قوانين اشتقاق الدوال: أمثلة وفحص المجال والأخطاء

القواعد التي سنستخدمها

تطبق قواعد الضرب والقسمة حين تكون الدالتان قابلتين للاشتقاق؛ وفي التركيب يلزم اشتقاق الداخل والخارج عند المواضع المناسبة. المعاملات في قاعدة الجمع ثابتة. [1] [2] [3]

مثال أصلي: القيمة تختلف عن المشتقة

اخترنا P(x)=4x⁴−3x²+7x−11. نكتب مشتقة كل حد: الأول يعطي ستة عشر مضروبة في مكعب المدخل، والثاني يعطي سالب ستة مضروبة في المدخل، والثالث يعطي سبعة، والأخير يعطي صفرا. نجمع مع الحفاظ على الإشارات، فنحصل على P′(x)=16x³−6x+7. عند المدخل اثنين يصبح الناتج 16×8−12+7=123. لكن قيمة الدالة نفسها عند اثنين هي 4×16−3×4+14−11=55. الرقمان يجيبان عن سؤالين مختلفين؛ أحدهما قيمة النموذج والآخر مشتقته عند المدخل. لا نستبدل الرمز الأصلي برمز المشتقة لأن الحرف واحد، ولا نترك علامة الشرطة الصغيرة غير واضحة في خطوات الحل. اكتب السطر الذي يحدد الدالة أولا، ثم السطر الذي يحدد المشتقة، وبعده التعويض المطلوب.

يمكن أن نراجع نتيجة هذا المثال بالنهاية من غير العودة إلى قائمة القواعد. نعوض المدخل 2+h ونطرح قيمة الدالة عند اثنين، ثم نقسم على الزيادة غير الصفرية. بعد فتح القوى وتجميع الحدود ينتج [P(2+h)−P(2)]/h=123+93h+32h²+4h³. حين تتجه الزيادة إلى الصفر يتبقى العدد مئة وثلاثة وعشرين. هذه هوية خاصة بالنموذج المختار، وليست تقريب قيمة المشتقة من مشاهدة صورة. ولو وضعت زيادة صغيرة موجبة في الكسر تحصل على معدل على فترة صغيرة، لا على مشتقة مساوية له بالضرورة. كما أن وضع الزيادة صفرا قبل اختصارها يعيد مقاما صفريا؛ التبسيط يتم للزيادة غير الصفرية، ثم ندرس النهاية. بهذا تتصل قاعدة الحساب بتعريف المشتقة من غير خلط التعويض بالنهاية.

مثال أصلي: طريقتان لاشتقاق حاصل ضرب

لنأخذ B(x)=(x²−2x+4)(2x+3). نسمي العامل الأول مؤقتا f والثاني g. مشتقة الأول 2x−2 ومشتقة الثاني اثنان. نكون الحد الأول بضرب مشتقة الأول في الثاني كما هو، ثم الحد الثاني بضرب الأول كما هو في مشتقة الثاني. الناتج (2x−2)(2x+3)+2(x²−2x+4). عند فتح القوس الأول نجد 4x²+2x−6، وعند فتح الثاني نجد 2x²−4x+8. الجمع يعطي 6x²−2x+2. من المفيد أن تبقي القوسين إلى هذه المرحلة؛ حذف الأقواس مبكرا قد ينقل إشارة أو معاملًا من مكانه. ولا نحتاج أن نكتب كل عامل مرتين في النتيجة النهائية إذا أمكن تبسيطها، لكن يجب أن نرى أين نشأ كل حد.

الطريقة الثانية أن نفتح حاصل الضرب الأصلي قبل الاشتقاق. نحصل على B(x)=2x³−x²+2x+12. اشتقاق كثير الحدود يعطي ستة أمثال مربع المدخل، ناقص مثلي المدخل، ثم اثنين؛ وهي النتيجة نفسها. لم نستعمل هذه المطابقة لإثبات قاعدة الضرب لجميع الدوال، وإنما لفحص حساب نموذجنا بطريقين. عند المدخل صفر، النتيجة الصحيحة اثنان. أما ضرب المشتقتين وحدهما فيعطي (−2)×2=−4. وعند المدخل واحد تعطي الطريقة الصحيحة ستة، بينما تعطي الطريقة الخاطئة صفرا. هذان الاختباران يكشفان الخطأ في مثالنا بأعداد بسيطة. لا يكفي توافق تعبيرين عند مدخل واحد لإثبات تساويهما لكل المدخلات؛ هنا لدينا أيضا التبسيط الجبري الذي يثبت المطابقة العامة في هذا النموذج.

