إضافة عدد للبسط والمقام: هل تبقى قيمة الكسر؟

اكتب العملية قبل وصف الكسر الجديد

يوضح دليل mathcentre أن ضرب البسط والمقام في العدد نفسه يعطي كسرًا مكافئًا. سنفحص بأعداد نختارها هل تفعل إضافة العدد نفسه الأمر ذاته. ^[1]

نضع على ورقتنا ثلاثة أعمدة: البداية، العملية، الناتج. في السطر الأول نكتب 5/12، ثم نكتب الضرب في أربعة للبسط والمقام معًا. نحصل على 20/48. في السطر الثاني نعيد البداية نفسها، ونكتب إضافة ثلاثة لكل عدد، فنحصل على 8/15. لا نستعمل سهمًا واحدًا للعملتين دون تسميته.

نراجع السطر الأول بالقيم التي اخترناها: 20/48 بعد القسمة على أربعة يعود إلى 5/12. أما السطر الثاني فلا نختزله بحسب رغبتنا في إعادته؛ نقارن قيمته الفعلية. تساوي مقدار الإضافة في موضعين وصف للعملية، وليس نتيجة الحساب الذي نريد إثباته.

الرسم الرئيسي يرتب السطرين في بطاقات؛ المسافات بين البطاقات للتنسيق، وليست محورًا يقيس الفروق. اقرأ اسم العملية أولًا، ثم عددها، ثم ناتجها. يمكنك إعادة الحساب على ورقة منفصلة قبل قراءة المقارنة التالية.

إذا أردت تسمية الزيادة ضربًا بعامل، فاحسب العامل لكل موضع في المثال الأول. البسط صار ثمانية بدل خمسة، فيكون عامله 8/5؛ والمقام صار خمسة عشر بدل اثني عشر، فيكون عامله 15/12=5/4. العاملان مختلفان، رغم تساوي العدد المضاف. هذه مراجعة إضافية للكتابة، وتبين لماذا لا يكفي نقل عبارة «العملية نفسها» من الجمع إلى الضرب دون النظر إلى المقادير.

احسب زيادة البطاقة الأولى بدقة

نحسب الفرق بين الناتج والبداية في مثالنا: 8/15−5/12. نختار المقام 180، فتصبح الكتابة 96/180−75/180=21/180=7/60. الفرق موجب، ولذلك ارتفعت القيمة. يكفي هذا المثال لنرفض قولًا عامًا بأن إضافة العدد نفسه تحفظ كل كسر.

نراجع اتجاه المقارنة من طريق آخر: 8×12=96، و5×15=75. المقامان موجبان؛ الفرق بين الناتجين واحد وعشرون، بما يوافق البسط الذي حسبناه عند توحيد المقام. سجل المسارين معًا كي تتبين أين دخل كل عدد في الفحص.

لاحظ أن البسط ارتفع من خمسة إلى ثمانية، والمقام من اثني عشر إلى خمسة عشر. لا يكفي أن تقول إن الاثنين كبرا، ثم تختار اتجاه التغير تلقائيًا. المقارنة هنا تخص خارج القسمة كاملًا؛ الحساب الظاهر، لا الزيادة في عدد منفرد، هو الذي يحدد النتيجة.

لنفترض أن متدربًا كتب في سجلنا أن الفرق 7/60 هو الكسر الجديد نفسه. نصحح السجل بالجمع: 5/12+7/60=25/60+7/60=32/60=8/15. الفرق مقدار التغير بين بطاقتين، أما القيمة الجديدة فنحصل عليها بإضافته إلى البداية. ضع عنوانًا فوق كل خانة حتى لا تتبادل الأرقام أدوارها عند نسخ الحل.

بدل موضع العددين وافحص الاستثناء

نؤلف بطاقة ثانية تبدأ بالكسر 12/5. بإضافة ثلاثة إلى البسط والمقام نحصل على 15/8. الفرق هذه المرة 15/8−12/5=75/40−96/40=−21/40. الناتج أصغر من البداية رغم أن العددين المكتوبين زادا معًا.

للمراجعة، 12/5 يساوي 2.4، و15/8 يساوي 1.875؛ وتوافق المقارنة اتجاه الفرق السالب. لا نستنتج من البطاقة الأولى أن كل إضافة موجبة ترفع الكسر. لدينا الآن مثال أعلى من الواحد، يتجه في الاتجاه المعاكس للمثال الأول.

