أحد الفرعين، نختبر الشرط فيهما أولًا. لا يضمن زيادة عدد الأرقام في السؤال وجود حل؛ قد تضيق مجال الحلول إلى واحد أو إلى مجموعة خالية بدل إضافة دقة إلى مثلث صالح.

P₊=23+c₊≈40.781210 cm; P₋=23+c₋≈29.467501 cm; P=23+2K/7

محيط ثلاثون يختبر اتساق الزاوية الأصلية

نضيف الآن محيطًا دقيقًا مقداره ثلاثون سنتيمترًا. طرح التسعة والأربعة عشر منه يفرض قاعدة سبعة. هذا الطول ليس القاعدة الجذرية القصيرة ولا الطويلة اللتين وجدناهما. ومع ذلك تحقق الأطوال تسعة وأربعة عشر وسبعة متباينات وجود مثلث: مجموع أي ضلعين أكبر من الثالث. إذن الخطأ ليس أن هذه الأطوال لا تستطيع تكوين أي مثلث، بل أنها لا تحافظ على الزاوية الثلاثين المطلوبة مع هذا الترتيب.

يربط قانون جيب التمام الضلع المقابل بضلعي الزاوية المحصورة وجيب تمامها. ويمكن استخراج جيب تمام الزاوية من الأطوال الثلاثة لفحص اتساق قيمة زاوية معطاة. [2]

في الحالة ذات القاعدة سبعة يعطينا القانون جيب تمام أ يساوي مجموع مربعي الأربعة عشر والسبعة ناقص مربع التسعة، مقسومًا على ضعفي الأربعة عشر في السبعة. الناتج واحد وأربعون على تسعة وأربعين، فتقارب الزاوية ثلاثة وثلاثين فاصل اثنين صفر ثلاثة درجة. ليست هذه ثلاثين؛ لذلك يستبعد المحيط الدقيق المقترح الفرعين الأصليين، رغم أن الثلاثة أضلاع التي فرضها تكون مثلثًا من نوع آخر.

P=30 cm ⇒ c=7 cm; cos A=(14²+7²−9²)/(2×14×7)=41/49; A≈33.203099°

ارتفاع سبعة يعيد معلومة ضمنية

لو أضيف إلى السؤال أن ارتفاع الرأس ج إلى خط القاعدة سبعة سنتيمترات، فإنه يوافق الفرعين من البداية؛ الأربعة عشر في جيب الثلاثين يساوي السبعة. لا يتغير جدول الحلول بسبب تكرار هذه العلاقة. الرقم صحيح وذو معنى هندسي، لكنه لا يضيف هنا شرطًا يميز القاعدة القصيرة من الطويلة. جودة المعطى في الاختيار تتعلق بما يختبره، لا بمجرد كونه قيمة جديدة في السطر.

ويفسر الرسم ما قد يربك القارئ: ارتفاع واحد يمكن أن يقع قدمه داخل قاعدة في فرع وعلى امتدادها في فرع آخر. كلا الموضعين يستعمل الخط الأفقي نفسه والرأس ج نفسه، فيبقى طول العمود سبعة. لو اشترط السؤال صراحة أن يقع قدم الارتفاع داخل قطعة القاعدة، فقد أضاف شرطًا هندسيًا مختلفًا عن طول الارتفاع وحده؛ حينها يوافق المثلث ذا القاعدة الأطول في ترتيبنا، ونذكر هذا الشرط باسمه.

كذلك فإن القول إن الزاوية أ حادة لا يختار هنا شيئًا؛ نعرف قياسها ثلاثين بالفعل. أما القول إن ب منفرجة فيختار الفرع الأقصر، لأن ب في الفرع الآخر حادة. نفصل بين شرط يعيد تعريف المعطى السابق وشرط يصف جزءًا كان مختلفًا بين الحلين. لا نسمح لظهور كلمات ارتفاع أو زاوية في السؤال أن يحل محل قراءة أي ارتفاع أو أي زاوية قصدت.

h=14 sin30°=7 cm in both branches; B obtuse ⇒ c=c₋

ثلاثة وعشرون بالضبط ليست ثلاثة وعشرين مقربة

إذا أعطينا مساحة دقيقة مقدارها ثلاثة وعشرون سنتيمترًا مربعًا، فإن القاعدة من العلاقة السابقة تصبح ستة وأربعة أجزاء من سبعة سنتيمترًا. ليست تلك إحدى القاعدتين الممكنتين. ولو كانت قريبة من القاعدة القصيرة عددًا، فالقرب وحده لا يساوي التطابق في معطيات تعاملنا معها دقيقة. لذلك لا نختار الفرع الأقرب ونعلن أن جميع أرقامه حققت المساحة الدقيقة الجديدة.

