مبرهنة مورلي: أثلاث الزوايا ترسم مثلثًا متساوي الأضلاع

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة مورلي على أن تقاطعات أشعة تثليث الزوايا الداخلية المتجاورة مع كل ضلع من أضلاع مثلث مستوٍ غير منعدم تشكل مثلثًا متساوي الأضلاع. [1]

• تثليث الزاوية يقسمها إلى ثلاثة أجزاء متساوية بواسطة شعاعين داخليين. لكل ضلع، اختر من كل طرف الشعاع الأقرب إلى ذلك الضلع. تنتج ثلاثة تقاطعات؛ لا تختَر أي زوج عشوائي من الأشعة.
• في المثلث A=(−1,0)، B=(1,0)، C=(0,1)، الزوايا 45 و 45 و 90 درجة. أثلاثها 15 و 15 و 30 درجة؛ لا تخلط 15 درجة عند A مع زاوية التنصيف 22.5 درجة.
• ضع t=2−√3. تقاطع الشعاعين الأقرب إلى AB هو P=(0,t)، وإلى BC هو Q=(t/2,1/2)، وإلى CA هو R=(−t/2,1/2). الأشعة الستة تحقق التقسيم إلى أثلاث في المثال.
• مربعات PQ و QR و RP متساوية وتساوي 7−4√3، وهو t². لذلك طول كل ضلع t، ومساحة المثلث الداخلي√3t²/4. مساحة المثلث الأصلي 1 وحدة مربعة.
• استبدال P بتقاطع الشعاعين الآخرين من A و B يعطي E=(0,√3/3). عندئذ EQ²=ER²=t²/3، بينما QR²=t²؛ لذا EQR ليس متساوي الأضلاع، رغم أن الأشعة المستخدمة أشعة تثليث داخلية.
• حساب المثال لا يثبت المبرهنة لجميع المثلثات؛ المرجع يقدم البرهان العام. اختيار الأزواج الداخلية المتجاورة أساسي. تكبير النموذج بعامل 2 يضاعف الأطوال ويجعل المساحات أربعة أمثالها؛ النقل والدوران يحفظان المساواة.

اختر شعاعين متجاورين مع كل ضلع

إذا كان قياس زاوية 45 درجة، فإن تثليثها يعطي ثلاثة أجزاء قياس كل منها 15 درجة. نحتاج إلى شعاعين داخل الزاوية: الأول بعد 15 درجة من أحد الضلعين، والثاني بعد 30 درجة من الضلع نفسه. التنصيف عملية أخرى؛ يقسم الزاوية إلى جزأين بشعاع واحد.

في إنشاء مورلي، نأخذ لكل ضلع شعاعي التثليث الداخليين الأقرب إليه، واحدًا من كل طرف. تتقاطع الأزواج الثلاثة في رؤوس مثلث متساوي الأضلاع. [1] كلمة المتجاورة تحدد الاختيار، وليست وصفًا يمكن إغفاله.

سمّ التقاطع المرتبط بالضلع AB باسم P، والمرتبط بالضلع BC باسم Q، والمرتبط بالضلع CA باسم R. ترتيب هذه الأسماء يساعد على مراجعة أي شعاع استُخدم. لا نبحث عن نقطة واحدة تجمع الأشعة الستة، بل عن ثلاثة تقاطعات محددة.

في الرسم الرئيسي، الحدود الخارجية داكنة، وقطع أشعة التثليث رمادية، والمثلث الداخلي بنفسجي. القطع المرسومة تصل الرؤوس إلى التقاطعات؛ الشعاع نفسه يستمر في اتجاهه. المثال حساب هندسي، وليس قياسًا من صورة.

راجع زوايا المثلث والأشعة الستة

اختر A=(−1,0)، B=(1,0)، C=(0,1). طول AB يساوي 2، وطولا AC و BC يساويان√2. المتجهان من C إلى A وإلى B هما (−1,−1) و (1,−1)، وضربهما الداخلي صفر؛ لذلك زاوية C قائمة.

