قانون الشغل في الفيزياء: الاتجاه والإشارة ومساحة الرسم

ما الشغل، وما الجسم الذي ندرسه؟

الشغل مقدار مرتبط بتأثير قوة خلال إزاحة، وهو إحدى طرق وصف انتقال الطاقة في نموذج ميكانيكي. لا يساوي القوة نفسها؛ فالقوة تقاس بالنيوتن، بينما الشغل يقاس بالجول. قبل الحساب، حدد الجسم والقوة التي تريد حساب شغلها والفترة التي تتحرك خلالها نقطة تأثيرها في النموذج. هذه الأسماء تمنع تحويل أي قوة مذكورة في السؤال إلى شغل كلي دون فحص.

نفترض في أمثلتنا الأساسية حركة انتقالية لجسم يمكن تمثيله بجسيم، وكتلة ثابتة، ومرجع لا يتسارع. لا نحاول وصف كل تفصيل لدوران جسم ممتد أو تشوهه. في هذا السياق، يمكن أن نحسب شغل قوة بعينها، ثم نحسب مجموع شغل القوى المؤثرة في الجسيم. النتيجتان مختلفتان إذا وجدت أكثر من قوة ذات مساهمة غير صفرية.

إذا أثرت قوة 10 نيوتن في جسم بقي موضعه ثابتًا خلال الفترة المقصودة، فإن شغل هذه القوة على الجسم في النموذج يساوي صفرًا لأن الإزاحة صفرية. لا نجعل ذلك حكمًا على الطاقة المستهلكة في آلة أو شخص يحافظ على القوة؛ فقد تجري عمليات أخرى داخل النظام. العبارة الدقيقة تحفظ الجسم المحدد ونوع الشغل الذي حسبناه بدل توسيع النتيجة إلى كل ما يحدث حوله.

[1]

قانون القوة الثابتة: الزاوية جزء من المعطيات

لقوة ثابتة، نكتب W = F d cosθ، حيثF مقدار القوة، وd مقدار الإزاحة بين الموضعين، وθ الزاوية بين متجه القوة ومتجه الإزاحة. في الحالة التي يكون فيها الاتجاهان متوافقين، تكون الزاوية صفرًا وجيب تمامها 1، فيختصر القانون إلى القوة مضروبة في الإزاحة. هذا الاختصار حالة مخصوصة، وليس الصيغة المناسبة لكل قوة مائلة.

يمكن قراءة القانون من مركبة القوة الموافقة للإزاحة. نضرب مقدار القوة في جيب تمام الزاوية لنحصل على هذه المركبة، ثم نضربها في مقدار الإزاحة. إذا كنت قد حسبت المركبة بالفعل، فلا تضرب في جيب تمام الزاوية مرة ثانية. كما يمكنك استعمال مركبات القوة والإزاحة في محاور مناسبة، بشرط الحفاظ على الإشارات والوحدات.

اكتب القوة بالنيوتن والإزاحة بالمتر ليكون الناتج بالجول. وإذا أعطيت الزاوية بالدرجات، تحقق من وضع الحاسبة عند حساب جيب تمامها؛ إدخال 60 في وضع الراديان لا يساوي حساب جيب تمام 60°. لا يكفي أن يكون شكل المعادلة صحيحًا إذا اختلفت وحدة الزاوية التي أدخلتها. وفي الحسابات التعليمية التالية نستعمل الدرجات بوضوح.

[1]

مثال قوة مائلة:24 نيوتن لا تعطي72 جولًا هنا

اخترنا قوة ثابتة مقدارها 24 نيوتن، وإزاحة أفقية مقدارها 3 م، وزاوية 60° بينهما. جيب تمام 60° يساوي 0.5، فتكون المركبة الموازية للإزاحة 12 نيوتن. الشغل لهذه القوة 12 × 3 = 36 جولًا. ومن القانون المباشر،24 × 3 × 0.5 = 36. اتفقت الطريقتان لأنهما تحتفظان بالأثر الاتجاهي نفسه.

