لفهم الفرق بين AEP وOEP في خسائر الكوارث، حدد أولًا هل تقيس مجموع السنة أم أكبر حادث فيها.
الخلاصة السريعة
يقيس AEP تجاوز المجموع السنوي، ويقيس OEP تجاوز أكبر خسارة حادث خلال السنة. [1]
- تربط وثائق Oasis المجموع السنوي بأساس AEP، وأكبر خسارة حادث بأساس OEP. لا نستخدم هنا صيغة تقدير برنامج بعينه. [1]
- نفترض ثمانية سيناريوهات سنوية متساوية الاحتمال، بينها سنة بلا خسائر. كل مبلغ في المثال مؤلف، وبالوحدة المالية نفسها.
- عند اشتراط خسارة أكبر من 60، يتجاوز المجموع في ست حالات من ثمانٍ، أي 75%، ويتجاوز أكبر حادث في ثلاث، أي 37.5%.
- مقام الاحتمال السنوي ثمانية، وليس عدد الأحداث الاثني عشر. حذف السنة الخالية يعطي احتمالًا مشروطًا مختلفًا.
- عند حد 70، يغير إدخال المساواة النتيجتين: من 12.5% إلى 25% لأكبر حادث، ومن 50% إلى 62.5% للمجموع.
- في المثال ذي الخسائر غير السالبة، كل تجاوز لأكبر حادث يصاحبه تجاوز للمجموع. ويمكن حذف أحداث أصغر فيتغير المجموع وتبقى القيم القصوى كلها ثابتة.
- أعلن أساس الخسارة والفترة والوزن ورمز المقارنة. اجمع سطور الحادث الواحد قبل أخذ الأكبر. المثال لا يقدر خطر محفظة حقيقية، ولا يحدد تعويض وثيقة أو موعد كارثة.
ماذا نختار من كل سنة قبل حساب الاحتمال؟
تشرح وثائق Oasis LMF أساسين لجدول تجاوز الخسائر: يعتمد AEP على جمع خسائر أحداث السنة، ويعتمد OEP على أكبر خسارة من حادث واحد فيها. نستخدم هذا التمييز فقط، ثم نبني مثالًا مستقلًا بأرقام وقواعد معلنة. لا نحاكي محرك البرنامج أو طريقة ترتيب مخرجاته. [1]
قبل أي عد، نتخيل صندوقًا يحتوي ثماني بطاقات سنوية مختلفة، ونختار بطاقة واحدة باحتمالات متساوية. كل بطاقة تصف نتيجة سنة كاملة، لا حادثًا واحدًا بالضرورة. سنسجل على ظهرها رقمين: مجموع المبالغ المكتوبة عليها، وأكبر مبلغ منفرد. وإذا كانت البطاقة خالية نسجل صفرًا في الخانتين بحسب تعريف مثالنا. بذلك نحتفظ بثماني نتائج سنوية في كل عمود، حتى لو اختلف عدد الأحداث من بطاقة إلى أخرى. هذا ترتيب للبيانات المؤلفة وليس سجلًا تاريخيًا رصدناه.
تجيب المقارنة بعد ذلك عن سؤال محدد: ما احتمال اختيار بطاقة يتجاوز رقمها حدًا ماليًا نعطيه؟ يمكن أن نستعمل عمود المجموع أو عمود أكبر حادث، لكننا لا نغير البطاقة المختارة أو وزنها بين الحسابين. ونفترض أن المبالغ كلها خسائر غير سالبة وعلى الأساس المالي نفسه، بلا حدود أو استردادات نضيفها أثناء الجمع. لو غيرنا هذه المدخلات لصار علينا تعريف المثال الجديد؛ لا يبرر تشابه اسم المقياس جمع أرقام تنتمي إلى أسس مختلفة.
ثمانية سيناريوهات تكشف الفرق عند حد ستين
نسمي البطاقات بالحروف اللاتينية لتسهيل مطابقتها مع الرسم. البطاقة A خالية، وB تحمل خسارة عشرين. تحمل C خسارتين، كل منهما خمسة وثلاثون، وتحمل D خسارة خمسة وستين. وعلى E خسارتان مقدارهما خمسة وأربعون وأربعون، وعلى F سبعون وعشرة. أما G فتحمل ثلاث خسائر مقدار كل منها ثلاثون، وتحمل H خسارة واحدة مقدارها مئة. هذه القيم مختارة للشرح، بوحدة مالية افتراضية واحدة، ولا تمثل أسعارًا أو مبالغ تأمين أو توقعات منشورة.
تكون المجاميع بالترتيب صفرًا وعشرين وسبعين وخمسة وستين وخمسة وثمانين وثمانين وتسعين ومئة. وتكون القيم القصوى صفرًا وعشرين وخمسة وثلاثين وخمسة وستين وخمسة وأربعين وسبعين وثلاثين ومئة. تظهر فائدة العمودين في البطاقة G تحديدًا: ليس فيها حادث أكبر من ثلاثين، لكن اجتماع أحداثها الثلاثة رفع مجموعها إلى تسعين. أما D ففيها حادث واحد؛ لذلك يتطابق مجموعها مع أكبر خسارة فيها، ولا يصنع اختلاف الاسم فرقًا عدديًا داخل هذه البطاقة وحدها.
