منحنيات كاسيني: هل الحلقة الواحدة شكل محدب دائمًا؟

الخلاصة السريعة

لا. عند البؤرتين(−2,0) و(2,0) وحاصل الضرب6، يكون الحد حلقة واحدة، لكن المنطقة المحاطة به غير محدبة: النقطتان A₋=(−√7/2,3/2) وA₊=(√7/2,3/2) على الحد، بينما منتصف وصلتهما H=(0,3/2) خارجه لأن حاصل الضرب عنده25/4＞6.

• نكتب p＞0 لحاصل ضرب البعدين، بوحدة طول مربعة؛ في الترميز المرجعي b²=p. [1] البؤرتان F₋=(−2,0) وF₊=(2,0)، والمسافة بينهما4. لا نجعل p نفسه المسافة من البؤرة إلى المركز. عند O حاصل الضرب4؛ تقع على حد4 وداخل منطقة6، والبؤرتان داخل هذه المنطقة لا على حدها.
• المعادلة المكافئة هي(x²+y²+4)²−16x²=p². نختار الجذر الموجب فنجد y²=√(p²+16x²)−x²−4. مجال النقاط الحقيقي هو max(0,4−p)≤x²≤4+p؛ لا نرسم الجذر عندما يكون مربعه سالبًا.
• عند p=3 تكون1≤x²≤7، فتنفصل حلقتان. عند p=4 تتلامس حلقتان في O. عند p=6 يتصل الفرعان العلوي والسفلي عند الطرفين فقط، فيكون الحد حلقة واحدة؛ تلامس الحلقتين ليس انفصالهما.
• التحدب يخص المنطقة المغلقة مع حدها: يجب أن تبقى كل قطعة تصل نقطتين منها داخلها. في حالة6، تنتمي A₋ وA₊ إلى الحد، لكن H=(0,3/2) يعطي25/4، فيقع خارج المنطقة التي حاصل الضرب فيها لا يزيد عن6.
• عند x=0 يصل الحد العلوي إلى V=(0,√2)، وهو أدنى من H لأن √2＜3/2. التكبير الداخلي يوضح الفجوة، بينما الحساب الدقيق يحسمها؛ صورة حلقة واحدة لا تثبت التحدب.
• القطع الناقص يثبت مجموع البعدين إلى بؤرتيه. [2] ثبات الضرب ليس ثبات المجموع. على حلقة6، النقطة E=(√10,0) تعطي مجموع البعدين2√10، وV تعطي2√6. لهذا لا نعاملها قطعًا ناقصًا بالبؤرتين نفسيهما، ولا نمنحها قانون مساحته لمجرد الاسم البيضاوي.

ثبت البؤرتين ومعنى حاصل الضرب

تعريف كاسيني يثبت حاصل ضرب المسافتين إلى بؤرتين ثابتتين؛ إذا كان بعداهما عن المنتصف a، يكتب الثابت b². [1] نختار a=2 ونسمّي حاصل الضرب p، أي p=b². لذلك p كمية بوحدة طول مربعة، بينما a وb بوحدة طول.

نضع المركز O=(0,0)، والبؤرتين F₋=(−2,0) وF₊=(2,0). المسافة بين البؤرتين4، وليست2. البعدان من نقطة(x,y) هما d₋=√((x+2)²+y²) وd₊=√((x−2)²+y²)، ونطلب d₋d₊=p.

النقطتان الثابتتان لا تتحركان مع المنحنى. عندما نغير p نقارن منحنيات مختلفة لها البؤرتان نفسيهما. ولا يمثل المركز واحدة من البؤرتين؛ عنده كلا البعدين2، فيكون حاصل الضرب4.

البؤرتان نفسيهما تعطيان حاصل ضرب صفرًا، لذلك لا تقعان على أي حد ذي p＞0. نستخدم مستوى بمحورين أفقي ورأسي ووحدة طول واحدة؛ لا نفترض مدارًا أو آلة أو تجربة مادية.

استخرج مجال الرسم من الجذر الحقيقي

بما أن البعدين غير سالبين وp موجب، فإن تربيع d₋d₊=p مكافئ له. نحصل على[(x−2)²+y²][(x+2)²+y²]=p²، ثم نوسع حاصل الضرب إلى(x²+y²+4)²−16x²=p².

إذن مربع x²+y²+4 يساوي p²+16x². الكمية x²+y²+4 موجبة، فلا نأخذ الجذر السالب. ينتج y²=√(p²+16x²)−x²−4.

حتى يكون y حقيقيًا، نحتاج √(p²+16x²)≥x²+4. الطرفان غير سالبين، لذا يجوز تربيعهما دون تغيير الشرط. بعد الترتيب نحصل على p²≥(x²−4)².

هذا يكافئ4−p≤x²≤4+p. وبإضافة أن x²≥0، يصبح المجال max(0,4−p)≤x²≤4+p. النقطتان عند كل x داخلي هما الجذر الموجب والجذر السالب للارتفاع نفسه؛ عند ارتفاع صفر تتطابقان.

لا نأخذ القيمة المطلقة لتعبير y² السالب ثم نكمل الرسم. سيكون ذلك منحنى آخر يضيف نقاطًا لا تحقق حاصل الضرب المطلوب. نحدد فترات x الصحيحة أولًا، ثم نرسم كل جزء متصل فيها.

حلقتان منفصلتان أو متلامستان أو حلقة واحدة

عند p=3 يعطي المجال1≤x²≤7. لذلك تقع x في[1,√7] أو[−√7,−1]، ولا توجد نقطة من الحد داخل الشريط−1＜x＜1.

