قوانين الاحتمالات من جدول ثنائي: الاتحاد والتقاطع والاحتمال الشرطي

ابدأ بتعريف التجربة والحدث

لدينا 80 بطاقة رمزية، ولكل بطاقة صفتان: هل هي زرقاء، وهل تحمل نجمة؟ سنختار بطاقة واحدة بطريقة تمنح كل بطاقة فرصة واحدة من 80. فضاء العينة هو البطاقات نفسها، وليس أسماء الصفات فقط. وقد تشترك بطاقتان في الصفتين مع بقائهما ناتجين منفصلين في هذا النموذج.

الحدث A هو اختيار بطاقة زرقاء، والحدث B هو اختيار بطاقة بنجمة. كلمة معًا في تقاطع A و B تعني أن البطاقة المختارة تحقق الصفتين. ليست هنا عمليتا اختيار من صندوقين، ولا نحتاج افتراض استقلال اللون والنجمة كي نعرّف هذا التقاطع. التعريف يسبق اختيار القانون العددي.

للتوسع في معنى فضاء العينة وتساوي إمكانات النواتج، اقرأ مفهوم الاحتمالات. تركيزنا الحالي هو ما يحدث عندما نربط حدثين في السؤال نفسه. سنحتفظ بأسماء A و B ثابتة، حتى لا تتغير الصفات بصمت بين الحسابات.

[1]

جدول كامل: راجع المجاميع قبل القسمة

اخترنا أعداد الخلايا التالية:18 زرقاء بنجمة، و 12 زرقاء دون نجمة، و 22 غير زرقاء بنجمة، و 28 غير زرقاء دون نجمة. هذه تقسيمة كاملة لمجموعتنا المؤلفة. لا توجد بطاقة تنتمي إلى خليتين في آن واحد، لأن كل صفة هنا إما متحققة أو غير متحققة في تعريف النموذج.

مجموع الأزرق 30، وغير الأزرق 50. مجموع النجمة 40، ودون نجمة 40. نجمع الصفين 30+50 فنحصل على 80، ونجمع العمودين 40+40 فنحصل على 80 أيضًا. مجاميع الهوامش تلخص الخلايا ولا تضيف بطاقات جديدة؛ لا نجمع الخلايا مع الهوامش كأنها مجموعتان مختلفتان.

إذا أعطاك جدول مماثل خلية مفقودة ومجاميع معلومة، استعمل الطرح بعد تحديد الصف أو العمود الذي تخصه. وإذا أدى ذلك إلى عدد سالب، فراجع الأرقام والتعريفات. لا يصلح عدد سالب لبطاقات في نموذجنا. سلامة شكل الجدول على الشاشة لا تعني أن جميع مجاميعه متسقة حسابيًا.

[4]

احتمال صفة واحدة: أي مجموع يمثل الحدث؟

لحدث A نجمع 18 و 12، ثم نقسم 30 على 80. الناتج 3/8 أو 0.375، أي 37.5 بالمئة. ولحدث B نجمع 18 و 22، فنقسم 40 على 80، فيكون 0.5. الفرق بين المجموعين يخص الحدث المطلوب، بينما المقام في السؤالين هو المجموعة الأصلية نفسها.

لا نأخذ 18 وحدها جوابًا لسؤال الأزرق، لأن بعض الأزرق في خلية 12 دون نجمة. كما لا نجمع 30 مع 18 لإيجاد الأزرق؛18 داخلة أصلًا في 30. يمكنك وضع علامة على جميع الخلايا التي تحقق الوصف أولًا، ثم عد كل بطاقة مرة واحدة من خلال خلاياها.

ليس وجود 30 بطاقة زرقاء ضمانًا بأن أول 80 سحبة مع الإعادة ستعطي 30 زرقاء بالضبط.30 هو عدد الأزرق في المجموعة التي وصفناها، وليس نتيجة سجل سحبات أجريناه. عند الانتقال إلى تكرار التجربة، نحتاج وصفًا لعمليات السحب ونتائجها، ونحفظ الفرق بين عدد المجموعة ونسبة النتائج.