ماذا يبين المماس في مثال الضرب؟

عند المدخل واحد، قيمة نموذج الضرب خمسة عشر ومشتقته ستة. لذلك نختار خطا يمر بالنقطة (1,15) وميله ستة، فمعادلته y=15+6(x−1)=6x+9. الخط الخاطئ الناتج من ضرب المشتقتين في تلك النقطة سيكون أفقيا عند خمسة عشر، لأنه استعمل ميلا صفريا. كلا الخطين يمر بالنقطة نفسها، ولذلك لا تكفي هذه النقطة وحدها لتمييزهما. الرسم الأصلي يعرض المنحنى والخطين حول الموضع المختار؛ شكل الخط الصحيح يوافق الميل الذي حسبناه. لكنه لا يقول إن الخط يساوي المنحنى في كل موضع. تستطيع التحقق مثلا أن المنحنى عند الصفر يعطي اثني عشر، بينما الخط الصحيح يعطي تسعة. هذا فرق في النموذج نفسه، لا خلل في الحساب؛ الخط بني من نقطة وميل عندها، وليس قاعدة بديلة للدالة كلها.

مثال أصلي: الاختصار لا يملأ فجوة المجال

اخترنا C(x)=(x²−1)/(x−1). المجال يستبعد المدخل واحدا. داخل هذا المجال نفكك البسط إلى (x−1)(x+1) ونختصر العامل غير الصفري، فتصير القيمة x+1. مشتقة الدالة هناك واحد. نستطيع مراجعة النتيجة بقاعدة القسمة أيضا: بسط المشتقة هو 2x(x−1)−(x²−1). بفتح الأقواس يعطي x²−2x+1=(x−1)². نقسم على مربع المقام الأصلي ونحصل على واحد، ما دام المدخل غير الواحد. كل اختصار في هذه الخطوات جرى على المجال الذي يسمح به، ولم نضف إليه القيمة الممنوعة. والنتيجة المختصرة لا تمحو السطر الأول الذي عرف مجال الدالة.

إذا رسمت الأصل، سترى خط النموذج مع نقطة محذوفة عند (1,2). وإذا رسمت مشتقته، سترى القيمة واحدا على المدخلات المسموحة، مع حذف المدخل واحد أيضا. يمكن تعريف دالة أخرى تضيف قيمة اثنين في النقطة المحذوفة، لكنها ستكون دالة موسعة بتعريف جديد. لهذه الدالة الجديدة مشتقة واحد عند المدخل واحد؛ هذا لا يمنح الأصل مشتقة في نقطة لا يعرف فيها. عند مراجعة جواب مختصر، اكتب المجال بجانبه بدلا من الاعتماد على قدرة البرنامج على رسم خط كامل. قد يقبل البرنامج التعبير المبسط ويعرضه على جميع المدخلات إذا لم تنقل القيد إليه. لذلك يجب أن يطابق الرسم تعريف الدالة التي تحلها، لا التعبير الذي بقي بعد إلغاء عاملها فقط.

مثال أصلي: ترتيب الطرح في قاعدة القسمة

لندرس D(x)=(2x+5)/(x²+1). المقام أكبر من الصفر لكل مدخل حقيقي، فلا توجد هنا فجوة كتلك التي ظهرت في المثال السابق. مشتقة البسط اثنان، ومشتقة المقام مثلي المدخل. نكتب بسط النتيجة كاملا: 2(x²+1)−(2x+5)(2x). ثم نفتح الضرب مع إبقاء الطرح أمام القوس: 2x²+2−4x²−10x=−2x²−10x+2. إذن المشتقة (−2x²−10x+2)/(x²+1)². عند الصفر تعطينا اثنين، لأن مقامها واحد. أما قسمة مشتقة البسط على مشتقة المقام فتعطي في هذه النقطة قسمة اثنين على صفر، وتخلق استثناء لم يكن موجودا في الدالة الصحيحة أو مشتقتها. هذه نتيجة عملية لاختبار الخطأ، وليست مجرد تحذير لفظي.