نختار بطاقة ثالثة: 7/7. بعد الإضافة نفسها تصبح 10/10. كلاهما يساوي الواحد، والفرق صفر. الاستثناء ليس أن العدد المضاف ثلاثة تحديدًا؛ سنرى في البرهان أن مساواة البسط للمقام هي العنصر الذي يفسر ثبات هذه البطاقة.

للتدريب على تفسير البرهان، غط النتيجة المكتوبة في البطاقة الثانية، واقرأ البسط والمقام أولًا. اختر واحدة من خانات يزيد وينقص ويبقى، ثم افتح الحساب لتراجع قرارك. إذا أخطأت، سجل المقارنة التي تجاهلتها بدل تغيير الأعداد لتناسب تخمينك. المقصود مراجعة سبب الحكم على بطاقة محددة، لا إعلان نجاح تجربة تعليمية على أشخاص.

اكتب فرقًا عامًا ضمن المجال المحدد

نسمي البسط a والمقام b والعدد المضاف k. في نموذجنا a غير سالب، وb موجب، وk صحيح موجب. نطرح البداية من الناتج: (a+k)/(b+k)−a/b. توحيد المقام يعطي (b(a+k)−a(b+k))/(b(b+k)).

نفك البسط: ba+bk−ab−ak. يتلاشى ba مع ab، ويبقى k(b−a). إذن الفرق k(b−a)/(b(b+k)). المقام موجب، وكذلك k؛ فتتحدد الإشارة من b−a وحده. عندما a<b تزيد القيمة، وعندما a>b تنقص، وعندما a=b يساوي الفرق صفرًا.

هذه الحالات تغطي المقارنة بين العددين في مجالنا، فلا نحتاج تخمين اتجاه جديد لكل بطاقة. ولأن k موجب، لا يصبح البسط المحسوب صفرًا إلا مع b−a=0. لذلك يحفظ الجمع قيمة الكسر، ضمن شروطنا، عندما يتساوى البسط والمقام فقط.

لا تنقل هذا البرهان إلى مقام صفري أو إضافة سالبة دون إعادة فحص الشروط. كلمتا «ضمن شروطنا» جزء من النتيجة. الرسم الداخلي يربط ثلاث بطاقات أصلية بإشارة الفرق؛ رموز المقارنة مكتوبة من اليسار إلى اليمين لتسهيل مراجعتها.

قارن المسافة إلى الواحد دون ادعاء الوصول

في البطاقة الأولى، الفرق بين الواحد والبداية 1−5/12=7/12؛ وبعد الإضافة يصبح 1−8/15=7/15. بقي البسط سبعة في هذين الفرقين، وكبر المقام، فصغرت المسافة إلى الواحد. ومع ذلك بقي الناتج أقل منه.

وفي البطاقة الثانية، المسافة فوق الواحد كانت 12/5−1=7/5، ثم أصبحت 15/8−1=7/8. تقلصت أيضًا، لكن الناتج ظل أعلى من الواحد. البطاقة الثالثة بدأت عند الواحد، ولذلك لا نرسم لها مسافة موجبة مؤلفة.

يمكن مراجعة ذلك في نموذجنا بطرح الواحد: (a+k)/(b+k)−1=(a−b)/(b+k). البسط لا يتغير بهذه الإضافة، والمقام يبقى موجبًا. إذا اختلف a عن b، لا يساوي هذا الفرق صفرًا لأي k موجب منته اخترناه؛ والاتجاه حول الواحد محفوظ.

حل تمرينًا جديدًا وسجل سبب القرار

ابدأ بالكسر 6/11 وأضف اثنين للبسط والمقام. الناتج 8/13. الفرق 8/13−6/11=88/143−78/143=10/143، ولذلك تزيد القيمة. في سطر مستقل اضرب طرفي البداية في اثنين لتحصل على 12/22؛ لا تخلط ناتج الضرب بناتج الإضافة.

اعكس البداية إلى 11/6 واستعمل الإضافة نفسها. تحصل على 13/8، والفرق 13/8−11/6=78/48−88/48=−10/48=−5/24. ثم افحص 6/6 بعد إضافة اثنين: تصبح 8/8 وتبقى عند الواحد. هذه إجابات حساباتنا، وليست نقلًا لتمارين المرجع.

اختم سجل التدريب بثلاث خانات: الشروط، العملية، دليل المقارنة. اكتب هل زادت القيمة أو نقصت أو بقيت، ثم أرفق الفرق الذي حسبته. لا تجعل تشابه الكتابتين بديلًا عن الدليل، واحتفظ بالسطر الأول لتستطيع مراجعة كل تعديل لاحقًا.