على كل فترة من هاتين الفترتين، الارتفاع موجب في الداخل وصفر عند الطرفين. المنحنيان العلوي والسفلي متصلان ويلتقيان عند طرفي الفترة فقط، فيكوّنان حلقة مغلقة. الفجوة بين الفترتين تفصل الحلقتين إحداهما عن الأخرى.

عند p=4 يصبح0≤x²≤8. الارتفاع صفر عند x=0 وعند الطرفين±√8، وموجب فيما بينهما على كل جهة. توجد حلقة يمنى وحلقة يسرى، لكنهما تشتركان في O؛ اتحادهما متصل، فلا نسميهما مكوّنين منفصلين.

عند p=6 يصبح0≤x²≤10. الارتفاع عند x=0 هو√2، وموجب على الفترة المفتوحة بين−√10 و√10. الفرعان العلوي والسفلي لا يلتقيان إلا عند الطرفين، فيرسمان حلقة واحدة بلا نقطة اتصال داخلية.

الجدول يثبت معنى الثابت والفجوة. كلمة حلقة قد تصف فصًّا من شكل متلامس أو الحد المغلق كله؛ لذلك نذكر ما إذا كان الجزءان منفصلين أو يشتركان في نقطة، بدل الاكتفاء بعدّ الانتفاخات في الصورة.

هذه النتائج مشتقة من مجال الجذر واستمرارية الفرعين، وليست تصنيفًا نخمنه من شكل صغير. حالة4 تخص ليمنيسكات برنولي، لكن اهتمامنا هنا تغير الاتصال ثم اختبار التحدب في حالة6.

اختبر المنطقة المحاطة بالحد بمنتصف قطعة

نسمي K المنطقة المغلقة التي تحقق d₋d₊≤6، أي داخل حلقة6 مع الحد نفسه. من حل المتباينة نحصل على−√10≤x≤√10 و|y|≤√(√(36+16x²)−x²−4). هذه هي المنطقة التي سنختبرها، وليس مجموعة نقاط الخط الأزرق وحدها.

المنطقة محدبة إذا كانت كل قطعة مستقيمة بين أي نقطتين منها تبقى كلها فيها. لإثبات عدم التحدب يكفي إيجاد نقطتين منها ونقطة واحدة على وصلتهما خارجة عنها. منتصف القطعة اختيار سهل للفحص.

نختار A₊=(√7/2,3/2) ونظيرتها A₋=(−√7/2,3/2). لكل منهما x²=7/4 وy²=9/4، فيكون x²+y²+4=8. التعويض يعطي8²−16×7/4=36، أي p²=36.

حاصل الضرب موجب، لذلك يساوي6 عند النقطتين؛ تقعان على الحد وتدخلان في K. قطعة A₋A₊ أفقية عند y=3/2، ومنتصفها H=(0,3/2).

بعد H عن كل بؤرة هو√(4+9/4)=5/2. حاصل الضرب إذن25/4=6.25، وهو أكبر من6. لذلك H خارج K، وتثبت هذه القطعة أن K غير محدبة رغم أن حدها حلقة واحدة.

على المحور الرأسي، حد الحلقة يعطي V=(0,√2). لأن2＜9/4 نجد √2＜3/2؛ تكون H أعلى من V بفجوة موجبة. الصورة الداخلية تكبر الوسط فقط؛ البرهان لا يعتمد على تقدير هذه الفجوة من البكسلات.

قارن الضرب بالمجموع في نقطتين

القطع الناقص ذو بؤرتين يثبت مجموع البعدين. [2] أما مثال كاسيني فيثبت حاصل ضربهما. لا يكفي التشابه اللفظي أو وجود بؤرتين لإعلان أن قانوني التثبيت متماثلان.

عند E=(√10,0)، تقع النقطة يمين البؤرتين لأن√10＞2. البعدان هما√10−2 و√10+2؛ ضربهما10−4=6، ومجموعهما2√10.

عند V=(0,√2)، يتساوى البعدان ويكون كل منهما√6. حاصل الضرب6 أيضًا، لكن المجموع2√6. ولأن10≠6 لا يتساوى المجموعان.

إذن لا يثبت المجموع على حدنا بالبؤرتين المحددتين، فلا يمثل قطعًا ناقصًا لهما. وليس المطلوب حساب مساحة كاسيني هنا؛ لا نضع أنصاف امتداده في قانون مساحة القطع الناقص من غير إثبات أنه ذلك المنحنى.

افصل التحدب عن الاتصال وعن موضع المركز

عند p=3 تفصل فجوة حقيقية بين الحلقتين. عند p=4 توجد نقطة مشتركة، وعند p=6 توجد حلقة واحدة. هذه أسئلة عن الاتصال وطريقة اجتماع الفروع؛ شرط القطع المستقيمة داخل المنطقة سؤال آخر.

عند O يكون حاصل الضرب4. لذلك O نقطة من حد4، وغائبة عن حد3 وحد6. مع ذلك تقع داخل K في حالة6 لأن4＜6. موضع داخل المنطقة لا يحتاج أن يقع على خطها الحدّي.

وبالمثل، البؤرتان داخل K لأن حاصل الضرب عند كل منهما صفر. علاماتهما في الرسم مراجع للحساب، لا نقطتان ندّعي أنهما على الحد الأزرق. اللون الأحمر في H يميز نقطة خارجة اختيرت لاختبار التحدب.

راجع التعريف قبل الرسم: حدد البؤرتين والثابت ووحدته، استخرج المجال الحقيقي، ثم حدد الفروع المتصلة. وبعد ذلك، إذا أردت التحدب، افحص المنطقة المغلقة بشرط القطعة؛ وجود حلقة واحدة وحده لا يحقق هذا الشرط.