نختار الآن شرطًا صريحًا هو «أكبر من ستين»، دون المساواة. تمر البطاقات C وD وE وF وG وH في عمود المجموع؛ ست من ثمانٍ تعطي ثلاثة أرباع، أي 75%. وتمر D وF وH فقط في عمود أكبر حادث؛ ثلاث من ثمانٍ تعطي 37.5%. لم نقدر احتمال حدوث ثلاثة حوادث مستقلة، ولم نجمع احتمالات متفرقة. عددنا البطاقات التي تحقق الشرط في فضاء الاحتمالات الكامل الذي عرفناه، فحصل كل سؤال على نتيجة تخصه.
لماذا لا نقسم على عدد الأحداث أو نحذف السنة الخالية؟
تحتوي البطاقات مجتمعة على اثني عشر حدثًا: لا شيء في الأولى، ثم حدث واحد، ثم اثنان، ثم واحد، ثم اثنان، ثم اثنان، ثم ثلاثة، ثم واحد. ثلاثة أحداث فقط تتجاوز ستين، وهي خسائر خمسة وستين وسبعين ومئة. قسمة الثلاثة على الاثني عشر تعطي 25%. إنها حصة الأحداث الكبيرة من قائمة أحداثنا، وليست احتمال اختيار سنة يكون أكبر حادث فيها فوق ستين. اختلف المقام، ولذلك لا نستبدل بهذه النسبة نتيجة الثلاثة على الثمانية.
كذلك لا نحذف البطاقة A لمجرد أنها لا تحمل مطالبة. في الصندوق الأصلي كان اختيارها ممكنًا باحتمال ثمن، وكانت إجابة سؤال التجاوز فيها «لا». بعد حذفها وإعادة توزيع الأوزان بالتساوي على الباقي يصبح لدينا صندوق آخر من سبع بطاقات. عند حد ستين نحصل على ثلاث من سبع لأكبر حادث، وست من سبع للمجموع؛ نحو 42.8571% و85.7143%. تصف النتيجتان الآن الاختيار المشروط بسنة فيها خسارة ضمن مثالنا، بدل الاختيار من جميع السنوات الممكنة التي حددناها.
لهذا نحتفظ بقائمة السنوات ووزن كل منها قبل عد النتائج التي تجاوزت الحد. ولأننا اخترنا أوزانًا متساوية جاز تحويل عدد البطاقات مباشرة إلى كسر على ثمانية. لا ننقل هذه الخطوة إلى صندوق مختلف يحتوي أوزانًا غير متساوية؛ عندئذ نجمع أوزان البطاقات المقبولة بدل الاكتفاء بعددها. ولا نحول ثماني بطاقات مفترضة إلى دليل إحصائي على محفظة فعلية؛ احتمالاتها جزء من تعريف المسألة التعليمية، ولم نستنتجها من بيانات مطالبات أو تجارب محاكاة حقيقية.
كيف تغير المساواة قراءة حد سبعين؟
عند حد ستين لم تقع قيمة من عمودي النتائج على الحد نفسه، فكانت إضافة المساواة بلا أثر عددي. نرفع الحد الآن إلى سبعين ونثبت البطاقات وأوزانها. إذا كان الشرط «أكبر من سبعين» ينجح أكبر حادث في H وحدها، لأن سبعين الموجودة في F تساوي الحد ولا تتجاوزه. النتيجة ثمن، أي 12.5%. وفي عمود المجموع تنجح E وF وG وH، أي أربع من ثمانٍ و50%. لا تدخل C لأن مجموعها سبعون تمامًا.
إذا اخترنا بدل ذلك شرط «سبعون فأكثر»، تنضم F إلى قائمة أكبر حادث، فتصير بطاقتين من ثمانٍ، أي 25%. وتنضم C إلى قائمة المجموع، فتصير خمسًا من ثمانٍ، أي 62.5%. هذه ليست زيادة في خسائر البطاقات أو تغييرًا في احتمال اختيارها؛ إنها نتيجة تغيير علامة المقارنة فقط. نكتب لذلك الحد والشرط مع النسبة، حتى لا يحمل تقرير عنوان «التجاوز» بينما يستعمل قارئه معنى آخر للمساواة في المثال نفسه.
لم نحدد هنا خسارة تقابل فترة عودة، ولم نرسم خطًا ناعمًا بين نقاط الجدول. لدينا فضاء احتمالات صغير ومحدد، ويمكن اختبار كل بطاقة فيه مباشرة. يسمح هذا الوضوح بفصل أثر الحد عن أثر المساواة دون افتراض طريقة تقريب أو استيفاء. وإذا وجدت قيمة معروضة بعد التقريب، فارجع إلى المبلغ الذي يستعمله الحساب قبل تقرير مساواتها للحد؛ تقريب رقمين في العرض إلى سبعين لا يثبت أنهما متساويان في المدخلات الأصلية.
