chebgauss: هل تطبيع الأوزان يجعل المتوسط منتظمًا؟

ما الوزن الذي تحدده القاعدة؟

chebgauss تخص الوزن 1/sqrt(1-x²)، وleggauss تخص الوزن 1، على [-1,1]. [1] [2]

تقييم معاملات القوى هنا يستعمل polynomial.polyval: الثابت ثم معامل x ثم معامل x². [3]

نعني بالتطبيع قسمة مجموع القيم الموزونة على مجموع الأوزان. نسمي النتيجة المنتظمة متوسطًا تحت الوزن 1، ونصرح بالوزن الآخر عند عرض نتيجة تشيبيشيف.

لا ننقل الفترة أو نبدل ترتيب المعاملات أو نحذف نقاطًا من قياس. لدينا دالة مؤلفة كاملة الوصف، ونختار لها قاعدتين بملفي وزن معلومين. لذلك نسأل عن الكمية التي تلخصها كل قاعدة، قبل مقارنة عددين.

الدالة نفسها على الفترة نفسها

للدالة المؤلفة p(x)=7/4+(5/4)x+(3/4)x²، أعطى تطبيع مجموع تشيبيشيف 2.125، وتطبيع مجموع ليجاندر 1.9999999999999996 على NumPy 2.3.5.

اخترنا ثلاث عقد لكل قاعدة، والمعاملات [1.75,1.25,0.75] من float64. الأعداد بلا وحدات أو بيانات خارجية؛ لم نستعمل مثالًا عدديًا من المصادر.

import numpy as np from numpy.polynomial import chebyshev as C, legendre as L, polynomial as P c=np.array([1.75,1.25,0.75],dtype=np.float64) x,w=C.chebgauss(3) y,v=L.leggauss(3) print(np.dot(w,P.polyval(x,c))/np.sum(w)) print(np.dot(v,P.polyval(y,c))/np.sum(v))

في التشغيل، مجموع أوزان تشيبيشيف 3.141592653589793 ومجموعها الموزون 6.675884388878311. وفي ليجاندر، مجموع الأوزان 2.0000000000000004 ومجموعها الموزون 4.0. النسبتان هما المسجلتان في الخلاصة.

تساوي أوزان العقد الثلاث في مسار تشيبيشيف لا يعني أن مواقعها تمثل وزنًا مستمرًا منتظمًا. نقارن القاعدة كاملة، بعقدها وأوزانها، ثم نقرأ تعريف الوزن الذي تخصه.

احسب الهدف دون إعادة تشغيل المكتبة

من العقد والأوزان المثالية نحصل على الهدفين الكسريين 17/8 و2. ثبات الفترة والدالة لم يجعل المتوسطين كمية واحدة.

في تشيبيشيف بثلاث عقد، العقد المثالية sqrt(3)/2 و0 و-sqrt(3)/2، وأوزانها π/3. [1]

لنكتب p=a+b*x+c*x². بعد القسمة على π تصبح حصة كل عقدة 1/3. مجموع العقد صفر، ومجموع مربعاتها 3/2؛ فيكون المتوسط a+c/2. ولأعدادنا 7/4+3/8=17/8.

في المرجع المستقل لليجاندر أخذنا العقد المتناظرة ±sqrt(3/5) والصفر، والأوزان 5/9 و8/9 و5/9. مجموعها 2، ومجموع العقد الموزون صفر، ومجموع مربعاتها الموزون 2/3. بعد القسمة على 2 ينتج a+c/3=7/4+1/4=2.

يمكن بناء هذا المرجع من التناظر وشروط العزوم: إذا كانت العقد ±r والصفر، فوزنا الطرفين المتساويان u يحققان 2*u*r²=2/3 و2*u*r⁴=2/5. بالقسمة نجد r²=3/5 ثم u=5/9؛ ومن مجموع الوزن 2 نجد وزن الوسط 8/9.

هذه حسابات مرجعية مستقلة للدالة المؤلفة، وليست إعادة تقييم خرج المكتبة بمقيّم آخر من المكتبة نفسها. طبّعنا مجموع كل قاعدة بمجموع وزنها، ومع ذلك بقي الحد التربيعي مساهمًا بنصف c في الأولى وثلثه في الثانية.

لماذا لا يكفي التحكم الثابت؟

تحكم مستقل p(x)=7/4 أعطى 1.75 و1.7499999999999996؛ وافق الهدف نفسه ضمن 1e-12، دون تطابق بتّي بين الناتجين.

اجتازت 29 حالة مرجعًا مستقلًا: 232 نداءً مسمى و638 عنصر خرج، مع 58 نسبة تطبيع مشتقة خارج هذين العددين. اتفق المتوسطان ضمن السماحية في 10 حالات واختلفا في 19.

في التحكم اختفى الحد التربيعي والخطي، فكل عقدة تحمل القيمة نفسها. لا يثبت اتفاقه أن القاعدتين تعطيان المتوسط المنتظم نفسه لدالة تتغير؛ المثال التربيعي كشف الفرق الذي أخفاه الثابت.

بنى المرجع الهدفين بكسور Fraction، وبنى العقد والأوزان المثالية وقيم الدالة بحساب Decimal بدقة 90 خانة. حسب π مستقلًا بصيغة Machin ومتسلسلة arctan؛ لم تولد NumPy القيم المتوقعة.

تضم الشبكة 27 ثلاثية معاملات من {-2,0,3}. أضفنا المثال والتحكم بمعاملاتهما خارج الشبكة؛ صار العدد 29. ثبتنا الفترة [-1,1] وثلاث عقد لكل قاعدة في الحالات كلها.

لكل حالة نداء chebgauss ونداء leggauss ونداءا polyval ونداءا dot ونداءا sum؛ ثمانية نداءات مسماة، أي 232. أخرجت القاعدتان 12 عنصر عقد ووزن، والتقييمان 6 عناصر، والضربان والجمعان 4 قيم؛ أي 22 عنصرًا للحالة، و638 للجميع.

اشتققنا نسبتي التطبيع بالقسمة بعد ذلك، فعدد النسب 58 خارج عدّ النداءات والعناصر المذكور. كما لا يشمل العد إنشاء المصفوفات أو الحساب المرجعي. أكبر فرق مطلق مرصود مع المرجع 1.7763568394002505e-15، ضمن السماحية المطلقة 1e-12.

أنشأنا مصفوفات المعاملات والعقد والأوزان جديدة لكل حالة ثم أعدنا استعمالها داخلها. فحصنا بايتات المدخلات مباشرة بعد كل واحد من النداءات الستة التي لا تولد العقد والأوزان، وأضاف الفحص مصفوفتَي قيم الدالة بعد توليدهما. بقيت البايتات كما كانت؛ لم نجر قياسًا منفصلًا لتغير النوع أو الشكل أو القيمة.

اقتصر التشغيل على درجة لا تتجاوز اثنتين ومصفوفات float64 محدودة. لم نفحص دوال عامة أو درجات أعلى أو فترة أخرى أو نوعًا آخر أو قيمًا مركبة وغير منتهية أو أداءً أو استقرارًا عامًا. لا يحول نجاح الشبكة تعريف وزن إلى آخر، ولا يمنح ضمان دقة لكل استعمال للمكتبة.