الزاويتان عند A و B تساويان 45 درجة. عند A، يمتد AB في الاتجاه الأفقي، ويميل AC بزاوية 45 درجة؛ شعاعا التثليث في اتجاهي 15 و 30 درجة. عند B، اتجاه BA هو 180 درجة واتجاه BC هو 135 درجة، فتكون الأشعة في اتجاهي 165 و 150 درجة.

من C، اتجاه CB هو −45 درجة واتجاه CA هو −135 درجة بالنسبة إلى المحور الأفقي. الأشعة الداخلية عند −75 و −105 درجة تفصل الزاوية القائمة إلى ثلاثة أجزاء قياس كل منها 30 درجة. الزوايا السالبة هنا تحدد الاتجاه من المحور الأفقي، ولا تعني زوايا داخلية سالبة.

الجدول يربط كل رأس بقياس زاويته وقياس الثلث وقطع الأشعة المختارة. لا تستعمل 22.5 درجة عند A أو B؛ فهذا نصف 45، بينما المطلوب ثلث 45. اختيار زاوية مختلفة يغيّر نقاط التقاطع.

احسب التقاطعات الثلاثة بدل تقديرها من الرسم

ضع t=2−√3، وهو عدد موجب أصغر من 1. القيمة t هي ميل الشعاع بزاوية 15 درجة؛ أما ميل الشعاع بزاوية 30 درجة فهو 1/√3. يمكن التحقق من الأولى بهوية ظل فرق الزاويتين 45 و 30 درجة.

الشعاع AP يحقق y=t(x+1)، والشعاع BP يحقق y=t(1−x). بمساواة القيمتين نحصل على x=0، ثم y=t. إذن P=(0,t)، وهو التقاطع الذي يجاور AB.

الشعاع BQ يحقق y=(1−x)/√3، والشعاع CQ يحقق y=1−(2+√3)x. حلهما يعطي Q=(t/2,1/2). بالتعويض في الأولى، نجد (1−t/2)/√3=1/2؛ وفي الثانية نجد 1−(2+√3)t/2=1/2 لأن (2+√3)t=1.

التناظر حول المحور الرأسي يعطي R=(−t/2,1/2). ويمكن فحصه من الشعاع AR الذي يحقق y=(x+1)/√3، والشعاع CR الذي يحقق y=1+(2+√3)x. كلاهما يعطي 1/2 عند x=−t/2.

هذه الإحداثيات تقع داخل المثلث الأصلي، وليست على امتداد خارجي لأحد أضلاعه. مثلًا P يرتفع عن AB، و Q و R يقعان بين ضلعي المثلث عند الارتفاع 1/2. الاحتفاظ بالجذر في t يمنع اختلاف الأطوال بسبب التقريب المبكر.

قارن مربعات الأطوال واحسب المساحة

بما أن Q و R على الارتفاع نفسه، فإن QR طوله t: الفرق الأفقي بين t/2 و −t/2 هو t. لذلك QR²=t²=7−4√3. هذه قيمة موجبة، لأن t نفسه موجب.

المتجه من P إلى Q هو (t/2,1/2−t). والفرق الرأسي 1/2−t يساوي√3−3/2، ويساوي أيضًا√3t/2. لذلك PQ²=t²/4+3t²/4=t². وبالتناظر، RP²=t² أيضًا.

تساوي مربعات الأطوال الثلاثة مع كونها موجبة يثبت تساوي الأطوال، لا مجرد تشابه الشكل في الصورة. لهذا المثلث ثلاث زوايا قياس كل منها 60 درجة. الجدول يضع أطوال النموذج الصحيح بجوار حالتي المقارنة اللتين سنستخدمهما لاحقًا.

القطعة QR قاعدة طولها t، والمسافة العمودية من P إلى خطها هي√3t/2. إذن مساحة PQR هي√3t²/4. أما مساحة ABC فمن القاعدة 2 والارتفاع 1 تساوي 1. لا ننقل قياس الضلع 2 من المثلث الكبير إلى المثلث الداخلي.