أما 24 × 3 = 72 جولًا، فيكون مناسبًا إذا كانت الزاوية صفرًا، لا 60 في معطياتنا. وكذلك فإن 24 × 3 × 0.5 × 0.5 = 18 يحسب العامل الاتجاهي مرتين؛ فقد أخذنا المركبة مرة أولى ثم أعدنا تطبيق جيب التمام عليها. راجع هل الرقم 12 الذي كتبته في سطر القوة هو مقدار القوة كله أو مركبتها الموازية قبل متابعة الضرب.

الجزء العمودي من القوة لا يضيف شغلًا في هذه الإزاحة الأفقية المحددة، لكنه قد يؤثر في شروط الحركة الأخرى، مثل القوة العمودية من السطح. لا نستنتج من شغله الصفري أنه غير موجود. الرسم الرئيسي يبين اتجاه القوة وإسقاطها على اتجاه الإزاحة، ولا يمثل قياسًا لقطعة أو تجربة جر نفذناها.

موجب وسالب وصفر: ما معنى الإشارة؟

مع قوة وإزاحة غير صفريتين، تعتمد إشارة شغل القوة الثابتة على جيب تمام الزاوية بينهما. من الصفر إلى ما قبل 90° تكون الإشارة موجبة. وعند 90° يكون جيب التمام صفرًا. ومن بعد 90° حتى 180° تكون الإشارة سالبة. الزاوية هنا بين متجهين، فنستعمل المجال من 0 إلى 180، ولا نطبق قائمة الزوايا المنعكسة على هذه المقارنة مباشرة.

في القوة 24 نيوتن والإزاحة 3 م، يعطينا الاتجاه الموافق عند 0° شغلًا 72 جولًا، وعند 60° يعطينا 36، وعند 90° صفرًا، وعند 120° سالب 36، وعند 180° سالب 72. احتفظ بالقيمة السالبة في الحساب؛ فهي تحمل معلومة عن اتجاه مساهمة القوة بالنسبة إلى الحركة. أخذ القيمة المطلقة دون طلب يغير النتيجة التي نريد تفسيرها.

شغل سالب لقوة واحدة لا يثبت أن سرعة الجسم تنقص في كل حالة. ربما تبذل قوة أخرى شغلًا موجبًا أكبر، فيبقى المجموع موجبًا. وكذلك لا يكفي شغل قوة موجب للحكم على التغير النهائي في الطاقة الحركية دون بقية القوى. نسمي القوة التي تنتمي إليها الإشارة أولًا، ثم نجمع مساهماتها عند طلب الشغل الصافي.

[1]

كيف يحدث شغل صفري مع وجود قوة أو حركة؟

هناك ثلاث حالات بسيطة للشغل الصفري في القانون المباشر: قوة صفرية، أو إزاحة صفرية، أو قوة عمودية على الإزاحة. في المثال الثالث قد يتحرك الجسم فعلًا، لكن مساهمة القوة المحددة في الشغل تساوي صفرًا. فإذا كانت الإزاحة أفقية، فإن قوة رأسية ثابتة لا تدخل في الشغل لأنها لا تملك مركبة في اتجاه الإزاحة.

وفي حركة دائرية منتظمة لجسيم، يمكن لقوة مركزية عمودية على اتجاه الحركة في كل لحظة أن تغير اتجاه السرعة دون تغيير مقدارها. لا نضرب مقدار هذه القوة في طول القوس ونتجاهل الزاوية؛ نقرأ العلاقة المحلية بين القوة والإزاحة الصغيرة على المسار. مساهمتها في الشغل صفرية في النموذج، مع أن القوة تقوم بدور في تغير اتجاه الحركة.

إذا أعطت مسألة قوة غير صفرية وإزاحة غير صفرية وشغلًا صفرًا، وكان الفرض قوة ثابتة واحدة بالصيغة السابقة، فإن التعامد تفسير مناسب. لكن إذا كان الحديث عن الشغل الصافي لعدة قوى، فقد ينتج الصفر من تعادل شغل موجب وسالب بدل أن تكون كل قوة عمودية. حفظ عبارة شغل قوة واحدة أو شغل صافي يحدد الاستنتاج الذي تسمح به المعطيات.

