فحص الضرب بالتسعات: جواب ينجح رغم الخطأ

حدد بطاقة العاملين ومعيار الورقة

يعرض MathWorld فحص الضرب بمقارنة البواقي بترديد تسعة، مستعملًا مجموع أرقام كل عدد. اختلاف الباقيين يدل على خطأ، لكن توافقهما لا يكشف كل الأخطاء. ^[1]

نبدأ بالعاملين المختارين، لا بالأجوبة التي نود قبولها. العدد 43 يساوي 9×4+7، ولذلك نسجل له الباقي سبعة. والعدد 28 يساوي 9×3+1، فنسجل واحدًا. نضرب الباقيين: 7×1=7، ولا نحتاج تصغير هذا الناتج لأنه ضمن قائمة بواقي ورقتنا.

يمكن مراجعة هذين الرقمين بجمع الخانات أيضًا: 4+3=7، و2+8=10؛ والعدد عشرة يساوي 9×1+1. اكتب مصدر كل رقم في عمود منفصل حتى لا تجمع أرقام العاملين في خانة واحدة ثم تسمي الناتج فحص الضرب.

سم العمود الأخير «قرار الفحص». نضع فيه يمر أو يفشل، ونترك عمود «الحساب الكامل» مستقلًا. الرسم الرئيسي يضع البطاقات الأربع مع بواقيها؛ العلامة الخضراء فيه تعني المرور في هذا الفحص المحدد، ولا تعني أننا أثبتنا كل رقم من الجواب.

راجع العاملين بتفكيك آخر: 43=(9×4+7)، و28=(9×3+1). ضرب الجزأين في الجزأين يعطي 972+36+189+7=1204. مجموع الأجزاء الثلاثة الأولى 1197، وهو 9×133، وتبقى سبعة. تتفق هذه الكتابة مع الحساب السابق للعاملين، وتوضح موضع العدد الذي نقارنه في هذه الورقة دون استبدال عملية الضرب بجمع العددين.

راجع البطاقة الصحيحة بمسارين

نحسب الضرب بأنفسنا: 43×28=43×(20+8). حاصل 43×20 هو 860، وحاصل 43×8 هو 344. نجمع 860+344=1204. هكذا حصلنا على جواب مستقل عن بطاقات الفحص، ونستطيع استعماله مرجعًا للمقارنة بينها.

نجمع أرقام 1204: 1+2+0+4=7. هذا العدد يعطي الباقي سبعة الذي حددناه. إذن البطاقة الصحيحة تمر. في سجلنا نكتب في خانة الفحص «يمر»، وفي خانة الحساب «يساوي 1204». العبارتان تؤديان وظيفتين مختلفتين، حتى عندما تتفقان على البطاقة نفسها.

راجع الجمع الجزئي: 860+300=1160، ثم إضافة أربعة وأربعين تعطينا 1204. إذا نسخت الناتج خطأ في آخر سطر، فلن تصلحه علامة المرور التي وضعتها سابقًا. احتفظ بسطر الحساب المكتمل بجوار البطاقة لتستطيع تحديد موضع الاختلاف.

يمكنك أيضًا مراجعة مجموع الصفوف في العمود: الآحاد أربعة، والعشرات صفر بعد نقل واحد إلى المئات، والمئات اثنان بعد نقل واحد إلى الآلاف، والآلاف واحد. قارن هذه الخانات بالبطاقة 1204. إذا ظهر رقم آخر في نسختك، حدد خانته وأعد جمع الصفين، بدل اختيار بطاقة لمجرد أنها تشبه الجواب في عدد الخانات.

دع جوابين خاطئين يمران أمامك

البطاقة 1213 ليست جواب العملية التي حسبناها؛ الفرق 1213−1204=9. مع ذلك مجموع أرقامها 1+2+1+3=7، وهو الباقي المطلوب نفسه. اكتب «يمر لكنه خاطئ» بدل أن تمحو أحد الوصفين ظنًا أنهما متناقضان.

البطاقة 1024 تختلف أيضًا: 1204−1024=180=9×20. مجموع أرقامها 1+0+2+4=7. مر هذا الجواب رغم اختلاف ترتيب خانتين عن جوابنا. تكفي المقارنة المكتوبة للحكم على هذا المثال؛ لا نستخرج منها نسبة للكشف أو وعدًا عن جميع أخطاء الحساب.

في بطاقتنا الأولى الخاطئة تغيرت أرقام، وفي الثانية تغير ترتيب أرقام. القرار واحد في عمود الفحص، لكن المقادير لا تتساوى. هذا هو الاعتراض الذي نريد أن يراه القارئ بنفسه: بطاقة المرور قد تجمع نتائج مختلفة للعملية الواحدة.