أما إذا قيل إن المساحة مقربة إلى أقرب سنتيمتر مربع مع رفع النصف إلى الوحدة التالية في قاعدة التقريب التي نفترضها هنا، فالقيمة ثلاثة وعشرون يمكن أن تمثل مجالًا من اثنين وعشرين ونصف إلى ما قبل ثلاثة وعشرين ونصف. مساحة الفرع الأصغر تقع داخل هذا المجال، ومساحة الأكبر خارجه بعيدًا. هذا الشرط المقرب يختار الأصغر ضمن النموذج، لكنه لا يعيد تعريف مساحته الدقيقة لتصبح ثلاثة وعشرين؛ يحتفظ الفرع بقيمته الجذرية التي استخرجناها من المعطيات الأصلية.

ولذلك لا نعوض بالثلاثة والعشرين المقربة في القاعدة تساوي ضعفي المساحة على السبعة ثم نسمي الناتج طولًا دقيقًا للحل المختار. نستعمل المجال لاختيار الفرع، ونرجع إلى طول قاعدته المحسوب من المعطيات الدقيقة. الحساب الذي يميز قيمة دقيقة من قيمة مقربة يحافظ على نوع المعلومة، ويمنع خطأ صغيرًا في ضلع مستنتج من أن يبدو تعارضًا جديدًا مع حل كان متوافقًا مع شرط التقريب.

K_exact=23 ⇒ c=46/7≈6.571429 cm (neither branch); K_rounded=23 ⇒ 22.5≤K<23.5 ⇒ K₋

راجع المحيط المقرب بالطريقة نفسها

محيط الفرع الأصغر يقارب تسعة وعشرين فاصل أربعة ستة ثمانية، فيقرب لأقرب سنتيمتر إلى تسعة وعشرين. محيط الأكبر يقرب إلى واحد وأربعين. إذا أعطينا تسعة وعشرين بوصفها قراءة مقربة بهذا المعنى، فهي تختار الفرع الأصغر، ولا تعني أن قاعدته ستة بالضبط بعد طرح الثلاثة والعشرين. القاعدة الدقيقة ما زالت الجذرية القصيرة؛ المحيط الدقيق لا يساوي العدد الذي عرضناه بعد التقريب.

ويظهر أثر التقريب المبكر في عدد محدد هنا: المحيط الأصغر إذا قرب أولًا إلى أقرب عُشر يصير تسعة وعشرين ونصفًا، ثم يرفع تقريب النصف إلى الوحدة التالية هذه القيمة إلى ثلاثين. أما تقريبه مباشرة من قيمته الأدق إلى أقرب وحدة فيعطي تسعة وعشرين. لذلك لا نستبدل الرقم الوسيط بالمحيط الدقيق عند فحص مجال معلومة إضافية؛ عمليتا التقريب المتتابعتان قد تغيران جواب الاختيار.

29.467501… → 29.5 → 30; direct nearest unit: 29

وإذا أعطينا محيطًا مقربًا ثلاثين وفق قاعدة الوحدة نفسها، فلن يوافق أي فرع؛ مجال القراءة من تسعة وعشرين ونصف إلى ما قبل ثلاثين ونصف لا يحتوي المحيط الأصغر، والمحيط الأكبر بعيد عنه. هذا مثال مهم لأن الفارق بين المحيط الأصغر والحد الأدنى للمجال صغير نسبيًا، لكنه يبقى خارجه في الحساب الذي حددناه. لا نوسع مجال التقريب من تلقاء أنفسنا لكي نجد حلًا نفضل وجوده.

قد تتغير النتيجة في مسألة تعطي تسامحًا آخر أو معطيات أصلية غير دقيقة، لكن تلك تحتاج تعريفًا جديدًا للمجال الذي نجري فيه المقارنة. هنا ثبتنا الأضلاع والزاوية وتعريف التقريب، فلا ننسب الأرقام إلى جهاز له خطأ قياس لم يقدم. هذه ورقة حسابية عن دور المعلومة الإضافية، وليست تقرير جودة لقياسات هندسية حقيقية. نكتب دقة كل معطى مع وحدته بدل استعمال كلمة تقريب وحدها بمعنى غير محدد.

round(P₋)=29; round(P₊)=41; P_rounded=30 ⇒ 29.5≤P<30.5 (no branch)

تحويل الوحدة لا ينشئ مساحة جديدة

جميع أطوال المثال بالسنتيمتر والمساحات بالسنتيمتر المربع. إذا نقلنا المساحة إلى المتر المربع، نقسم عدد السنتيمترات المربعة على عشرة آلاف، لا على مئة التي نستعملها لتحويل طول. ولو تغيرت وحدة عرض المساحة الصحيحة في البطاقة دون تحويل عاملها، فقد نجد قيمة تبدو صغيرة أو كبيرة ثم نرفض فرعًا كان متوافقًا قبل هذا الخلط. اكتب الوحدة قبل تطبيق العلاقة بين المساحة والقاعدة.