متى يثبت أكبر حادث ويتغير مجموع السنة؟
في كل بطاقة من مثالنا، المجموع لا يقل عن أكبر مبلغ منفرد؛ فجميع الحدود غير سالبة، ونضيف إلى الأكبر أصفارًا أو مبالغ موجبة. لذلك إذا تجاوز الأكبر حدًا معينًا فلا بد أن يتجاوزه المجموع أيضًا. قد تمر بطاقة في المجموع ولا تمر في الأكبر، كما رأينا في C وE وG عند ستين. هذا استنتاج من شروط بطاقاتنا، ولا نحتاج إلى افتراض استقلال أحداث السنة حتى نبرهن علاقة الاحتواء بين مجموعتي التجاوز.
ننشئ فرعًا مستقلًا نحذف فيه كل الأحداث الأصغر داخل البطاقة، ونحتفظ بحدث واحد ذي الخسارة القصوى فقط. تبقى C بخمسة وثلاثين، وE بخمسة وأربعين، وF بسبعين، وG بثلاثين. لا تتغير A وB وD وH. احتفظنا بجميع القيم القصوى السنوية السابقة كما هي، فتبقى احتمالات تجاوزها نفسها عند كل حد. لكن المجموع صار مساويًا للأكبر في كل بطاقة، وهبط احتمال تجاوزه ستين من 75% إلى 37.5%. الفرع ليس خصمًا تعاقديًا؛ إنه تغيير متعمد في المدخلات التعليمية.
يثبت هذا الفرع أن معرفة القيم القصوى وحدها لا تكفي لاستعادة المجاميع؛ صندوقان لهما عمود القيم القصوى نفسه قد يختلفان في مجموع خسائر سنواتهما. ولا نقول إن كل إضافة ترفع كل احتمال: عند حد أعلى من مئة لن تتجاوز أي بطاقة في صندوقنا الأصلي أو المعدل. يتوقف الأثر العددي على موضع الحد والمبالغ المضافة، رغم بقاء العلاقة العامة بين المجموع والأكبر داخل افتراض الخسائر غير السالبة الذي استخدمناه هنا.
ما الذي تحفظه مع النتيجة لتصبح قابلة للمراجعة؟
احفظ تعريف السنة وقائمة الأحداث التابعة لها، ثم المجموع والأكبر والحد وعلامة المقارنة ووزن السنة. بهذه الخانات يستطيع قارئ آخر إعادة حساب الحالات المقبولة دون الاعتماد على عنوان رسم وحده. وفي مثالنا يسهل فحص البطاقة F: أكبرها سبعون، ومجموعها ثمانون، ووزنها ثمن. عند حد سبعين الصارم تنجح في المجموع وتفشل في الأكبر، وعند إدخال المساواة تنجح في الاثنين. هذا الفحص الفردي يكشف سريعًا أي تبديل بين عمودي الجدول.
وتحقق أن كل مبلغ يخص حادثًا كاملًا، لا سطرًا محاسبيًا منه. لنفترض أننا عرضنا خسارة السبعين في F على سطرين متساويين، خمسة وثلاثين وخمسة وثلاثين، مع إبقاء حدث العشرة منفصلًا. يبقى مجموع البطاقة ثمانين، لكن أكبر سطر يصبح خمسة وثلاثين. هذه النتيجة الأخيرة لا تساوي أكبر حادث في تعريفنا؛ فالسطران الأولان يمثلان حادثًا واحدًا قيمته سبعون. اجمعهما بحسب معرف ذلك الحادث قبل استخراج الأكبر. لم نضف حدثًا ثالثًا إلى السيناريو، بل غيرنا طريقة عرض حدث قائم. لذلك يحتاج دفتر المراجعة إلى هوية الحادث إلى جانب السنة والمبلغ، ولا يكفي تطابق المجموع السنوي لإثبات سلامة عمود أكبر حادث في النسخة الجديدة من الجدول.
واذكر الوحدة والأساس المالي المصاحبين للمبالغ، ولا تستخرج من هذه النسب حكمًا على تعويض وثيقة محددة. لم نزود المسألة بتغطيات أو تحمّلات أو شروط تجميع تعاقدية، ولم نصف كيفية توليد كوارث في منطقة حقيقية. النتيجة المكتملة هنا تشرح اختلاف السؤالين وحساسية المقام والمساواة والأحداث الأصغر. أما تقدير خطر فعلي فيحتاج مدخلاته الخاصة، ولا يمكن أن تحل البطاقات الثماني المؤلفة محلها لمجرد أن الاختصارين شائعان في تقارير الخسائر.
المصادر ومتابعة القراءة
- Oasis LMF: المجموع السنوي وأكبر خسارة حادث (يفتح في نافذة جديدة)oasislmf.github.io
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.