التقاطع: اللون والنجمة على البطاقة نفسها

التقاطع A∩B يقع في خلية 18 وحدها. احتماله 18/80=0.225. لو ضربنا 0.375 في 0.5 لأعطى 0.1875، وهو مختلف. هذه المراجعة تبين مباشرة أن اختصار حساب التقاطع إلى حاصل ضرب الاحتمالين لا يناسب الجدول الأول. ليست المشكلة في الضرب نفسه، بل في الشرط الذي يسمح به.

يمكن قراءة 18 على أنها عدد البطاقات التي تجتاز اختبارين في وصف واحد. وعندما نضيف شرطًا إلى الحدث مثل وجود النجمة، نضيّق مجموعة الأزرق المطلوبة من 30 إلى 18 في حساب التقاطع. لكننا لم نغير طريقة الاختيار بعد؛ ما زال المقام 80 لأن السؤال عن اختيار من المجموعة الأصلية.

ضع تحت كل جواب اسم الحدث:0.375 للأزرق، و 0.5 للنجمة، و 0.225 لاجتماعهما. لا تسم 0.225 احتمال الأزرق بين ذوات النجمة، لأن تلك العبارة تستعمل مجموعة شرط مختلفة. الرقم الصحيح قد يصبح جوابًا غير صحيح عندما يوضع تحت عنوان حدث آخر.

الاتحاد الشامل: لماذا نطرح التقاطع؟

نريد بطاقة زرقاء أو بنجمة، مع قبول أن تحمل الصفتين معًا. هذا اتحاد شامل. عدد الأزرق 30 وعدد النجمة 40، لكن جمعهما 70 يعد خلية 18 مرتين. لذلك نطرح 18 مرة واحدة، فيصبح العدد 52، ويكون احتمال الاتحاد 52/80=0.65. لا يشترط قانون الجمع هذا أن يكون الحدثان مستقلين.

نراجع بالعد المباشر: الخلايا المقبولة 18 و 12 و 22، ومجموعها 52. الخلية الوحيدة خارج الاتحاد هي 28 غير الزرقاء دون نجمة. الطريقان يعطيان المجموعة نفسها. عندما تبدو صيغة طرح التقاطع غير واضحة، ارجع إلى الخلايا واسأل أي بطاقات عُدت في كلا المجموعين.

أما عبارة صفة واحدة فقط فتستبعد 18 المشتركة. عددها 12+22=34، واحتمالها 34/80=0.425. في مثالنا الفرق بين الاتحاد الشامل والصفة الوحيدة 18 بطاقة بالضبط. اقرأ كلمة فقط في السؤال؛ ليس كل استعمال لغوي لكلمة أو يضمن أن المطلوب اتحاد شامل دون تفسير.

[3]

المتمم وتقسيم فضاء العينة

متمم A يعني غير الأزرق، وعدده 22+28=50. احتماله 50/80=0.625، ويساوي 1−0.375. ومتمم الاتحاد يعني لا أزرق ولا نجمة، وعدده 28، واحتماله 0.35. لا تخلط بين عدم تحقق A وعدم تحقق الصفتين معًا؛ لكل منهما خلايا مختلفة في الجدول.

الخلايا الأربع تجمع 18+12+22+28=80، واحتمالاتها تجمع إلى 1. السبب أنها متنافية وتشمل كل البطاقات. أما A و B فيتداخلان؛ جمع احتماليهما 0.875 لا يصف تقسيمًا لفضاء العينة. ووجود مجموع أقل من 1 هنا لا يعني أن بطاقة مجهولة اختفت من الجدول؛ اخترنا أحداثًا ليست تقسيمًا.