إذا عكست ترتيب الحدين في البسط من غير تغيير باقي الصيغة، تحصل على سالب المشتقة الصحيحة. تستطيع كشف ذلك عند الصفر: بدلا من اثنين تحصل على سالب اثنين. والطريقة المنظمة أن تعين البسط والمقام في سطر أول، ثم مشتقتيهما في سطر ثان، وتكتب الصيغة المركبة قبل تبسيطها. لا تنقل اختصار مثال آخر إلى هذا المثال؛ فالمقام هنا مربع مضاف إليه واحد، وليس عاملا يمكن إلغاؤه من البسط الأصلي. ويمكن أن تتحقق من النتيجة بتعويض مدخل آخر مثل الواحد: بسط المشتقة يساوي سالب عشرة ومقامها أربعة، فتكون القيمة سالب خمسة أنصاف. الاحتفاظ بالكسر الدقيق يجعل مراجعة الإشارة والمعاملات أوضح من تقريب عشري مبكر.

مثال أصلي: مشتقة الخارج وحدها لا تكفي

الصيغة التالية E(x)=(3x²−2x+5)⁴. نحدد الداخل بأنه u=3x²−2x+5، والخارج بأنه القوة الرابعة. مشتقة الخارج بالنسبة إلى الداخل هي أربعة أمثال مكعبه، ومشتقة الداخل بالنسبة إلى المدخل 6x−2. إذن النتيجة E′(x)=4(3x²−2x+5)³(6x−2). لا ننقص قوة الداخل أو نشتق الحدود داخله ثم نعيدها إلى القوس الأصلي عشوائيا. الكتابة الطبقية تبين أن مكعب الداخل باق على تركيبه، وأن مشتقته عامل مستقل خارج هذا المكعب. عند الصفر نجد قيمة الداخل خمسة، فيكون الناتج 4×125×(−2)=−1000. أما الاكتفاء بمشتقة الخارج فيعطي خمسمئة؛ لقد اختلفت القيمة والإشارة معا.

كل أجزاء هذا المثال تعرف على المدخلات الحقيقية، لأن الداخل كثير حدود والخارج قوة صحيحة موجبة. ويمكن التحقق من مشتقته آليا بالتفكيك الرمزي بعد فتح القوة، لكن التوسيع الكامل هنا يولد حدودا أكثر مما نحتاجه لفهم العملية. هدف الاختيار ليس إظهار أطول تعبير، بل صيغة صحيحة يمكن تدقيقها. خذ المدخل ثلثا مثلا؛ عنده تصبح مشتقة الداخل صفرا، فيكون حاصل ضرب النتيجة صفرا، رغم أن مشتقة الخارج وحدها لا تكون صفرا. هذا الاختبار يوضح دور العامل الذي يغفل أحيانا. لا نستنتج من الصفر وحده نوع قيمة قصوى في هذا الدليل؛ موضوعنا هنا تركيب القاعدة والتحقق من الحساب، وأي حكم إضافي يحتاج فحصه الخاص.

مثال أصلي يجمع الضرب والسلسلة والجذر

نختار F(x)=(2x−1)²√(x+4). المجال الأصلي x≥−4. في الداخل من هذا المجال، أي حين x>−4، نستطيع اشتقاق العاملين؛ مشتقة المربع 4(2x−1)، ومشتقة الجذر 1/(2√(x+4)). بتكوين حدّي الضرب نحصل على 4(2x−1)√(x+4)+(2x−1)²/(2√(x+4)). لتوحيد المقامين نكتب الحد الأول على المقام نفسه، فنجد البسط 8(2x−1)(x+4)+(2x−1)². نستخرج العامل المشترك ونبسط ما بقي، فتكون النتيجة (2x−1)(10x+31)/(2√(x+4)). هذه الصورة تسهل فحص الأصفار: نجد نصفا وسالب واحد وثلاثين على عشرة، وكلاهما أكبر من سالب أربعة، فيدخلان في مجال الصيغة المشتقة.

