يمكن لقوتين أن تبذلا الشغل نفسه خلال الانتقال نفسه وتختلف أعلى قيمة لهما. سنقارن مستطيلًا ومثلثات مؤلفة في رسم القوة مقابل الموضع، ثم نفحص ما الذي تحدده المساحة وما الذي لا تحدده. المجال والحسابات معلنة، والرسوم نماذج رياضية وليست مواصفات جهاز.
الخلاصة السريعة
الشغل يحدد مساحة رسم القوة بالنسبة إلى الموضع في الحالة المعلنة؛ تثبيت المساحة والطول لا يثبت هيئة الرسم أو قمته. [1]
- من0 إلى4م وشغل24جولًا: القوة الثابتة6نيوتن تحقق المساحة، ومثلث بعرض4 وقمة12 يحققها أيضًا؛ القمة ليست وحيدة.
- مثلثات مركزها2 وعروض2 و1 و0.5م، وقمم24 و48 و96نيوتن، كلها تعطي24جولًا؛ القوة صفر خارج دعم كل مثلث.
- المتوسط على المجال الكامل4م هو24/4=6نيوتن في جميع النسخ. القسمة على عرض المثلث وحده تحسب متوسطًا على مجال مختلف.
- للقوة غير السالبة على طول4 لا تقل القمة عن6 إذا كانت المساحة24؛ المستطيل يحقق الحد. عرضb موجب وقمة48/b يوضح عدم وجود سقف مشترك دون قيود إضافية.
- يجب أن يكون0<b≤4 لتبقى مثلثاتنا داخل المجال؛ b=0 غير مقبول. لا نفترض تحقق قوى متزايدة بلا حد في جهاز حقيقي.
- المحور موضع بالمتر لا زمن، والقوة المحددة ليست بالضرورة محصلة القوى. لا نسترجع قدرة أو زمنًا أو أقصى حمل جهاز من شغل24 وحده.
- العرض3 يعطي قمة16، والعرض0.25 يعطي192. في مثلث العرض2 والقمة24: الشغل حتىx=2 هو12، وحتى2.5 هو21، ومن1 إلى1.5 هو3؛ مجال الحساب يحدد المساحة الجزئية.
حدد ما نعرفه عن القوة والمسار
توضح صفحة الشغل في جامعة موناش أن الشغل يقرأ من المساحة الموقعة في رسم القوة مقابل الإزاحة، مع القوة بالنيوتن والمحور الأفقي بالمتر. سنبني رسومًا أصلية موجبة المساحة، ثم نفحص هل معرفة الشغل وطول المسار تكفي لتحديد أعلى قيمة للقوة. [1]
نختار حركة في اتجاه محورx الموجب من0 إلى4 أمتار. الرسم يعرض مركبة قوة معينة في ذلك الاتجاه، ولا نفترض أنه يمثل بالضرورة محصلة كل القوى على الجسم. القوة في أمثلتنا غير سالبة خلال هذا المجال، والشغل لهذه المركبة24 جولًا. الأعداد والمنحنيات مؤلفة، وليست قياسات آلة أو تجربة تحميل. نريد مقارنة أشكال مختلفة للقوة تحت المعلومات نفسها، لا استنتاج قدرة جهاز أو مقدار آمن لقوته. نختار القوة المحددة موازية لمحور الحركة في المقارنة، لذلك تمثل مركبتها الموجبة مقدارها في أمثلتنا؛ هذا لا يجعلها تلقائيًا محصلة بقية القوى.
المحور الأفقي موضع، لا زمن. لذلك لا نعطي المتر معنى الثانية، ولا نقرأ عرض المثلث بوصفه مدة تأثير. نحسب مساحته من امتداد بالمتر وارتفاع بالنيوتن، فنحصل على نيوتن متر، وهي وحدة الشغل بالجول. لا تكفي صورة تتشابه فيها هيئة الخطوط إذا تغير اسم المحور ووحدته؛ قبل مقارنة القوة الأعلى سم الكمية التي يمثلها الرسم وطول المجال الذي سنحسبه.