يمكن تكوين تقسيم آخر بثلاث مجموعات: كلا الصفتين 18، وصفة واحدة فقط 34، ولا واحدة 28. مجموعها 80 أيضًا. هذا تمرين على تعريف مجموعات لا تتكرر بينها البطاقة. عندما تريد استخدام قاعدة مجموع الاحتمالات يساوي واحدًا، تحقق من الشمول وعدم التداخل بدل تعميمها على أي قائمة أحداث.

[1]

الشرطية: اختيار المقام من المجموعة التي عرفناها

نسأل الآن: ما احتمال الأزرق إذا علمنا أن البطاقة تحمل نجمة؟ نقتصر في المقارنة على 40 بطاقة ذات نجمة، ومنها 18 زرقاء. لذلك P(A | B) = 18/40 = 0.45. عدد المشترك لم يتغير، لكن المقام لم يعد 80. علامة الشرط تقرأ الاحتمال على يسارها عند معرفة الحدث على يمينها.

نستطيع الوصول إلى الجواب بالقانون: نقسم P(A∩B) على P(B)، أي 0.225 على 0.5، فنعيد 0.45. لا نجمع الاحتمالين ولا نطرح أحدهما من الآخر لهذا السؤال. التقييد بمجموعة الشرط هو العملية التي يحتاجها المعنى، ولذلك نحدد المجموعة قبل البحث عن قانون محفوظ.

في مجموعة B نفسها يكون غير الأزرق 22/40=0.55. الجمع 0.45+0.55 يساوي 1، لأننا قسمنا ذوات النجمة إلى الأزرق وغير الأزرق. أما جمع 0.45 مع 0.625، احتمال غير الأزرق في المجموعة الأصلية، فيمزج مقامين وسؤالين مختلفين. اسم مجموعة المقارنة ينبغي أن يرافق النسبة.

[3]

عكس الشرط: نفس البسط ومقام آخر

نغير السؤال إلى احتمال النجمة عندما نعرف أن البطاقة زرقاء. مجموعة المقارنة الآن 30 زرقاء، ومنها 18 بنجمة. إذن P(B | A) = 18/30 = 0.60. لا تصبح 0.45 لمجرد أن الصفتين هما نفسيهما؛ اتجاه الشرط اختار مقامًا آخر. البسط المشترك 18 لا يكفي لتحديد قيمة الكسر.

الرسم الداخلي يقارن الشريطين بعدد بطاقات على مقياس مشترك: شريط 40 للشرط B، وشريط 30 للشرط A. يظل الجزء المشترك 18 في كل منهما، لكن حصته من الشريط الأقصر أكبر. لذلك يمكن فهم 45 بالمئة و 60 بالمئة دون اختراع بطاقات جديدة أو تغيير خلية 18.

اكتب جملة كاملة مع كل نسبة:45 بالمئة من ذوات النجمة زرقاء، و 60 بالمئة من الزرقاء تحمل نجمة. العبارة المختصرة احتمال الأزرق والنجمة لا تختار بين هذين السؤالين والتقاطع 18/80. ثلاث نسب يمكن أن تكون صحيحة في الجدول نفسه، ويجب أن يبقى عنوان كل واحدة واضحًا.

عرض الرسم بالحجم الكامل

شرط احتماله صفر: لا تقسم على مجموعة خالية

نفترض في فرع تعليمي أن الحدث C هو وجود مثلث، ونصرح بأن لا توجد بطاقة في هذه المجموعة تحمله. يصبح P(C)=0. قانون القسمة المعتاد للاحتمال الشرطي لا يعرّف P(A|C)، لأنه يضع صفرًا في المقام. لا تكتب 0/0=0 أو 0/0=1؛ كلاهما اختيار لا تمنحه المعطيات.

هذه الملاحظة تخص القانون الذي نستخدمه في النموذج المحدود هنا. إذا تغيرت المجموعة في سؤال آخر وأصبحت فيها بطاقات بمثلث، نحتاج العدد الجديد وتوزيع الأزرق داخله. اسم C نفسه لا ينقل أعدادًا من المسألة القديمة إلى الجديدة. تعريف الحدث ومحتوى مجموعة الشرط معًا يحددان ما يمكن حسابه.