[1]

الإزاحة والمسار: لماذا لا نضرب في أي مسافة؟

الإزاحة المتجهة تصل موضع البداية بموضع النهاية. أما طول المسار فيصف المسافة التي قطعها الجسم على الطريق. مع قوة ثابتة كمتجه، نستعمل الإزاحة في حاصل الضرب الاتجاهي، ولا نستبدلها بطول مسار متعرج دون تحليل. وقد يتساوى المقداران في حركة مستقيمة في اتجاه واحد، لكن هذا الاتفاق لا يجعلهما اسمين للكمية نفسها في كل حالة.

نفترض قوة ثابتة 10 نيوتن إلى اليمين خلال حركة جسم مترين إلى اليمين ثم مترين إلى اليسار. شغل هذه القوة في الجزء الأول 20 جولًا، وفي الثاني سالب 20، والمجموع صفر. طول الطريق 4 م، لكن الإزاحة النهائية صفر. ضرب 10 في 4 ثم تسمية 40 جولًا شغل هذه القوة في الرحلة كلها يهمل اتجاه الجزء العائد. نحن نحسب قوة محددة مع حركة معطاة، لا نفترض أنها القوة الوحيدة التي صنعت الرحلة.

إذا تغير اتجاه القوة خلال الطريق، فقد نحتاج جمع مساهمات الأجزاء أو التكامل على المسار. فلا ننقل نتيجة القوة الثابتة إلى قوة تحتفظ بمقدارها وتغير اتجاهها دائمًا. في مسائل الاحتكاك البسيطة التي تعاكس الحركة على أجزاء الطريق، يجب قراءة اتجاهها في كل جزء. ابدأ من وصف القوة والمسار قبل اختيار الإزاحة الكلية أو المسافات الجزئية.

[1]

شغل عدة قوى: اجمع بعد أن تحسب كل مساهمة

نضيف إلى مثال القوة المائلة 24 نيوتن مقاومة ثابتة 6 نيوتن معاكسة للإزاحة الأفقية 3 م. شغل القوة المائلة 36 جولًا، وشغل المقاومة سالب 18 جولًا. وإذا كان الوزن والقوة العمودية متعامدين مع هذه الحركة، يكون شغلهما صفرًا. المجموع 18 جولًا، لا 36 ولا سالب 18. وضعت جميع القوى المعطاة في القائمة قبل الجمع، ولم أجعل عنوان القوة الخارجية يشير إلى قوة واحدة تلقائيًا.

المثال يوضح إمكان وجود مقاومة ذات شغل سالب مع محصلة شغل موجبة. وفي فرع مستقل، لو أعطينا المقاومة 14 نيوتن بدل 6، صار شغلها سالب 42 جولًا، والمجموع سالب 6. بقي شغل القوة المائلة 36، لكن تغير الشغل الصافي. هذه مقارنة تعليمية بين معطيات معلنة، وليست مقدار احتكاك قسناه لسطح فعلي.

عند تطبيق مبرهنة الشغل والطاقة، احتفظ بالمجموع نفسه وبالجسم نفسه وبالمرحلة نفسها. لا تجمع شغل قوة خلال 3 م مع شغل مقاومة خلال جزء مختلف من الطريق ثم تقدم الناتج كتغير طاقة لهذه المرحلة. وإذا غابت مساهمة قوة مؤثرة، فقد تكون نتيجة الطاقة غير مكتملة حتى لو كانت عمليات الضرب منفردة صحيحة.

[3]

القوة المتغيرة: مساحة موقعة تحت منحنى المركبة

إذا تغيرت القوة مع الموضع، لا نكتفي بوضع قيمتها النهائية في قانون القوة الثابتة. في حركة على محورx، نقرأ مركبة القوةFx الموافقة لهذا المحور، ونجمع مساهماتها مع تغير الموضع. تمثل العملية حساب مساحة موقعة تحت منحنىFx مقابلx. وعند انتقال الجسم باتجاهx الموجب، تضيف المناطق فوق المحور شغلًا موجبًا والمناطق تحته شغلًا سالبًا.