ابدأ بقوة ثابتة تحقق الشغل
الرسم الأول المستقل قوة ثابتة6 نيوتن خلال الأمتار الأربعة. المساحة مستطيل عرضه4 وارتفاعه6، فيكون الشغل4×6=24 جولًا. أعلى قوة في هذا الرسم6 نيوتن، وهي أيضًا القوة في كل موضع منه. عندما نقسم24 على4 نحصل على6، لكن ذلك لا يثبت وحده أن القوة الأصلية كانت ثابتة؛ الاستنتاج يصح في هذا المثال لأننا صرحنا بثباتها، لا لأن القسمة كشفت شكل الرسم.
يمكن فهم العدد6 الناتج منW/L بوصفه متوسط القوة بحسب الموضع في المجال، حيثW الشغل وL طول الانتقال الموجب4. نعني متوسطًا مرتبطًا بمساحة الرسم، وليس متوسطًا زمنيًا أو متوسطًا حسابيًا لقيم قليلة اختيرت من نقاط متفرقة. إذا بقيت المساحة24 والطول4 فإن هذا المتوسط يبقى6 مهما تغيرت الهيئة التي سنرسمها، بينما قد تتغير القمة. هذه هي العلاقة التي سنختبرها بأمثلة أخرى.
لا نكتب أن القوة تساوي24 نيوتن لأن الشغل24 جولًا. تشابه العدد المكتوب لا يجعل الكميتين متماثلتين. كذلك لا نضع6 بجوار كلمة «أقصى» في جواب مسألة لم تعلن ثبات القوة. نحتاج أن نميز المعطى الذي يصف مساحة كاملة من المطلوب الذي يصف قيمة عند موضع معين. مستطيلنا يقدم حلًا ممكنًا للمعطيات، ولا يقدم برهانًا أنه الشكل الوحيد الذي يستطيع تحقيقها.
قارن مثلثًا يعطي المساحة نفسها
ننشئ مثلثًا جديدًا للقوة على المجال0 إلى4، تبدأ قوته من الصفر وتبلغ12 نيوتن عندx=2 ثم تعود إلى الصفر عندx=4. عرضه4 وارتفاعه12، لذلك مساحته4×12/2=24 جولًا، وهي مساحة المستطيل السابق نفسها. لكن أقصى القوة الآن12 بدل6. تغيير شكل الرسم مع الحفاظ على مساحته أتاح قيمة قمة أخرى، فيكفي هذان المثالان لإبطال استنتاج أن الشغل24 والطول4 يحددان القمة6 وحدها.
في هذا المثلث يكون متوسط القوة بحسب الموضع6 أيضًا، لأن24/4=6. وعند المنتصف نجد قيمة12، بينما عند طرفي المجال نجد الصفر. جمع هذه القيم الثلاث وقسمتها على3 يعطي4، لكنه ليس متوسط القوة المرتبط بالمساحة الذي نحسبه هنا. ثلاث عينات اخترناها لا تمثل المساحة بالتساوي أو تحل محل وصف الخطين المستقيمين. نحتاج طريقة تتفق مع تعريف المتوسط، لا متوسطًا آخر يحمل الاسم نفسه في الإجابة.
القمة12 لا تخبرنا وحدها بالشغل إذا لم نعرف عرض المثلث. مثلث ارتفاعه12 وعرضه2 مساحته12، لا24. في المقارنة الحالية ثبتنا العرض4 ثم اخترنا الارتفاع الذي يحفظ المساحة. لا تحول أي مثلث له القمة نفسها إلى نموذج يحقق المعطيات كلها. افحص المساحة والطول والمواضع معًا، واحتفظ بحدود المجال حتى لا تحسب جزءًا من رسم خارج الانتقال الذي اتفقنا عليه.
ضيق موضع التأثير وارفع القمة
ننشئ مثلثًا آخر مركزهx=2، لكن عرضه2 متر فقط: يبدأ عندx=1 وينتهي عندx=3، وقوته صفر في بقية المجال0 إلى4. نختار قمة24 نيوتن، فتكون مساحة المثلث2×24/2=24 جولًا. لا يتغير طول الانتقال الكلي4 ولا الشغل24، لكن القمة تضاعفت من12 إلى24. عرض المثلث ليس طول الطريق كله في هذه النسخة؛ الجزءان خارج دعمه لا يضيفان مساحة لأن القوة المحددة صفر فيهما.