لا تدخل النهاية سالب أربعة في صيغة المشتقة، رغم أنها تدخل في مجال الدالة الأصلية وتعطي قيمة صفرا. الجذر في مقام المشتقة هناك يساوي صفرا. لفحص النهاية مباشرة، ضع المدخل −4+h بزيادة موجبة. تكون قيمة الدالة (−9+2h)²√h. بعد طرح قيمة النهاية الصفرية والقسمة على الزيادة يصبح الكسر (−9+2h)²/√h. البسط يتجه إلى واحد وثمانين والمقام الموجب يتجه إلى الصفر، فلا ينتج معدل منته عند النهاية. هذا فحص خاص بالنموذج، ويمنعنا من إضافة تلك النقطة إلى مجال المشتقة بسبب مجرد صلاحية الدالة فيها. كذلك لا نعتمد على قسمة صفر على صفر في الصيغة المبسطة بوصفها قيمة؛ إذا ظهرت حالة كهذه نعود إلى التعريف أو التحليل المناسب.

تحقق مستقل من عامل الجذر ومن أحد الأصفار

لنراجع مشتقة عامل الجذر في النموذج السابق من التعريف. نسميه R(x)=√(x+4)، ونختار مدخلا داخليا a>−4. كسر الفرق هو [√(a+h+4)−√(a+4)]/h. نختار الزيادة قريبة بما يكفي من الصفر حتى يبقى ما تحت الجذر موجبا؛ مثلا يكفي أن تكون قيمتها المطلقة أصغر من نصف الكمية الموجبة a+4. نضرب البسط والمقام في مجموع الجذرين. يصبح البسط الفرق بين الكميتين داخل الجذرين، أي الزيادة نفسها، فنختصر الزيادة غير الصفرية ونحصل على 1/[√(a+h+4)+√(a+4)]. بعد ذلك نتجه بالزيادة إلى الصفر، فيعطي المقام مثلي الجذر عند المدخل المختار. النتيجة هي R′(a)=1/(2√(a+4)). لم نقسم على الصفر في أي خطوة، لأن المقام بعد الاختصار موجب عند النقطة الداخلية المختارة.

عند المدخل صفر، قيمة هذا العامل اثنان ومشتقته ربع. يمكن فحص اتجاه اقتراب معدل الفترة الصغيرة إلى هذه النتيجة. إذا استعملنا زيادة موجبة مقدارها أربعة أجزاء من مئة، يصبح كسر الفرق بعد الاختصار 1/(√4.04+2). مقامه أكبر من أربعة، ولذلك قيمته أصغر من ربع. وإذا استعملنا الزيادة السالبة المقابلة، يصبح الكسر 1/(√3.96+2)؛ مقامه أصغر من أربعة وموجب، ولذلك قيمته أكبر من ربع. اختلاف قيمتي هاتين الفترتين لا ينفي وجود المشتقة؛ كلتاهما تقترب من الربع عند تصغير الزيادة في جهتها. هذه مراجعة حسابية محددة للمثال، وليست قياسات لجهاز أو بيانات تجريبية. وتبقى نقطة النهاية مختلفة لأن اختيار جوار داخلي موجب حولها لم يعد متاحا بالطريقة نفسها.

نراجع أيضا الصفر الذي وجدناه للمشتقة عند المدخل نصف في النموذج الكامل. هناك تصبح قيمة الدالة صفرا بسبب العامل المربع. إذا كتبنا المدخل 1/2+h، صار العامل الخطي 2h، فيكون مربعُه أربعة أمثال مربع الزيادة. لذا يصير كسر الفرق 4h√(4.5+h) للزيادة غير الصفرية. يقترب هذا التعبير من الصفر من الجهتين، لأن الجذر يبقى قريبا من قيمة موجبة منتهية، ولأن الزيادة تضربه. بذلك تأكدت المشتقة الصفرية عند النصف من طريق مستقل عن تبسيط قاعدة الضرب. لاحظ الفرق بين هذه النقطة الداخلية والنهاية سالب أربعة: في الأولى قيد الجذر يسمح بجوار من الطرفين ويختفي العامل الخطي، وفي الثانية يبقى مربع العامل قريبا من واحد وثمانين بينما يقسم معدل الفترة على جذر الزيادة. لا ننقل حكم إحدى النقطتين إلى الأخرى لمجرد أن قيمة الدالة صفر عند كليهما.

