تسعات متناوبة: مقدار الخطأ

اقرأ النموذج المتناوب

في المتسلسلة المتناوبة، تتعاقب إشارات الحدود بين الموجب والسالب. ^[1]

معطياتنا a(k)=(-1)^(k+1)*9/10^k، حيث k عدد طبيعي موجب. نبدأ من k=1، ولذلك يكون الحد الأول 0.9 موجبًا، والثاني -0.09 سالبًا، والثالث 0.009 موجبًا. نعني بالسجل T(n) جمع أول n حدًا مع إشاراتها، لا كتابة n تسعات متجاورة بعد الفاصلة.

نعطي الكسر المرجعي اسمًا: L=9/11. المطلوب مقارنة كل مجموع منته بهذا الكسر، ثم حساب فارقه. يبقى الكسر ثابتًا في المهمة الأولى. لا نستبدله بكتابة عشرية قصيرة أثناء الطرح؛ فقد نضيف بذلك فرقًا ناشئًا عن الاختصار إلى الفرق الذي نريد حسابه.

أنشئ في ورقتك خانات للرتبة والمجموع والفارق. اكتب الإشارة إلى جوار كل حد قبل إدخاله في المجموع. إذا غابت إشارة من سجل منسوخ، فارجع إلى قانون المعطيات؛ لا تستنتجها من طول العدد أو من لون الصندوق في الرسم.

افحص السجلات الثلاثة

نجمع الحدود الأربعة الأولى: T(4)=0.9-0.09+0.009-0.0009=0.8181. كل خطوة ظاهرة في الرسم الرئيسي. عند الحد الخامس نضيف 0.00009، فنحصل على T(5)=0.81819. وعند السادس نطرح 0.000009، فيكون T(6)=0.818181. لا تخلط الحد الجديد بالمجموع الذي يحتويه.

يمكن مراجعة الرابعة على مقام عشرة آلاف: 9000-900+90-9=8181 في البسط. والخامسة على مقام مئة ألف تعطي 81819. هذه مراجعة مستقلة لترتيب الإشارات. اكتب المقام إلى جانب البسط؛ العدد 8181 وحده ليس قيمة سجلنا.

قارن سجلًا خاطئًا جمع الحدود الأربعة بإشارات موجبة، فكتب 0.9999. هذا جواب لمسألة أخرى. المعطيات الحالية تتضمن طرح الثانية والرابعة. صحح الإشارتين وأعد الجمع، بدل إضافة ملاحظة تزعم أن السجل الخاطئ قريب بما يكفي من المطلوب.

للتحقق من الخامسة، اجمع الرابعة مع الحد الجديد على مقام مئة ألف: 81810+9=81819. وللتحقق من السادسة، انقل الخامسة إلى مقام مليون، ثم اطرح تسعة من البسط: 818190-9=818181. المقام يتغير هنا لتسهيل الجمع؛ لا يتغير العدد حين نضرب البسط والمقام في العامل نفسه. احتفظ بالإشارة المكتوبة في عملية الانتقال.

ألغ الجمع المنقول

نضع r=-1/10، ثم نكتب T(n)=0.9+0.9*r+...+0.9*r^(n-1). النقاط تختصر عددًا منتهيًا معلومًا من الحدود في هذا السطر. إذا ضربنا المجموع في r، صار السطر المنقول r*T(n)=0.9*r+0.9*r^2+...+0.9*r^n. احتفظ بالحد الأخير في السطر المنقول.

نطرح السطر المنقول من الأول. تلغى الحدود الداخلية المتطابقة، ويبقى (1-r)*T(n)=0.9-0.9*r^n. وبما أن 1-r=11/10، نحصل على T(n)=9/11*(1-r^n). هذه هوية لجمعنا المنتهي، مشتقة من المعطيات المكتوبة؛ لم نبدل السجل بسجل ذي رتبة أخرى.

اختبر الهوية عند n=1: تعطي 9/11*(1+1/10)=9/10، وهو الحد الأول. وعند n=2 تعطي 9/11*(1-1/100)=0.81، وهو جمع الحدين الأولين. إذا حذفت r^n قبل التعويض فلن تحصل على هذين السجلين، وستفقد مقدار الفارق المقصود.

عند الرابعة، ينتهي السطر الأول عند 0.9*r^3، بينما ينتهي المنقول عند 0.9*r^4. أول حد في الأول لا يجد نظيرًا في المنقول، وآخر حد في المنقول لا يجد نظيرًا في الأول. هذان الحدّان يفسران الباقي بعد الطرح؛ لا نلغي طرفًا لمجرد أن معظم الحدود الوسطى ألغيت.