لا تكتب علامة مساواة بين 1213 و1204 لأن الباقيين متساويان. نكتب بدلًا من ذلك وصفًا محدودًا: باقي كل منهما سبعة في حسابنا. وبعده نكتب الفرق تسعة لتظهر المعلومتان دون خلط علاقة البواقي بعلاقة القيم نفسها.

للتدريب، ارسم صفًا للبطاقة 1213 واكتب فيه مجموع الخانات وقرار الفحص والفرق عن الجواب المحسوب. إذا كتبت «صحيح» في خانة القرار، استبدلها بلفظ «يمر» ثم أبق الفرق ظاهرًا. هكذا يستطيع قارئ السجل معرفة ماذا فعلت بالفعل، وأي خطوة لم تنفذها بعد، حتى لو قرأ الصف منفصلًا عن بقية الورقة. احتفظ بالحساب واضحًا بجواره دائمًا.

افحص الجواب الذي يفشل ثم صححه

نجمع أرقام البطاقة الرابعة: 1+2+0+5=8. لا يوافق هذا الرقم السبعة التي حددناها للعاملين، فنضع «يفشل» أمام 1205. وبالرجوع إلى الحساب الكامل نجد 1205−1204=1. الفرق المحدد هنا يفسر لماذا لم تشارك هذه البطاقة البطاقات السابقة في القرار.

بعد الرفض نعيد الحساب الظاهر، ولا نبحث عن أي عدد يعطي الباقي سبعة لنضعه مكانها. لدينا بالفعل عددان خاطئان يفعلان ذلك. التصحيح في ورقتنا هو 1204 لأننا حسبنا 860+344، وليس لأننا أعطيناه لونًا أخضر في الرسم.

للمراجعة الذاتية غط أسماء البطاقات، وابدأ بمجاميع الأرقام ثم اكشف خانة الأجوبة. قارن قراراتك بالحساب المكتمل، وسجل سبب كل اختلاف. الهدف فحص هذه الأمثلة المؤلفة، لا الادعاء بأننا قسنا سرعة طالب أو دقة برنامج.

افهم الأرقام المختارة ولا تنس الباقي صفرًا

نفك جوابنا 1204 إلى 1000+200+4، بينما مجموع خاناته 1+2+4=7. نطرح: 1000−1=999=9×111، و200−2=198=9×22، و4−4=0. لذلك 1204−7=1197=9×133. هذا حساب مستقل للأعداد المكتوبة، يراجع بقاء السبعة بعد إزالة مجموعات التسعة.

نؤلف مثالًا آخر هو 45×18. العدد 45 يساوي 9×5، والعدد 18 يساوي 9×2؛ باقي كل منهما صفر، وضرب الباقيين يعطي صفرًا. الحساب الكامل 45×(10+8)=450+360=810. مجموع أرقام 810 هو تسعة، والتسعة تساوي 9×1+0.

لهذا نكتب صفرًا في خانة الباقي لهذا المثال، لا تسعة. نختار 819 للمقارنة: مجموعه ثمانية عشر، وباقيه صفر أيضًا، لكنه يزيد على 810 بتسعة. الرسم الداخلي يفصل المجموع عن الباقي حتى يظهر الفرق بين الرقمين اللذين نكتبهما في العمودين.

حل تمرينًا جديدًا واحتفظ بحدود الحكم

اخترنا للتمرين 26×34. مجموع خانات العامل الأول ثمانية، ومجموع الثاني سبعة؛ حاصل 8×7=56، والعدد 56=9×6+2. الباقي المطلوب إذن اثنان. احسب العملية كاملًا: 26×30=780، و26×4=104؛ الناتج 780+104=884.

مجموع أرقام 884 هو عشرون، وباقيه اثنان. البطاقة 893 مجموعها عشرون أيضًا، فتجتاز الفحص رغم أن 893−884=9. أما 885 فمجموعها واحد وعشرون، وباقيه ثلاثة، فتفشل. سجل هذه القرارات قبل قراءة اللون أو شكل البطاقة.

اختم الورقة بخانة للعملية الأصلية، وخانة للحساب الكامل، وخانة للباقي وقراره. لا تستبدل الخانة الثانية بالأخيرة. إذا اختلف وصفان، ارجع إلى الأعداد المكتوبة واسأل ما الذي يصفه كل منهما؛ بهذا تحتفظ بسبب القبول أو الرفض بدل الاكتفاء بعلامة مختصرة.