إذا كانت إحداثيات النموذج بوحدة السنتيمتر، فطول كل ضلع داخلي (2−√3) سم، ومساحته√3(2−√3)²/4 سم². وحدة المساحة مربعة، بينما وحدة طول الضلع خطية.

غيّر زوجًا واحدًا من الأشعة واختبر النتيجة

من A، اختر الشعاع عند 30 درجة بدل الشعاع عند 15 درجة المرتبط بالقاعدة AB. ومن B، اختر الشعاع عند 150 درجة بدل 165 درجة. يحقق الأول y=(x+1)/√3 والثاني y=(1−x)/√3، فتقاطعهما E=(0,√3/3).

كلا الشعاعين جزء من تثليث صحيح للزاوية عند رأسه، لكنهما ليسا الشعاعين الأقرب إلى AB. أبقِQ و R كما كانا، ثم قارن أطوال EQR. لدينا QR²=t²، بينما EQ²=ER²=t²/3.

يمكن مراجعة الأخيرة من الفرق الأفقي t/2 والفرق الرأسي√3/3−1/2، الذي يساوي√3t/6. مربع الطول هو t²/4+3t²/36=t²/3. إذن الضلعان EQ و ER متساويان، لكنهما أقصر من QR؛ المثلث متساوي الساقين ولا يحقق النتيجة المطلوبة.

الرسم الداخلي يكبّر مثلثي PQR و EQR بالمقياس نفسه. القاعدة QR مشتركة الطول في المقارنة، لكن موقع الرأس تغير؛ تساوي الساقين وحده لا يجعل المثلث متساوي الأضلاع.

هذا المثال يوضح الخطأ في عبارة «أي تقاطعات لأشعة التثليث تصنع مثلثًا متساوي الأضلاع». النتيجة تحتاج إلى الأزواج التي حددها الإنشاء. إذا خرجت نتيجة الحساب مختلفة، فراجع اختيار كل شعاع قبل تغيير الأرقام.

ميز تحقق المثال من البرهان العام

المبرهنة لا تشترط أن يكون المثلث الأصلي قائمًا أو متساوي الساقين؛ المثال المختار يسهل الحساب فقط. المرجع يثبت تساوي أضلاع مثلث مورلي في الحالة العامة. [1] الحساب الإحداثي هنا تحقق مستقل لهذا النموذج، وليس إعادة كتابة لذلك البرهان.

الحديث عن الزوايا الداخلية لمثلث مستوٍ ذي مساحة موجبة، وعن الأزواج الأقرب إلى الأضلاع. لا نبدل أشعة داخلية بامتدادات خارجية أو نغير أحد الأزواج ثم ننسب النتيجة إلى الإنشاء نفسه. المثلث المنعدم لا يوفر ثلاث زوايا داخلية موجبة لتقسيمها بهذه الطريقة.

عند تكبير جميع الإحداثيات بعامل 2، يصبح طول الضلع الداخلي 2t، ومربع الطول 4t²، وتصبح مساحة المثلث الداخلي√3t². مساحة المثلث الأصلي تصبح 4؛ لذا تبقى نسبة المساحتين√3t²/4 كما كانت.

نقل جميع النقاط بمقدار (1,−2) أو تدويرها بزاوية قائمة يحفظ قياسات الزوايا والأطوال، فتظل الأضلاع الداخلية متساوية. لا تحتاج إلى إعادة تعريف التقاطعات من شكل الرسم بعد النقل؛ انقل النقاط والأشعة معًا.

ابدأ بتقسيم كل زاوية إلى ثلاثة أجزاء، ثم اربط كل تقاطع بالضلع الذي يجاوره. بعد ذلك افحص الاتجاهات أو الإحداثيات، وقارن الأطوال بالقيمة الدقيقة. التمييز بين هذه الخطوات يمنع الخلط بين تنصيف الزاوية وتثليثها أو بين زوج صحيح وزوج آخر من الأشعة.