إذا صار العرض1 متر من1.5 إلى2.5، نختار قمة48 نيوتن، وتظل المساحة1×48/2=24. وإذا صار العرض0.5 متر من1.75 إلى2.25، نختار قمة96، والمساحة0.5×96/2=24 كذلك. هذه رسوم مستقلة للتدريب، لا مراحل زمنية لقوة تجريبية واحدة. تغيرت القمة والعرض بين النسخ، بينما حافظنا على المساحة والمجال الكلي. ولا نستنتج من العرض الأقصر أن مدة التأثير أقصر، لأن السرعة والزمن ليسا معطيين في رسمنا.
يظلW/L مساويًا6 في النسخ كلها، لأننا نقسم على مجال الانتقال الكلي4. أما إذا قسمت24 على عرض المثلث2 فستحصل على12، وهو متوسط مكاني داخل الجزء الذي حصرنا فيه القوة غير الصفرية في تلك النسخة، وليس المتوسط على الطريق كله. سم المجال الذي حسبت عليه المتوسط؛ تغيير المقام يغير السؤال. لا نستخدم نتيجتين بمتوسطين مختلفين بوصفهما دليلًا على تناقض في المساحة نفسها.
اكتب عائلة المثلثات مع مجالها
نرمز إلى عرض المثلث بالمتر بالحرفb، وإلى قمته بالنيوتن بالحرفH. شرط مساحته24 هو bH/2=24، ومنه H=48/b. نضع مركز كل مثلث عندx=2، فيكون الطرف الأيسر2−b/2 والأيمن2+b/2. حتى يبقى الدعم داخل المسار0 إلى4 يجب أن يكون0<b≤4. هذا القيد جزء من النموذج؛ لا نكتب عرضًا سالبًا أو نستخدم مثلثًا يمتد خارج المسار ثم نحسب مساحته الكاملة بوصفها شغلًا داخله.
للعرض4 يكون الدعم0 إلى4 والقمة12. وللعرض2 يكون الدعم1 إلى3 والقمة24. وللعرض1 يكون الدعم1.5 إلى2.5 والقمة48. وللعرض0.5 يكون الدعم1.75 إلى2.25 والقمة96. يمكنك إعادة كل حاصل ضرب من هذه البيانات، فتجد24 جولًا في الحالات الأربع. وفي بقية المجال تكون القوة التي ندرسها صفرًا. هذا الوصف يتيح رسم كل نسخة دون الاعتماد على صورة من مصدر أو استنتاج مواضع من شكل تقريبي غير مسمى.
إذا أردت وصف الرسم كله بصيغة واحدة، فداخل دعم المثلث ترتفع القوة خطيًا من الصفر إلىH ثم تهبط خطيًا إلى الصفر، وخارجه تساوي الصفر. يكفي هذا الوصف الهندسي لحساب المساحات التي نستخدمها. لا نحتاج زمن وصول الجسم إلى المركز أو معدل تغير القوة بالزمن. النموذج يحدد القوة بحسب الموضع، ولذلك يجب ألا تستخرج منه معلومة عن مدة مقطع دون بيانات حركة إضافية.
برهن أن القمة لا تقل عن المتوسط
افترض أن قوة غير سالبة على المجال كله لا تتجاوز مقدارًاM. المساحة تحت رسمها لا تزيد على مساحة مستطيل ارتفاعهM وعرضه4، أي4M. إذا كان شغلها24 فإن24≤4M، ومن ثمM≥6 نيوتن. لذلك لا يمكن أن يحقق الشغل المطلوب رسم غير سالب محصور كله تحت ارتفاع5 مثلًا؛ أقصى مساحة يسمح بها هذا الارتفاع هي20، وهي أقل من24. هذا تعليل حسابي لحد أدنى، وليس استرجاعًا للقمة الفعلية.
الحد6 قابل للتحقيق في مثالنا بالقوة الثابتة6 على الأمتار الأربعة. لهذا لا نستبدله بالحد12 الذي ظهر في أول مثلث. المثلث ذو العرض4 يحتاج قمة12 ليعطي المساحة، لكننا لم نفرض أن الشكل يجب أن يكون مثلثًا في السؤال العام. المستطيل يحقق6، والمثلث يحقق12، وكلاهما يحقق المعطيات الأساسية. تمييز فئة الرسوم التي سمحنا بها يمنع تحويل رقم خاص بشكل محدد إلى حد يزعم أنه يشمل جميع الأشكال.