اخترنا رسمًا تعليميًا تتزايد فيه المركبة خطيًا من 4 نيوتن عند الموضع 0 إلى 10 نيوتن عند الموضع 3 م. المساحة تتكون من مستطيل ارتفاعه 4 وعرضه 3، ومساحته العددية 12، ومثلث ارتفاعه 6 وقاعدته 3، ومساحته 9. الشغل 21 جولًا. ويمكن استعمال مساحة شبه المنحرف أو متوسط القوتين 7 نيوتن مضروبًا في 3، لأن التغير في هذا الرسم خطي تحديدًا.

لو ضربنا القوة النهائية 10 في 3، لحصلنا على 30 جولًا، ولو استعملنا البداية 4 وحدها لحصلنا على 12. كلاهما يهمل الشكل الذي حددناه بين الطرفين. كما أن المحور الرأسي هنا مركبة موازية للمسار، لا مقدار قوة مائلة أخفينا اتجاهها. تسمية المحور ووحدته جزء من الحساب؛ مساحة الرسم بوحدتي نيوتن ومتر تعطي جولًا.

[1]

طرفان متماثلان ورسمان مختلفان

نبني رسمًا ثانيًا يبدأ بالقيمة 4 نيوتن وينتهي بالقيمة 10 خلال المجال نفسه من 0 إلى 3 م. هذه المرة تبقى المركبة 4 نيوتن خلال أول مترين، ثم تصبح 10 خلال المتر الأخير. المساحة 8 جول من الجزء الأول و 10 من الثاني، فيكون الشغل 18 جولًا. يختلف الناتج عن 21 في الرسم الخطي، رغم تساوي قيمتي البداية والنهاية في الحالتين.

يوضح الرسمان لماذا لا نستعمل متوسط الطرفين تلقائيًا إذا لم يوصف التغير بأنه خطي أو يعطَ متوسط صحيح مناسب للموضع. في الرسم القطعي، القوة الأصغر تعمل خلال مسافة أطول من القوة الأكبر، فيتغير وزن كل قيمة في مجموع الشغل. هذا متوسط بالنسبة إلى الإزاحة في الحساب، وليس متوسطًا زمنيًا استنتجناه دون معرفة حركة الجسم عبر الوقت.

القفزة في رسمنا الثاني تمثل نموذجًا قطعيًا مثاليًا لتفسير المساحة، لا إشارة خرج سجلناها من حساس. والقيمة عند نقطة القفزة المفردة لا تغير مساحة المجال في هذا المثال. المطلوب أن تعرف معلومات القوى بين الطرفين، أو الشكل البياني، قبل إعطاء شغل محدد. أضفنا الرسوم الفعلية لتستطيع رؤية المساحتين بدل حفظ وصفهما في جملة فقط.

[1]

عرض الرسم بالحجم الكامل

الشغل الصافي وتغير الطاقة الحركية

في نموذج الجسيم بكتلة ثابتة ومرجع غير متسارع، تساوي محصلة الشغل تغير الطاقة الحركية. نكتب Wnet = Kfinal − Kinitial، والطاقة الحركية للحركة الانتقالية K = ½ m v². السرعة هنا مقدار، ويظهر مربعها في القانون. لا نستبدل التغير في الطاقة بالمجموع، ولا نضع شغل قوة منفردة مكان الشغل الصافي إلا إذا كانت بقية المساهمات صفرية أو أدخلناها بالفعل.

نختار كتلة 3 كغ، وسرعة ابتدائية 2 م/ث، ونهائية 4 م/ث. الطاقة الابتدائية نصف 3 في مربع 2، أي 6 جول. والنهائية نصف 3 في مربع 4، أي 24 جول. التغير 18 جولًا. يتفق هذا مع مثالنا الذي جمع 36 جولًا للقوة المائلة وسالب 18 للمقاومة، تحت الفروض المحددة للحركة الأفقية. استخدمنا جميع المساهمات قبل الربط بالسرعة.

إذا كان الشغل الصافي موجبًا، تزيد الطاقة الحركية في هذا النموذج؛ وإذا كان سالبًا، تنقص. وإذا كان صفرًا، لا يتغير مقدار السرعة بين الطرفين، لكن ذلك لا يثبت عدم الحركة أو ثبات اتجاهها في كل لحظة. وهذه المبرهنة لا تقول إن كل الطاقة في كل جزء من نظام معقد هي طاقة حركية انتقالية؛ حدد النموذج والكمية التي تقارنها قبل التعميم.