وإذا لم نعرف هل توجد بطاقات تحقق الشرط، فلا نعوض صفرًا بدل المعلومة الناقصة. غياب الخانة من ورقة ناقصة يختلف عن التصريح بأن عددها صفر. قد يكون السؤال غير مكتمل، وعندها نطلب العدد أو احتمال الشرط قبل القسمة. تحديد المعلومة الناقصة جزء من الحل الدقيق.

[3]

قانون الضرب العام يعيد التقاطع

نستخدم قانون الضرب العام P(A ∩ B) = P(B) P(A | B). في جدولنا P(B)=0.5 و P(A|B)=0.45، فيكون الناتج 0.225. وإذا بدأنا من A، نحسب 0.375 مضروبة في 0.60، فنحصل على 0.225 أيضًا. المساران يحفظان تعريف مجموعة الشرط المناسبة لكل احتمال.

لا نبدل 0.45 بـ 0.375 دون مبرر. الأولى احتمال الأزرق داخل ذوات النجمة، والثانية احتمال الأزرق في المجموعة الأصلية. حاصل ضرب 0.5 في 0.375 يخص فرض الاستقلال، وقد رأينا أنه لا يوافق خلية 18 في هذا الجدول. معرفة الأعداد تتيح لنا اختبار الفرض بدل الاكتفاء بتسميته.

طريقة مراجعة مفيدة: اكتب بجوار عامل الشرط عدد المجموعة التي يخصها، ثم لاحظ كيف تلغى تلك المجموعة في النسب.40/80 مضروبة في 18/40 تعطي 18/80. لا نجعل إلغاء 40 عملية شكلية بلا معنى؛ بدأنا باحتمال الوقوع داخل B، ثم حصة A داخل تلك المجموعة.

[3]

الاستقلال: نختبره ولا نستخرجه من أسماء الصفات

الاستقلال بين A و B يقتضي توافق احتمال التقاطع مع حاصل ضرب الاحتمالين. في الجدول الأول 18/80 لا يساوي 30/80 مضروبة في 40/80، فالحدثان غير مستقلين في نموذجنا. لا نعلل هذا بمجرد أن اللون مختلف لغويًا عن النجمة؛ اختلاف الأسماء لا يضمن علاقة احتمالية معينة.

نؤلف جدولًا ثانيًا:15 للأزرق بنجمة، و 15 للأزرق دون نجمة، و 25 لغير الأزرق بنجمة، و 25 لغير الأزرق دون نجمة. ما زال مجموع الأزرق 30 ومجموع النجمة 40 والمجموع 80، لكن التقاطع 15/80=0.1875. أصبح يساوي 0.375×0.5، فتتحقق علاقة الاستقلال لهذا الاختيار المنتظم.

في الجدول الثاني P(A|B)=15/40=0.375، وهي P(A) نفسها. وتبقى الصفات قابلة للاجتماع، إذ توجد 15 بطاقة مشتركة. مثالنا يبين أن الاستقلال لا يعني غياب التقاطع. كما يبين أن معرفة الهوامش 30 و 40 وحدها لا تخبرنا هل التقاطع 18 أو 15 أو قيمة أخرى متسقة.

[2]

التنافي يختلف عن الاستقلال

نؤلف جدولًا ثالثًا به صفر للأزرق بنجمة، و 30 للأزرق دون نجمة، و 40 لغير الأزرق بنجمة، و 10 لغير الأزرق دون نجمة. المجموع 80، و A و B متنافيان هنا لأن أي بطاقة لا تجمعهما. احتمال اتحادهما 70/80=0.875، دون طرح تقاطع غير صفري.

