![أربع قيم [1,2,0,−1]، مربعاتها [1,4,0,1] مجموعها 6؛ مربعات مقادير تحويلها [4,10,0,10] مجموعها 24 ويقسم على 4.](https://images.bahralolom.com/assets/local-2000-20261012/BA-0604/parseval-energy.png)
تربط معادلة بارسيفال مجموع مربعات الإشارة بمربعات مقادير تحويلها. [1] سنحسب مثالًا يوضح عامل عدد النقاط، ثم أثر تجميع جانب واحد وإضافة الأصفار.
ثبّت تعريف التحويل قبل جمع المربعات
نستخدم X[k]=Σₙ₌₀ᴺ⁻¹ x[n] exp(−2πikn/N)، والعكسي x[n]=(1/N)Σₖ₌₀ᴺ⁻¹ X[k] exp(+2πikn/N). التحويل الأمامي بلا تطبيع والعكسي مقسوم على N. [2]
في هذه الاتفاقية، بارسيفال تعطي E=Σₙ|x[n]|²=(1/N)Σₖ|X[k]|². [1]
نأخذ N=4 و x=[1,2,0,−1]، بفهارس من صفر إلى 3. مجموع المربعات الزمني 1+4+0+1=6. نسميه طاقة المتتالية بهذا التعريف؛ لا نصفه تلقائيًا بأنه ستة جول.
لأن exp(−2πi/4)=−i، نحصل على X[0]=1+2+0−1=2. وعند k=1 نحصل على 1+2(−i)+(−1)i=1−3i. عند k=2 نحصل على 1−2+1=0، وعند k=3 نحصل على 1+3i.
لمربع المقدار نحسب |a+bi|²=a²+b²، وليس (a+bi)². لذلك |1−3i|²=10، بينما (1−3i)²=−8−6i. الأول مقدار حقيقي غير سالب يصلح لهذا الجمع، والثاني تربيع العدد المركب نفسه.
إذن مربعات مقادير X هي [4,10,0,10]. مجموعها 24؛ القسمة على أربع تعطي 6. قراءة 24 كطاقة تتجاهل عامل التحويل. المثال محسوب مباشرة، وليس خرج برنامج نفذناه.
راجع السبب وافصل الطاقة عن المتوسط
يمكن إثبات عامل الأربع لكل متتالية من أربع قيم، لا لمثالنا فقط. ضع w=−i و X[k]=Σₙ x[n]wᵏⁿ. عند ضرب كل X[k] في مرافقه ثم جمع النتائج، نحصل على Σₖ|X[k]|²=ΣₙΣₘ x[n]x̄[m]Σₖ wᵏ⁽ⁿ⁻ᵐ⁾.
إذا n=m، فالجمع الداخلي يساوي 4. وإذا اختلف الفهرسان بين صفر و 3، فباقي الفرق هو 1 أو 2 أو 3: مجموع القوى الأربع للجذر المناسب يساوي صفرًا. مثلًا 1−i−1+i=0، أو 1−1+1−1=0.
تختفي الحدود ذات الفهرسين المختلفين وتبقى 4Σₙ|x[n]|². بقسمة الطرفين على 4 نحصل على المساواة المطلوبة. هذا برهان بالحساب الدقيق لجذور أربع نقاط؛ لا يعتمد على تقارب قيم عشرية.
متوسط المربع في المثال هو E/N=6/4=3/2. جذر متوسط المربعات، RMS، هو √(3/2). لا نأخذ √6 ونسميه RMS؛ ذلك يهمل قسمة عدد القيم.
إذا عرفنا التحويل المطبع F[k]=X[k]/4، فإن Σ|F|²=24/16=3/2؛ لاسترجاع E نضرب في 4. وإذا عرفنا U[k]=X[k]/2، فإن Σ|U|²=24/4=6 بلا عامل إضافي.
لم نغير المتتالية في المقارنتين؛ غيرنا مقياس معاملات التحويل. لذلك يجب قراءة اتفاقية التطبيع قبل استخدام قاعدة محفوظة. لم نحدد وحدة كهربائية أو مقاومة أو فترة أخذ عينات، فلا نستنتج طاقة فيزيائية منها.
اجمع الزوج المرافق ولا تضاعف الطرفين
عندما تكون x[n] حقيقية، فإن X[N−k]=X̄[k] للفهارس الداخلية؛ ينتج ذلك من مرافق صيغة التحويل ودورية الأس. لذلك يتساوى مربع المقدار للزوج، ويمكن جمع مساهمتيه في خانة واحدة.