[2] [3]

الشغل والطاقة والقدرة: أين يدخل الزمن؟

الشغل يقاس بالجول لأنه يصف مقدارًا من انتقال الطاقة في هذا السياق. أما القدرة فتصف المعدل الذي ينجز به الشغل، وتقاس بالواط. القدرة المتوسطة تساوي الشغل مقسومًا على المدة. قد تكون قيمة الشغل نفسها في مهمتين، مع اختلاف القدرة المتوسطة إذا اختلف الزمن. لا نقسم الشغل على الزمن إلا عندما يكون سؤالنا عن المعدل، لا عن مقدار الشغل نفسه.

في مثال مستقل، نفترض شغلًا 36 جولًا خلال 3 ثوانٍ، فتكون القدرة المتوسطة 12 واط. وإذا أنجز المقدار نفسه خلال 6 ثوانٍ، تصبح 6 واط. لم تتغير 36 جولًا، وإنما تغيرت المدة التي قسمنا عليها. هذه الأرقام لا تعطي كفاءة محرك أو استهلاكه الكهربائي؛ فهي مدخلات تعليمية عن شغل ووقت محددين، وليست بطاقة جهاز.

انتبه إلى الرمزW: نستخدمه متغيرًا للشغل في المعادلة، لكن الحرف نفسه هو الرمز الدولي لوحدة الواط في سياق الوحدات. لذلك اكتب 36 J للشغل، و 12 W للقدرة، بدل 36 W بوصفها نتيجة ضرب قوة في إزاحة. اسم الكمية والوحدة يمنعان التباسًا لا يحله تشابه الحروف على الورقة.

[4]

الجول والنيوتن متر: لماذا لا يصبح العزم شغلًا؟

يمكن كتابة وحدة الشغل كنيوتن مضروبًا في متر، ويساوي ذلك جولًا. لكن عزم القوة يستعمل أيضًا نيوتن متر، مع أنه يصف أثرًا دورانيًا حول محور وليس الشغل المنقول خلال إزاحة. تشابه الأبعاد لا يجعل الكميتين متطابقتين. وإذا أردت الشغل الدوراني، تحتاج علاقة مناسبة مع الإزاحة الزاوية والفرض عن تغير العزم، لا قيمة العزم وحدها.

يمكن مراجعة هذا الفرق بقراءة شرح عزم القوة وذراعها العمودي. في هذا الدليل ركزنا على الشغل الانتقالي ومركبة القوة في اتجاه الإزاحة. لا تنقل جيب الزاوية من قانون العزم إلى قانون الشغل؛ القانون هنا يستخدم جيب التمام للزاوية بين القوة والإزاحة.

وفي تحويل الوحدات، راجع أن 250 سم تساوي 2.5 م، لا 250 م. قوة 12 نيوتن خلال 2.5 م في الاتجاه نفسه تبذل 30 جولًا. وإذا أهملت تحويل السنتيمتر، فقد تحصل على 3000 مع كتابة جول، وهي أكبر بمئة مرة من النتيجة المقصودة. دقة اسم الوحدة لا تصحح مدخلًا عدديًا لم يتحول بصورة صحيحة.

عكس القانون: متى لا تحدد البيانات قوة واحدة؟

إذا أعطاك تمرين الشغل 36 جولًا والإزاحة 3 م والزاوية 60°، تستطيع حساب القوة من القسمة 36 على حاصل 3 في 0.5، فتجد 24 نيوتن. ثم تعيد الضرب للتحقق من 36. لكن معرفة الشغل 36 والإزاحة 3 وحدهما لا تحدد القوة دون اتجاهها؛ قد تعطي قوة 12 نيوتن الموافقة للإزاحة الشغل نفسه، كما تعطي 24 عند 60 في مثالنا.

