وعاء دوار: هل يجف المركز قبل أن يصل السائل إلى الحافة؟

جفاف مركز الوعاء الدوار قبل بلوغ الحافة يتوقف على العمق الأول وارتفاع الجدار. [2]

الخلاصة السريعة

قبل الحافة إذا كان العمق الأول أقل من نصف الارتفاع؛ وعند النصف يتزامن الحدان. [2]

وعاء أسطواني مفتوح بمحور رأسي، R,H,g,ρ>0 منتهية وثابتة، وعمق أول 0<h₀<H؛ الأطوال بالمتر. دوران كجسم صلب مستقر، مقدار سرعته ω≥0 بالراديان للثانية؛ ضغط الغاز موحد. نحفظ V=πR²h₀ حتى أول بلوغ للحافة فقط. [4]
على الجزء المبلل: z=c+κr²، حيث κ=ω²/(2g)، وz من القاع. قبل جفاف المركز، c=h₀−ω²R²/(4g)، والحافة h₀+ω²R²/(4g). حد ملامسة المركز ω_D=2√(gh₀)/R؛ عنده الحافة 2h₀. [1]
بعد الجفاف، السائل حلقة: z=κ(r²−r₀²)، وV=πκ(R²−r₀²)²/2. أول بلوغ للحافة عند ω_S=(H/R)√(g/h₀) إذا h₀<H/2؛ حينها r₀²=R²(1−2h₀/H)>0. لا نمد صيغة العمق إلى قيم سالبة. [3]
إذا h₀>H/2، تبلغ الحافة أولًا عند ω_S=2√(g(H−h₀))/R، ويبقى المركز بعمق 2h₀−H>0. إذا h₀=H/2، يتساوى الحدان؛ يلامس المركز نقطة القاع دون قرص جاف موجب المساحة. [1]
مثال مؤلف: R=0.20,H=0.30,g=10. عند h₀=0.10، الحدّان ω_D=10,ω_S=15؛ عند ω=12 الحافة 0.24m والمركز جاف. عند h₀=0.20 تبلغ الحافة عند 10 والمركز 0.10m. عند h₀=0.15 يتزامنان مع ω²=150. السرعات بوحدة rad/s. [2]
نهمل الشد السطحي والتموج أثناء البدء وتشوه الجدار؛ نقارن حالات مستقرة مثالية. يتوقف حساب الحجم المحفوظ عند الحافة؛ حد جفاف يأتي بعدها افتراضي. لا تجربة أو توصية تشغيل أو تصميم وعاء. [4]

حدد حالة السائل وحد الحساب

وعاء أسطواني مفتوح بمحور رأسي، R,H,g,ρ>0 منتهية وثابتة، وعمق أول 0<h₀<H؛ الأطوال بالمتر. دوران كجسم صلب مستقر، مقدار سرعته ω≥0 بالراديان للثانية؛ ضغط الغاز موحد. نحفظ V=πR²h₀ حتى أول بلوغ للحافة فقط. [4]

الجاذبية ثابتة والكثافة ثابتة موجبة؛ يتغير توزيع السائل داخل الوعاء دون زيادة كميته قبل الحد. [4]

وازن الضغط واحسب حد المركز

على الجزء المبلل: z=c+κr²، حيث κ=ω²/(2g)، وz من القاع. قبل جفاف المركز، c=h₀−ω²R²/(4g)، والحافة h₀+ω²R²/(4g). حد ملامسة المركز ω_D=2√(gh₀)/R؛ عنده الحافة 2h₀. [1]

في الإطار المرافق للدوران، ∂p/∂r=ρω²r و∂p/∂z=−ρg؛ حد الطرد المركزي قصوري في هذا الإطار. [1]

احفظ الحجم على الحلقة المبللة

بعد الجفاف، السائل حلقة: z=κ(r²−r₀²)، وV=πκ(R²−r₀²)²/2. أول بلوغ للحافة عند ω_S=(H/R)√(g/h₀) إذا h₀<H/2؛ حينها r₀²=R²(1−2h₀/H)>0. لا نمد صيغة العمق إلى قيم سالبة. [3]

نحسب الحجم بقشور دائرية: V=∫2πrz(r)dr على الجزء المبلل. إذا كان المركز جافًا يبدأ التكامل من r₀، لا من الصفر. [3]

افصل الحالات عند نصف الارتفاع

إذا h₀>H/2، تبلغ الحافة أولًا عند ω_S=2√(g(H−h₀))/R، ويبقى المركز بعمق 2h₀−H>0. إذا h₀=H/2، يتساوى الحدان؛ يلامس المركز نقطة القاع دون قرص جاف موجب المساحة. [1]

لـh₀<H/2، الحافة عند ملامسة المركز دون H؛ لذلك يسبق الجفاف بلوغها. التلامس عند الحد والجفاف بمساحة موجبة بعده مختلفان. [1]

قارن ثلاث كميات أولية

مثال مؤلف: R=0.20,H=0.30,g=10. عند h₀=0.10، الحدّان ω_D=10,ω_S=15؛ عند ω=12 الحافة 0.24m والمركز جاف. عند h₀=0.20 تبلغ الحافة عند 10 والمركز 0.10m. عند h₀=0.15 يتزامنان مع ω²=150. السرعات بوحدة rad/s. [2]

هذه قيم اختيرت للحساب؛ لا تقيس سرعة بدء التموج أو زمن استقرار السائل. [2]

ترتيب حد المركز والحافة مع نسبة الامتلاء — الجزء المتقطع حد افتراضي بعد بلوغ الحافة. [3]

توقف عند أول بلوغ للحافة

نهمل الشد السطحي والتموج أثناء البدء وتشوه الجدار؛ نقارن حالات مستقرة مثالية. يتوقف حساب الحجم المحفوظ عند الحافة؛ حد جفاف يأتي بعدها افتراضي. لا تجربة أو توصية تشغيل أو تصميم وعاء. [4]

إذا فقد السائل بعد بلوغ الحافة، تغير الحجم؛ يلزم حينها نموذج آخر بشروط فقد معلومة. [4]

المراجع

راجع وصف الإطار الدوار

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.