إذا فرض السؤال شرطًا جديدًا مثل كون القوة صفرًا عند طرفي المجال، فلن يحقق المستطيل الثابت هذا الشرط بنفس صورته، وستحتاج إلى مراجعة الأشكال المقبولة. يبقى الاستدلال24≤4M مفيدًا تحت شرط عدم السلبية والحدM، لكنه لا يقرر وحده هل الحد يتحقق في كل فئة أكثر تقييدًا. نحن أثبتنا قابليته للتحقيق في الفئة التي تضم الرسم الثابت، ولم نحل مسألة أخرى بشروط نهايات أو نعومة لم نعلنها.
بين غياب سقف مشترك في العائلة المختارة
في عائلة المثلثات H=48/b. عندما ننقص العرض الموجب تزيد القمة مع بقاء المساحة24. يستطيع العرض0.25 إعطاء قمة192، ويستطيع العرض0.125 إعطاء384. كل واحد من هذين الرسمين له عرض موجب وقمة منتهية، ويمتد حول المركز2 داخل المسار. لا نقول إن رسمًا واحدًا في هذه الأمثلة له قمة لا نهائية؛ نقول إن المعطيات وحدها لا تمنعنا من إنشاء رسم آخر بقمة أعلى داخل العائلة المثالية.
بعبارة أدق، إذا اخترت سقفًا موجبًا مقترحًاM، يمكن اختيار عرضb أصغر من48/M مع إبقائه ضمن0<b≤4، فتكون القمة48/b أكبر منM. لذلك لا توجد قيمة منتهية واحدة نستطيع اشتقاقها من الشغل24 والمسار4 لتكون سقفًا لكل مثلثات هذه العائلة. هذا إثبات عن مجموعة دوال اخترناها، وليس تقريرًا أن مصدر قوة فعلي يمكنه إنتاج أي قيمة نطلبها. النموذج لم يحدد قيود جهاز أو مادة أو طريقة توليد القوة.
لا نعوضb=0 في العلاقة. القسمة حينئذ غير معرفة، والمثلث الهندسي الذي نستخدمه يحتاج قاعدة موجبة. الاقتراب من الصفر باختيارات موجبة مختلفة يبين غياب السقف في العائلة، لكنه لا يضيف حالة صفر العرض إلى القائمة. كذلك لا نساوي هذه العملية بنبضة زمنية؛ جميع عروضنا بالمتر. الرسم الثاني يعرض تناقص العرض وارتفاع القمة في أمثلة حسابية، مع بقاء كل حاصل bH/2 مساويًا24.
افحص نهاية المسار قبل حفظ المساحة
نختار المثلث ذي العرض2 من1 إلى3 والقمة24. إذا كان الانتقال يصل إلىx=4 فإننا نحسب المثلث كاملًا، فالشغل24. لكن إذا انتهى الانتقال عندx=2 فقط، فإن الجزء المحسوب هو النصف الصاعد من المثلث؛ قاعدته1 وارتفاعه24 ومساحته12. القوة القصوى التي بلغها الجزء لا تزال24، لكن الشغل المحسوب اختلف لأن مجال الانتقال اختلف. لا نأخذ مساحة الرسم الكامل إذا كان السؤال عن جزء منه.
إذا انتهى الانتقال عندx=2.5، نضيف إلى12 مساحة الجزء من2 إلى2.5. القوة تنخفض خطيًا من24 إلى12، فمساحة هذا الجزء شبه منحرف عرضه0.5 ومتوسط ارتفاعيه18، وتعطي9 جول. المجموع21 جول. النصف الأخير من2.5 إلى3 مساحته3، فيكمل24. راجع أن المساحات الجزئية تجمع المساحة الكاملة، وأن الوحدة بقيت نيوتن متر في كل خطوة. لا نستخدم طول الطريق4 بدل عرض الجزء الذي حسبناه.