فالمساحة الأصغر التي تقارب اثنين وعشرين فاصل ستة ثلاثة ستة سنتيمترًا مربعًا تقارب اثنين وأجزاء أخرى من ألف متر مربع، ويظهر العدد الأدق في سطر التحويل. إذا أعدناها إلى السنتيمتر المربع عادت إلى قيمتها نفسها. لم يتغير المثلث أو الفرع المختار بتغيير الوحدة. كذلك لا نجمع محيطًا بالمتر مع ضلعين بالسنتيمتر ثم نطرح الأرقام كما لو أنها في وحدة واحدة.

وترتيب العمليات يحمي المقارنة: نحفظ القيمة الدقيقة أو مقدارًا كافيًا من الأرقام أثناء استخراج الفرعين، ثم نحوّل الوحدة عند الحاجة، ثم نطبق مجال المعلومة الإضافية في الوحدة التي عرفت بها. التقريب المبكر قد ينقل قيمة قريبة من طرف المجال إلى داخله أو خارجه. في مثال المحيط الأصغر القريب من تسعة وعشرين ونصف، لهذا الفرق دور واضح في قبول قراءة ثلاثين مقربة أو رفضها.

K₋≈22.636255 cm² = 0.0022636255 m²; P₋≈29.467501 cm = 0.29467501 m

اقرأ الفرعين في الرسم دون خلط مواضعهما

يعرض الرسم الرئيسي مثلثي المثال على تدريج إحداثي واحد. الرأس أ عند الأصل، وج عند سبعة جذر ثلاثة أفقيًا وسبعة رأسيًا، بينما ب يتغير على شعاع القاعدة. يظهر في إحدى اللوحتين الفرع ذو القاعدة الطويلة، وفي الأخرى ذو القصيرة، مع مساحته ومحيطه. تساوي حجم اللوحتين على الشاشة لا يعني تساوي المساحتين؛ الإحداثيات والقيم المكتوبة هي ما يصف الشكلين المؤلفين.

ويظهر قدم الارتفاع عند الإحداثي الأفقي للرأس ج، فتقع القطعة الرأسية داخل القاعدة الأطول وعلى امتداد الأقصر. هذه التفاصيل تشرح لماذا كان طول الارتفاع معطى غير مميز رغم أن مكان قدمه بالنسبة إلى قطعة القاعدة مختلف. لا نغير هذه العلامة إلى ارتفاع آخر من رأس آخر لمجرد أنه يبدو أقرب إلى ما نريد في الصورة؛ كل ارتفاع يحتاج إلى الرأس والقاعدة اللذين عرف بهما.

أما الصورة الداخلية فتعرض أمثلة للمعلومة الزائدة: مساحة دقيقة تختار القصير، ومحيط ثلاثون دقيق يكشف اختلاف الزاوية، وارتفاع سبعة يعيد معلومة موجودة. ليست البطاقات قياسات جديدة نفذناها؛ هي شروط مؤلفة نفحصها بالمعطيات الأصلية. ربط كل بطاقة بنتيجة واضحة يساعد على فصل ثلاث إجابات مختلفة، بدل الاعتقاد أن أي معلومة مضافة يجب أن تكون صحيحة أو كافية لوجود حل وحيد.

بطاقة اختيار تبدأ من الفرعين

ابدأ بتثبيت تسمية الأضلاع والزوايا والمعطيات ودقتها، ثم استخرج جميع الفرعين الصالحين في الحالة التي تملكهما. احسب المساحة والمحيط لكل فرع، واحفظ كل قيمة مع مجموعته. بعد ذلك اقرأ المعلومة الإضافية: هل هي مساحة أو محيط أو ارتفاع أو شرط على زاوية؟ وهل هي دقيقة أم مقربة بمجال معلن؟ لا تدخل هذه القيمة في خانة من جدول فرع قبل اختبار أنها توافقه.

وإذا فشل الشرط في الحلين، فاشرح أي علاقة فشلت. في محيط الثلاثين تكون الأطوال قابلة لتكوين مثلث، لكن زاويته ليست الثلاثين المطلوبة. وفي ارتفاع السبعة لا توجد مخالفة أصلًا، لكنه لا يميز الفرعين. وفي مساحة الثلاثة والعشرين يكون الحكم مختلفًا بين الدقة والتقريب. هذه تعليلات محددة، وليست كلمات عامة عن نتيجة حاسبة أو شكل رسم قد يخدع العين.

بهذا التنظيم تصير المعلومة الإضافية اختبارًا على الحلول الممكنة، لا إذنًا بتغيير معطى سابق دون بيان. مساحة مناسبة أو محيط مناسب يختار هنا أحد الفرعين، وشرط غير متسق يستبعدهما، وعلاقة تابعة تعيد ما نعرفه. النتيجة التي نعلنها تتبع ما أضافه السؤال بالفعل، مع الحفاظ على الأضلاع والزاوية والوحدات والدقة التي بدأ بها الحساب.