مثال أصلي: وجود المشتقة دون صلاحية تطبيق القاعدة

اخترنا J(x)=x|x|. عند المدخلات الموجبة تصبح الدالة مربع المدخل، ومشتقتها مثلي المدخل. وعند المدخلات السالبة تصبح سالب مربعه، ومشتقتها سالب مثلي المدخل. يبقى الصفر. لا نستعمل هناك قاعدة الضرب مع مشتقة القيمة المطلقة وكأنها موجودة؛ فمعدل القيمة المطلقة من اليمين واحد ومن اليسار سالب واحد. لكن حاصل الضرب نفسه قد يكون قابلا للاشتقاق، وهذا ما نختبره الآن. قيمته عند الصفر صفر، وكسر الفرق هو [J(h)−J(0)]/h=h|h|/h=|h| للزيادة غير الصفرية. حين تتجه الزيادة إلى الصفر من أي جهة تتجه قيمتها المطلقة إلى الصفر. لذلك توجد مشتقة النموذج عند الصفر وتساوي صفرا.

نجمع النتيجة في صيغة J′(x)=2|x| على جميع المدخلات الحقيقية، وهي تشمل القيمة التي أثبتناها عند الصفر. يبين المثال الفرق بين شرط يكفي لتطبيق قاعدة وبين اختبار وجود المشتقة للدالة الناتجة في حالة لا يتحقق فيها هذا الشرط. لا نقول إن قاعدة الضرب خاطئة، بل نقول إن خطوة تطبيقها عند الصفر لم تكن مبررة بهذه العوامل، وإن التعريف أعطانا طريقا آخر. وللمقارنة، لو أبقينا القيمة المطلقة وحدها لتعارضت نهايتا كسر الفرق عند الصفر؛ لا يكفي أن تكون الدالة مستمرة أو أن نستطيع حساب قيمتها في تلك النقطة. الحدود والحسابات هنا أصلية ومحددة، ويمكن مراجعتها من التعريف مباشرة.

قائمة فحص لجواب يمكن مراجعته

ابدأ بالسؤال عن العملية الخارجية: جمع أم ضرب أم قسمة أم تركيب، ثم قسم الحساب إلى أجزاء تحمل أسماء مؤقتة واضحة. اكتب مجال الأصل قبل اختصار عوامل أو تحويل جذور، وبعد الحساب اكتب المجال الذي تصح عليه المشتقة. افحص وجود معامل من مشتقة الداخل إذا ظهرت طبقات، وافحص ترتيب الطرح ومربع المقام في الكسر. ثم اختر مدخلا يسمح بالصيغة ويجعل الحساب قصيرا، وراجع النتيجة فيه. إذا كان الناتج رمزا عاما، فلا تخلط بين هذه المراجعة المحدودة وبين برهان تطابق تعبيرين على المجال كله. التبسيط الجبري أو التحقق من الهوية يعطي دليل المطابقة، بينما قد يكشف التعويض خطأ واضحا بسرعة.

احتفظ بالتعبير الأصلي مع نتيجتك. في مثال الثقب، قراءة المشتقة واحدا من دون المجال تخفي معلومة حاسمة. وفي مثال الجذر، معرفة قيمة الدالة عند النهاية لا تثبت معدلا منتهيا هناك. وفي المثال الطبقي، نتيجة موجبة من اشتقاق الخارج وحده أخفت العامل السالب الذي جاء من الداخل. هذه مراجعات مختلفة، ولذلك لا يكفي إجراء حساب عددي واحد لكل مسألة. الأمثلة والرسوم هنا نماذج رياضية مؤلفة، وليست قياسات أو تجارب ميدانية. اقرأ الصورة على ضوء الصيغة وشروطها، وارجع إلى تعريف النهاية عند نقطة لا تبرر فيها القواعد التي تعرفها الخطوة التي تريد القيام بها.