الاحتمالان المنفردان ما زالا 0.375 و 0.5، وحاصل ضربهما 0.1875، بينما التقاطع صفر. لذلك ليست هذه حالة استقلال. عندما يكون للحدثين احتمالان موجبان ويكونان متنافيين، لا يمكن أن يوافق التقاطع حاصل ضربهما الموجب. هذا الفرق يظهر من الحساب بدل استبدال المصطلحين ببعضهما.

لدينا الآن ثلاث جداول تشترك في الهوامش نفسها: الأول تقاطعه 18، والثاني 15، والثالث صفر. تغير الاتحاد إلى 52 ثم 55 ثم 70 بطاقة. لا يكفي P(A) و P(B) وحدهما لحساب الاتحاد أو التقاطع إن لم تعط علاقة إضافية. اختر الجدول المعني قبل نقل نتيجة من حالة إلى أخرى.

[2]

سحبتان: هل السؤال عن الصفتين أم عن الزمن؟

ننتقل من صفات بطاقة واحدة إلى سحبتين. نرمز للأزرق في الأولى بـ A1 وللأزرق في الثانية بـ A2. إذا أعيدت البطاقة واخترنا ثانية اختيارًا منتظمًا مستقلًا، يبقى احتمال الأزرق 30/80 في كل مرة. احتمال الأزرقين (30/80) × (30/80) = 0.140625. هذا نموذج سحب جديد، وليس تقاطع اللون والنجمة على البطاقة نفسها.

دون الإعادة، وبعد أن كانت الأولى زرقاء، تبقى 29 زرقاء ضمن 79 بطاقة. احتمال الأزرقين في هذا الفرع (30/80) × (29/79)، ويساوي نحو 0.13766. تغير المقام والعدد المتاح لأن البطاقة الأولى خرجت من المجموعة. لا نستعمل 30/80 للخطوة الثانية عند هذا الشرط.

ولا يكفي لفظ الإعادة وحده لطمأنتنا إلى استقلال كل طريقة اختيار متخيلة؛ صرحنا بأن الاختيار في كل مرة منتظم ومستقل. إذا أعطت المسألة قاعدة تعتمد على النتيجة السابقة، فاتبعها بدل نقل نموذجنا إليها. حدثان على بطاقة واحدة وسحبتان متعاقبتان يحتاجان تعريفين واضحين قبل مقارنة القوانين.

[2]

تغيير الاختيار مع بقاء الأعداد

نحتفظ بالجدول الأول 80 بطاقة، ونؤلف طريقة مختلفة: نختار مجموعة الأزرق أو غير الأزرق باحتمال نصف لكل واحدة، ثم نختار بطاقة بفرص متساوية داخل المجموعة المختارة. هذه طريقة من تعريفنا للمثال، وليست طريقة الاختيار المنتظم بين جميع 80 التي بدأنا بها. تصبح P(A)=0.5 بدل 0.375.

داخل مجموعة الأزرق، 18 بطاقة من 30 تحمل نجمة، وداخل مجموعة غير الأزرق، 22 بطاقة من 50 تحمل نجمة. احتمال النجمة في الطريقة الجديدة 0.5×0.60 + 0.5×0.44 = 0.52. واحتمال الأزرق بنجمة 0.5×0.60=0.30. تغيرت احتمالات الاختيار، ولم نضف بطاقة أو نحذف واحدة من الجدول.

وعند اشتراط النجمة في هذه الطريقة، يكون احتمال الأزرق 0.30/0.52=15/26، أي نحو 0.5769، لا 18/40. عد البطاقات وحده لم يعد يساوي وزن فرصة كل بطاقة في المجموعة الأصلية. المثال يوضح أهمية وصف الاختيار؛ القانون الشرطي يبقى مناسبًا، لكن احتمالات مدخلاته يجب أن تخص الطريقة الجديدة.

جدول المجموعة وسجل المحاولات ليسا الشيء نفسه

جدولنا الأول يصرح بأعداد كل البطاقات الموجودة. أما سجل يقول إن الأزرق ظهر 40 مرة في 100 سحبة، فيعطي تكرارًا نسبيًا 0.4 لتلك المحاولات. لا يثبت أن 40 بالمئة من مجموعة بطاقات مجهولة زرقاء بدقة. وقد تختلف نسبة سجل قصير عن الاحتمال الذي حدده نموذج الاختيار.