هذه المقارنة تثبت أيضًا أن معرفة القمة لا تحدد الشغل إذا لم تعرف المدى الذي طبقنا عليه الرسم. وقد تظل القوة خارج الجزء المعني موجودة في ملف رسمك، لكنها لا تدخل العمل المحسوب خلال انتقال أقصر. عند كتابة الجواب اذكر البداية والنهاية والقوة التي تدرسها. هذه البيانات أضيق من اسم جهاز أو جسم على الرسم، لكنها هي التي تحدد أي مساحة تمثل سؤال المسألة.
ميز محور الموضع من محور الزمن
المساحة في رسم القوة بالنيوتن مقابل الموضع بالمتر تحمل وحدة نيوتن متر. إذا كان المحور الأفقي زمنًا بالثانية فإن حاصل الوحدتين نيوتن ثانية، فلا يجوز أن تسمي المنطقة العددية نفسها24 جولًا لمجرد أن المثلث يبدو مماثلًا. الشكل الهندسي وحده لا يحدد اسم الكمية الفيزيائية. في هذه المقالة أبقينا المحور موضعًا ولم نحول أي عرض مكاني إلى فترة زمنية، لأننا لا نملك وصف الحركة عبر الزمن.
لا نستخرج قدرة من24 جولًا دون مدة مناسبة. وحتى إذا أعطيت مدة انتقال في مسألة جديدة فإن قسمة الشغل على الزمن تعالج سؤالًا آخر عن المعدل، ولا تحسم قمة القوة من المساحة وحدها. لا نحتاج إلى حل ذلك السؤال هنا كي نفسر أمثلتنا. يكفي أن تبقى تسميات المحاور والوحدات مع كل رسم حتى لا يستعير القارئ نتيجة من رسم آخر يصف قوة أو زمنًا أو انتقالًا مختلفًا.
كما لا نجعل شغل القوة المحددة تغير الطاقة الحركية تلقائيًا إذا كان الجسم يتأثر بقوى أخرى لم نحسب شغلها. رسومنا تخص المركبة التي أعلنّاها، لا كل القوى في جهاز أو كل أشكال طاقته. قد تكون في مسألة أخرى هي المحصلة بالفعل، لكن ذلك معطى يجب التصريح به. لذلك يظل استنتاجنا عن المساحة والمتوسط والقمة مستقلًا عن حساب سرعة نهائية أو حركة دوران أو تشوه لم يصفه هذا النموذج.
تدرب على عروض أخرى ومجالات جزئية
التدريب الأول: مثلث مركزه2، عرضه3 أمتار، ويجب أن يعطي24 جولًا داخل المسار0 إلى4. نحل3H/2=24 فنحصل علىH=16 نيوتن، ويكون الدعم0.5 إلى3.5. القمة16 لا تساوي المتوسط على الطريق كله6، ولا المتوسط على دعم المثلث8. القيم الثلاث تجيب عن أسئلة مختلفة: أعلى قيمة، ومتوسط على4، ومتوسط على3. اكتب الاسم بجوار كل رقم حتى لا تتبادلها في الحل.
التدريب الثاني: عرض0.25 متر. القمة48/0.25=192 نيوتن، والدعم1.875 إلى2.125، والمساحة0.25×192/2=24. التدريب الثالث: في مثلث العرض2 والقمة24، ما الشغل منx=1 إلىx=1.5؟ القوة عند1.5 تساوي12، والجزء مثلث عرضه0.5 وارتفاعه12، فالمساحة3 جول. هذا جواب لجزء صاعد، وليس المساحة الكاملة24. تغيير نهاية الجزء لا يتطلب تغيير المثلث الأصلي في دفترنا.
في التدريب الرابع نسأل هل قوة غير سالبة لا تتجاوز5 نيوتن تستطيع إعطاء24 جولًا خلال4 أمتار؟ الجواب لا ضمن هذه الشروط، لأن المساحة لا تزيد على20. وإذا سمح السؤال بحد8 فإن مستطيلًا ثابتًا6 يحقق الشغل ولا يتجاوز8، لكن ذلك لا يثبت أن كل شكل بقمة8 يعطي24. راجع الفرق بين وجود شكل ممكن وبين القول إن المعطيات حددت شكله أو ضمنت مساحته دون معلومات أخرى.