إذا كانت الزاوية 90°، فإن مقام العلاقة العكسية يحتوي جيب تمام يساوي صفرًا. لا نقسم عليه لإنتاج قوة من الشغل. في حالة شغل صفري مع التعامد، يمكن لقيم متعددة للقوة أن توافق المعطيات، فلا توجد قوة واحدة تحددها هذه الأرقام. أما شغل غير صفري مع قوة ثابتة عمودية تمامًا وإزاحة معلومة فيخالف النموذج الذي اخترناه.

وعندما تكون القوة متغيرة، لا تحاول من شغل إجمالي واحد استعادة الرسم كله. الرسومان اللذان اخترناهما يظهران أن شكل التغير جزء مستقل من المعطيات. قد تحقق رسوم أخرى مقدار الشغل نفسه مع قيم مختلفة في أجزاء المجال. اكتب ما يعرفه السؤال عن القوة والزاوية والمسار قبل إعادة ترتيب معادلة تصلح لحالة أضيق.

تمارين أصلية مع حلول قصيرة

التمرين الأول: قوة 18 نيوتن معاكسة لإزاحة 2 م؛ شغلها سالب 36 جولًا لأن الزاوية 180° وجيب تمامها سالب 1. أما القوة 18 في اتجاه الإزاحة نفسها، فتبذل موجب 36. النتيجتان متساويتان في المقدار ومختلفتان في الإشارة. وإذا كانت القوة عمودية على الإزاحة، يكون شغلها صفرًا، ولا تحتاج ضربًا إضافيًا لمجرد أن مقدارها معروف.

التمرين الثاني: مركبة قوة 4 نيوتن تعمل خلال أول مترين باتجاه المحور الموجب، ثم مركبة سالب 3 نيوتن خلال المتر التالي. الجزء الأول 8 جول، والثاني سالب 3، والمجموع 5 جول. جمع مساحتي المقدارين دون الإشارات سيعطي 11، وهو لا يمثل الشغل لهذه القوة في المثال. راجع محور القوة وموقع المنطقة فوق الصفر أو تحته.

التمرين الثالث: جسيم كتلته 2 كغ تتغير سرعته من 1 إلى 3 م/ث؛ تغير طاقته الحركية 1 إلى 9 جول، أي 8 جول، وهذا هو الشغل الصافي في النموذج. وفي تمرين رابع، مجموع شغلين موجب 12 وسالب 12 يساوي صفرًا. لا يعني ذلك أن الجسم لم يتحرك؛ يعني أن تغير الطاقة الحركية بين الطرفين صفري عند انطباق الفروض. سمّ كل نتيجة قبل جمعها أو تفسيرها.

قائمة مراجعة قبل كتابة الجواب النهائي

ابدأ بتحديد الجسم والقوة أو القوى التي تدرسها، ثم اقرأ هل هي ثابتة أو متغيرة. للثابتة، اكتب الإزاحة والزاوية بين المتجهين ووحدات كل كمية. وللمتغيرة، ابحث عن وصف المسار ومركبة القوة المناسبة أو الرسم البياني. لا تستعمل المسافة الكلية تلقائيًا، ولا تستنتج شكل القوة من قيمتي البداية والنهاية فقط. اختيار القانون يتبع الفرض الذي يصف الحالة.

بعد الحساب، راجع الإشارة والوحدة. زاوية 90 لا تعطي شغلًا موجبًا في القانون المباشر، وقوة معاكسة تحتاج إشارة سالبة. وحين تربط الشغل بالطاقة الحركية، اجمع كل المساهمات في المرحلة نفسها واحتفظ بفرض الجسيم والكتلة الثابتة والمرجع غير المتسارع. إذا كان الناتج قدرة متوسطة، فاذكر الزمن ووحدة الواط؛ وإذا كان شغلًا، فاحتفظ بالجول.

الرسوم والأعداد هنا تعليمية مستقلة، وليست قياسات تجربة أو مواصفات جهاز. يمكنك إعادة كل جمع وضرب من المعطيات المعروضة. الفائدة من المراجعة أن تعرف هل أخطأت في المركبة أو الزاوية أو الوحدة أو في اختيار شغل قوة واحدة بدل المجموع. كتابة هذا السبب بجانب الحل تجعل النتيجة قابلة للفهم، بدل أن تبدو رقمًا صحيحًا لا نعرف أي سؤال يجيب عنه.