إذا كان السؤال يطلب حساب نسبة النتائج المرصودة، فقسمة 40 على 100 جواب مناسب مع هذا الاسم. وإذا طلب تقدير احتمال من سجل، نميز التقدير من قيمة معلومة من وصف المجموعة. وإذا طلب عدد بطاقات الأزرق في صندوق مجهول، لا نستخرج عددًا دقيقًا من النسبة وحدها دون معلومات وافتراضات أخرى.

يمكن أن نضرب احتمالات معلومة بعدد محاولات للحصول على قيمة متوقعة في نموذج مناسب، لكن القيمة المتوقعة ليست ضمانًا لعدد النتائج في تلك المحاولات. أبقِ هذه الكلمات منفصلة: عدد المجموعة، وتكرار مرصود، واحتمال نموذج، وقيمة متوقعة. اختيار الكلمة الصحيحة يحفظ معنى الحساب حتى عندما تتشابه الأرقام.

[1]

تمرين مستقل من جدول أصغر

للتدريب نؤلف مجموعة 60 بطاقة أخرى، بخلايا 12 و 8 و 6 و 34 بالترتيب نفسه: أزرق بنجمة، وأزرق دون نجمة، وغير أزرق بنجمة، ولا واحدة من الصفتين. مع الاختيار المنتظم، عدد الأزرق 20 وعدد النجمة 18، والتقاطع 12. راجع 12+8+6+34=60 قبل استخراج الاحتمالات.

احتمال التقاطع 12/60=0.2، والاتحاد (20 + 18 − 12)/60 = 26/60، أي نحو 0.4333. احتمال الأزرق بشرط النجمة 12/18=2/3، وعكس الشرط 12/20=0.6. عدم وقوع أي الصفتين 34/60، وهو متمم 26/60. لكل جواب اسم يعيدك إلى خلاياه ومقامه.

هل A و B مستقلان هنا؟P(A)=1/3 و P(B)=0.3، وحاصل ضربهما 0.1، بينما التقاطع 0.2. إذن لا. ولم نجعلهما متنافيين أيضًا، لأن 12 بطاقة تجمعهما. هذا التمرين يختبر الجمع والشرط والاستقلال بالجدول نفسه، بدل اختيار قانون واحد لكل الأرقام التي تقع أمامك.

قائمة مراجعة تحافظ على السؤال والمقام

ابدأ بتعريف التجربة والحدثين، وبيان هل البيانات مجموعة كاملة أو سجلًا أو نسبًا مفترضة. افحص المجاميع ولا تعد البطاقة مرتين في اتحاد شامل. وفي التقاطع استخدم الخلية المشتركة أو قانون الضرب بشروطه. وجود الصفتين على بطاقة واحدة لا يفرض الاستقلال ولا التنافي.

عند الشرطية حدد الحدث بعد علامة الشرط، ثم مجموع المجموعة التي يخصها. يجب أن يكون احتمال الشرط موجبًا لقانون القسمة المعتاد. اكتب عنوانًا كاملًا لكل نسبة، ولا تبدل P(A|B) مع P(B|A). وبعد الحساب راجع أن الاحتمال بين صفر وواحد في نموذجنا، وأن المتمم يخص فضاء العينة نفسه.

إذا تغيرت طريقة السحب أو حدثت سحبتان بدل واحدة، أعد تعريف التجربة قبل إعادة استعمال الأعداد. الرسومان والجداول هنا أمثلة أصلية، لا نتائج قياس أو تدريب مصنف. فائدتها أن تستطيع متابعة سبب كل بسط ومقام، ومعرفة المعلومة الناقصة بدل إعطاء نسبة تبدو دقيقة لسؤال لم يتحدد بعد.