eig: هل ثلاثة أعمدة تعني ثلاثة اتجاهات مستقلة؟

ماذا تعطي الأعمدة؟

تقرن eig كل قيمة بعمود مطبع؛ وقد يحجب التقريب اعتماد الأعمدة. [1]

اخترنا A=[[5,4,0],[0,5,0],[0,0,−2]]. سنكتب e1=(1,0,0)، وe2=(0,1,0)، وe3=(0,0,1). يعطي المحدد det(A−tI)=(5−t)²(−2−t)، فتتكرر 5 مرتين. هذا العد لا يحسب أبعاد فضائها الذاتي.

البرهان قبل التشغيل

للقيمة 5، حل (A−5I)(x,y,z)=0 يعطي 4y=0 و−7z=0. إذن y=z=0، وكل متجه ذاتي غير صفري مضاعف لـe1. للقيمة −2، يعطي الصف الثاني 7y=0، ثم الأول 7x+4y=0، فيكون x=y=0؛ الاتجاه الوحيد هو e3.

لذلك لا يمكن اختيار ثلاثة متجهات ذاتية دقيقة مستقلة لهذه A: كلها داخل span(e1,e3). واختيار e2 لتعويض الاتجاه المفقود يفشل؛ A e2−5e2=(4,0,0). المطلوب استقلال الاتجاهات، لا إضافة عمود شكله مختلف.

ماذا شاهدنا عدديًا؟

على NumPy 2.3.5 وCPython 3.12.14، أعاد التشغيل w=(5,5,−2). كان العمود الأول e1، والثاني تقريبًا (−1,2.776×10⁻¹⁶,0)، والثالث e3. هذه قيم مرصودة؛ لا نعتمد ترتيبًا أو إشارة بعينها خارج التشغيل.

محدد V المرصود نحو 2.776×10⁻¹⁶، وليس صفرًا حرفيًا. لذلك لا نسمي V العائمة ذات رتبة جبرية 2؛ برهان الاتجاهين السابق يخص المتجهات الذاتية الدقيقة لـA. أما V المرصودة ففيها اتجاهان شبه متعاكسين، وقيمها المفردة نحو (1.4142,1,1.963×10⁻¹⁶).

matrix_rank يعد القيم المفردة الأكبر من tol. [2]

عند tol=10⁻¹² حصلنا على 2 لـV. إنها نتيجة عددية مرتبطة بالعتبة؛ لا نستبدل بها حل المعادلات الدقيق. طول الأعمدة القريب من الواحد وباقي المعادلة القريب من الصفر لا يبرهنان وجود ثلاثة اتجاهات دقيقة مستقلة في هذا المثال.

التحكم وحدود التجربة

في D=diag(5,5,−2)، متجهات القيمة 5 هي (x,y,0)، دون قيد يزيل y. يسمح ذلك بـe1 وe2 معًا، ومع e3 للقيمة −2 تكتمل ثلاثة اتجاهات مستقلة. التشغيل أعاد I3 هنا، وmatrix_rank عند العتبة المحددة أعاد 3.

فحصنا أيضًا 27 مصفوفة [[λ,k,0],[0,λ,0],[0,0,μ]]: λ من {2,5,8}، وk من {1,4,7}، وμ من {−3,−1,0}. في هذه الشبكة k غير صفري وλ≠μ؛ نفس حل المعادلات يعطي اتجاهين دقيقين. العتبة 10⁻¹² أعادت 2 في جميع الحالات، لكن الإعداد الافتراضي أعاد 2 في 24 حالة و3 في ثلاث.

المثال الرئيسي خارج الشبكة لأن μ=−2؛ فحصناه منفصلًا. نفذنا ثماني مجموعات تحقق لكل حالة وللمثال: 224 فحصًا، بما فيها تحكم قطري مطابق للقيم. لم نفحص إعادة بناء A بمعكوس V، أو مصفوفات مركبة أو حالات عامة قريبة؛ هذه التجربة لا تقدم ضمانًا عامًا للدقة.