قارن موضع السجل

نطرح الهوية من الكسر المرجعي: L-T(n)=9/11*r^n. عند رتبة زوجية تكون r^n موجبة، فيقع المجموع أسفل L؛ وعند رتبة فردية تكون سالبة، فيقع المجموع أعلاه. هذا حكم على النموذج المحدد، ونستطيع فحصه دون الاستناد إلى اتجاه الأسهم وحده.

الفارق المطلق في سجلاتنا هو 9/(11*10^n). للرابعة نحصل على 9/110000، وللخامسة على 9/1100000، وللسادسة على 9/11000000. لا يعني تغير جهة السجل أن الفارق المطلق صار سالبًا. الإشارة تشرح الجهة، أما مقدار الفارق فيبقى موجبًا.

الرسم الداخلي يضع T(4)<L<T(5)، مع الفارق الدقيق لكل طرف. الصناديق ليست خط أعداد بمقياس فعلي. للتحقق، اضرب المقارنة الأولى في 110000، والثانية في 1100000؛ تحصل في كل مرة على فرق موجب معلوم، بدل تقدير مسافة من عرض الصندوق.

اختبر شرط التوقف

مقدار الحد التالي بعد السجل n هو 9/10^(n+1). بقسمة فارقنا الدقيق عليه نحصل على 10/11. لذلك فالفارق أقل من مقدار الحد التالي في هذا النموذج، وليس مساويًا له. استخرج النسبة من الكسور المعطاة، ولا تجعل التشابه في عدد الأصفار تعليلًا للمساواة.

نطلب في تمرين الرابعة فارقًا أصغر من 0.00009. الفارق 9/110000، والحد المطلوب 9/100000. المقام الأول أكبر والبسطان موجبان ومتساويان، ولذلك ينجح السجل الرابع في المقارنة الصارمة. أما عبارة لا يتجاوز وحدها فليست عبارة أصغر من.

اكتب القرار بجوار الرتبة التي حسبت مجموعها فعلًا. مقدار الحد التالي في الرابعة 0.00009، لكنه لم يدخل السجل بعد. إذا أضفته انتقلت إلى الخامسة، وتغيرت قيمة المجموع وجهته. لا تحتفظ باسم الرابعة إلى جانب نتيجة تخص الخامسة.

حل سجل السبعات

في التمرين الثاني نعطي c(k)=(-1)^(k+1)*7/10^k، ونختار الكسر المرجعي 7/11. احسب أول حدين: 0.7-0.07=0.63. أضف الثالث 0.007، فتصبح القيمة 0.637. الإشارات كما أعطيناها، لكن البسط سبعة؛ لا تنقل مجموع التسعات إلى هذا السجل.

بتكرار إلغاء السطر المنقول نحصل على U(n)=7/11*(1-(-1/10)^n). الفارقان المطلوبان هما 7/1100 للثانية و7/11000 للثالثة. تقع الثانية أسفل الكسر المرجعي والثالثة أعلاه. يمكنك مراجعة الجهة بطرح كل مجموع من 7/11 على مقام مشترك.

راجع جوابًا خياليًا كتب الفارق 9/11000 للثالثة. الرتبة صحيحة، لكن البسط يعود إلى المهمة الأولى. صحح البسط إلى سبعة، وأبق المعطيات بجوار الحل. تغيير معامل واحد في السؤال يستدعي مراجعة الحساب، حتى لو بقي ترتيب الإشارات نفسه.

اختم الورقة بسجل يجمع المعطى والرتبة والمجموع والكسر المرجعي والفارق وجهة المقارنة. احسب الفارق قبل إصدار القرار، ثم راجع شرط السؤال كما كتب. هكذا يمكن لشخص آخر تتبع الحل من الأرقام الظاهرة، دون تخمين عملية لم تسجلها.

في مراجعة ثانية، كتب صاحب السجل أن الفارق السالب يعني أن المجموع خاطئ. افحص المقصود أولًا: الفرق الموجّه من المرجع إلى السجل قد يحمل إشارة، بينما القيمة المطلقة التي طلبناها مقدار موجب. السجل الثالث في تمرين السبعات صحيح رغم وقوعه فوق المرجع؛ الذي يحتاج التصحيح هو وصف خانة الفارق في ورقته. راجع اسم الخانة قبل الحكم.