للأربع نقاط، الفهرسان 1 و 3 زوج. مساهمة كل منهما في E هي 10/4=2.5، فيكون مجموعهما 5. الفهرس صفر يقترن بنفسه، ومساهمته 4/4=1. كذلك الفهرس 2 يقترن بنفسه عند N الزوجي؛ مساهمته في هذا المثال صفر.
إذن التمثيل ذي الجانب الواحد للطاقة له المساهمات [1,5,0] عند الفهارس 0 و 1 و 2، ومجموعها 6. لم نحذف طاقة الفهرس 3؛ ضممناها إلى مساهمة الفهرس 1.
لاحظ فرق التضعيف: للزوج نستخدم 2|X[1]|²/4. أما إذا استبدلنا المقدار |X[1]| بـ 2|X[1]| ثم ربعناه، فإن الناتج 4|X[1]|²، لا 2|X[1]|². ترتيب التربيع والتضعيف يغير العامل.
قاعدة جمع الأزواج هذه تخص المدخل الحقيقي. لا نفترض هذا التناظر لمتتالية مركبة عامة. وإذا كان N فرديًا، لا يوجد فهرس N/2 صحيح منفرد؛ مثالنا ذو N الزوجي هو الذي يملك الطرف الثاني.
نسمي الفهرس 2 هنا موضع نصف تردد أخذ العينات إذا ربطنا التحويل بمعدل أخذ عينات. لم نحدد ذلك المعدل في الحساب، لذلك نستخدم الفهارس ولا نكتب محورًا بالهرتز.
الحشو يحفظ المجموع ويغير عدد القيم
نبدأ مثالًا ثانيًا b=[1,−1] بطول 2. طاقته 1²+(−1)²=2، ومتوسط مربعه 2/2=1. تحويل النقطتين هو B=[0,2]؛ مجموع مربعي المقدارين 4، ثم القسمة على 2 تعطي 2.
نضيف صفرين عند النهاية: bₚ=[1,−1,0,0]. تحويل الأربع نقاط يصبح Bₚ=[0,1+i,2,1−i]. مربعات المقادير [0,2,4,2] مجموعها 8؛ القسمة على طول التحويل 4 تعطي الطاقة 2 نفسها.
متوسط مربع المتتالية المحشوة هو 2/4=0.5، وجذره √0.5. أما متوسط مربع القيمتين الأصليتين فيبقى 1؛ يمكنك حسابه من الطاقة 2 بالقسمة على طول التسجيل الأصلي 2. حدد أي متوسط تريد بدل الخلط بين الطولين.
هذا المثال يراجع الطرف غير الصفري أيضًا: في جانب واحد، مساهمة الزوج 1 و 3 هي (2+2)/4=1، ومساهمة الفهرس 2 هي 4/4=1. مجموعهما 2. إذا ضاعفنا الطرف 2 أيضًا تصبح النتيجة 3، وهي خاطئة.
الأصفار لا تضيف مربعات إلى المجموع، لكنها تزيد عدد القيم في المتتالية الجديدة. لا تثبت أن إشارة واقعية خارج تسجيلها تساوي صفرًا، ولا تمثل قياسات إضافية.
قبل اعتماد رقم الطاقة، راجع هل استخدمت مربع المقدار، وجميع الفهارس أو أوزان الأزواج الصحيحة، واتفاقية التطبيع، وطول التحويل. وللمتوسط راجع أيضًا مقام عدد القيم المقصودة. لم نشغّل MATLAB أو جهاز قياس؛ الرسوم وحسابات المثال أصلية.
![[1,−1] طاقتها 2 ومتوسط مربعها 1؛ بعد صفرين تبقى الطاقة 2 ومتوسط المربع يصبح 0.5، مع مساهمة 1 للطرف المنفرد.](https://images.bahralolom.com/assets/local-2000-20261012/BA-0604/parseval-padding.png)
| المتتالية | طول التحويل | مجموع مربعات التحويل الخام | الطاقة | متوسط المربع |
|---|---|---|---|---|
| [1,2,0,−1] | 4 | 24 | 6 | 1.5 |
| [1,−1] | 2 | 4 | 2 | 1 |
| [1,−1,0,0] | 4 | 8 | 2 | 0.5 |
للتوسع: الأعداد المركبة.
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.