| الرسم | عرض الدعم: م | القمة: نيوتن | الشغل على0–4: جول |
|---|---|---|---|
| ثابت | 4 | 6 | 24 |
| مثلث | 4 | 12 | 24 |
| مثلث | 3 | 16 | 24 |
| مثلث | 2 | 24 | 24 |
| مثلث | 1 | 48 | 24 |
| مثلث | 0.5 | 96 | 24 |
| مثلث | 0.25 | 192 | 24 |
اقرأ الرسمين مع شروط المقارنة
الرسم الأول يجمع المستطيل الثابت6 مع مثلثات أصلية مركزها2 وقممها12 و24 و48 و96، على مجال موضع مشترك0 إلى4. اختلاف ارتفاعاتها ظاهر، بينما تعطي كل مساحة24. لا تستخدم عدد الألوان لتقدير عدد القوى المؤثرة معًا؛ كل خط نسخة مستقلة من نموذج المقارنة، لا قوة مضافة إلى بقية الخطوط. جمع المساحات الملونة بعضها إلى بعض سيحل سؤالًا لم نطرحه، لأننا لم نجعل جميع النسخ تعمل في التجربة نفسها.
الرسم الثاني يبين العلاقة H=48/b لاختيار مثلث من العائلة، ويضع نقاط العروض4 و3 و2 و1 و0.5 و0.25 مع قممها12 و16 و24 و48 و96 و192. المحور الأفقي هنا عرض بالمتر، لا موضع الرأس المتحرك ولا زمنًا. تستطيع مراجعة كل نقطة بضرب العرض والقمة وقسمتهما على2. ولا تمد المنحنى إلىb=0 أو إلىعرض أكبر من4 ضمن شروط هذا الرسم؛ المنطقة المعروضة جزء من المجال المعلن.
لا يعرض أي من الرسمين حد تحمل أو شكل قوة مقاسة في مادة. القيود الإضافية على العرض أو القمة أو طريقة التغير قد تستبعد بعض النماذج أو تجعل للمسألة حلًا أكثر تحديدًا. أما في المقارنة التي اخترناها فنحفظ الشغل والطريق ونسمح بأشكال معلنة؛ ولهذا تختلف القمم. الصورة تنظم البيانات الحسابية، ولا تضيف قيودًا لم يكتبها النص أو تحول النماذج إلى توصية باستخدامها في جهاز فعلي.
اكتب جوابًا يفصل المساحة والمتوسط والقمة
يمكن تلخيص الحالة الأساسية بهذا الجواب: الشغل24 جولًا خلال4 أمتار يحدد متوسطًا مكانيًا6 نيوتن، لكنه لا يحدد أقصى القوة وحده. القوة الثابتة تحقق قمة6، والمثلثات المختارة تحقق12 و24 و48 و96 مع الشغل نفسه. تحت شرط القوة غير السالبة لا تقل القمة عن6، وهذا الحد يتحقق بالمستطيل. وفي العائلة المثلثية ذات العرض الموجب المتغير لا يوجد سقف منتهٍ مشترك من المعطيات وحدها.
قبل الحساب اكتب القوة أو المركبة التي يعرضها الرسم، واتجاه الانتقال ومجاله ووحدات المحورين. ثم حدد هل تسأل عن المساحة أو المتوسط على المجال أو أعلى قيمة. إذا كنت تعرف فقط الشغل والطول، فلا تضف ثبات القوة من عندك. وإذا كانت الهيئة مثلثًا معلوم العرض، فاستخدم نصف حاصل ضرب القاعدة والقمة، وراجع الدعم داخل المسار. أما المجال الجزئي فاحسب مساحته وحده بدل استيراد مساحة النسخة الكاملة.
الأعداد والرسوم والعلاقات في هذا الدرس مؤلفة للتدريب، وليست تجربة أجهزة أو اختبارًا لأداء متعلم. استخدمنا فكرة مساحة رسم القوة والموضع من المصدر، ثم بنينا مقارنة وحدودًا حسابية تحت فروض صريحة. لم ننقل مثال الصندوق أو صور المصدر أو نتعامل مع قوة واحدة بوصفها محصلة دون بيان. نتيجة المراجعة هي اتساق المساحات والقمم والمجالات في أمثلتنا، مع بقاء ما لم يعطه النموذج خارج الجواب.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.