كيف قاس إراتوستينس محيط الأرض؟ شرح الظل والحساب

ما السؤال الذي حاول إراتوستينس الإجابة عنه؟

تضع الجمعية الفيزيائية الأمريكية عمل إراتوستينس في سياق القرن الثالث قبل الميلاد، حين كان يدير مكتبة الإسكندرية. لم تكن فكرة كروية الأرض جديدة في ذلك السياق؛ كان السؤال هو مقدار حجمها. وتعرض الرواية المعروفة مقارنة اتجاه الشمس وقت الظهر في الإسكندرية بما ورد عن سيين، قرب أسوان اليوم. استخدم التقدير افتراض أشعة متوازية تقريبًا وموقعين على خط زوال واحد، مع وقوع الشمس فوق الموقع الجنوبي مباشرة؛ وهذه تبسيطات لا تطابق الوضع الجغرافي تمامًا. [1]

التمييز بين معرفة الشكل وتقدير الحجم مهم لفهم الإنجاز. عندما تعرف أن جسمًا دائري، فأنت لم تعرف بعد طول محيطه؛ فالدائرة الصغيرة والكبيرة تشتركان في الشكل وتختلفان في المقاس. السؤال الذي ندرسه هنا هو كيف نصل من جزء يمكن وصفه إلى دورة كاملة يصعب قياسها مباشرة. سنستخدم كلمة «نموذج» كلما افترضنا كرة مثالية، وكلمة «مثال» للأعداد التي نختارها للشرح، حتى لا يتحول تمرين حديث إلى رواية عن أداة أو رحلة أو قراءة تاريخية لم نوثقها.

كيف تتحول زاوية صغيرة إلى محيط كامل؟

يعرض شرح ناسا العلاقة الأساسية: حصة الزاوية من الدائرة الكاملة تساوي حصة القوس المقابل من المحيط. فإذا رمزنا لطول القوس بالحرف س، وللزاوية المركزية بالرمز θ مقاسة بالدرجات، فإن المحيط يساوي س مضروبًا في 360 ثم مقسومًا على θ. هذا هو الحساب الذي يربط معلومة محلية بحجم الدائرة. ولا تعني المسافة هنا طول ظل العصا؛ بل المسافة على سطح النموذج بين موقعي الرصد، في الاتجاه الموافق للزاوية المركزية. [2]

لتصور المعنى، ارسم دائرة ومركزها على ورقة، ثم شعاعين يخرجان من المركز إلى نقطتين على الحافة. الجزء المنحني بين النقطتين هو القوس، أما الخط المستقيم الذي يصل النقطتين من داخل الدائرة فهو وتر مختلف عنه. إذا قسمت الدائرة إلى أقواس متساوية، فإن عدد الأقواس اللازمة لإكمالها يساوي عدد مرات تكرار الزاوية الصغيرة داخل الدورة الكاملة. لهذا نضرب المسافة في عامل التكبير، ولا نقسمها عليه للحصول على المحيط الأكبر.

يمكنك فحص اتجاه الحساب قبل استعمال الآلة: زاوية صغيرة تقابل جزءًا صغيرًا من الدائرة، فيجب أن يكون المحيط أكبر من ذلك القوس. وإذا خرجت لك نتيجة أصغر من المسافة التي بدأت بها، فراجع موضع البسط والمقام. هذا فحص منطقي لنتيجة المعادلة في النموذج، وليس بديلًا من التأكد أن المسافة والزاوية المقاسوَتين تصفان الجزء نفسه فعلًا.

كيف نستخرج الزاوية من طول الظل؟

في مثلث قائم، تساوي دالة الظل طول الضلع المقابل للزاوية مقسومًا على طول الضلع المجاور لها، كما يوضح كتاب أوبنستاكس. نطبق ذلك على قضيب رأسي وسطح أفقي وشعاع يصل رأس القضيب بنهاية ظله. إذا اخترنا الزاوية عند رأس القضيب بين الرأسي والشعاع، كان طول الظل ضلعها المقابل وارتفاع القضيب ضلعها المجاور. نستخدم النسبة لاستخراج الزاوية بالدالة العكسية، مع ضبط الآلة على الدرجات حين سنضع الناتج في معادلة تستخدم 360 درجة. [3]

لنأخذ مثالًا من إعدادنا: ارتفاع القضيب مئة سنتيمتر، وطول ظله نحو عشرة سنتيمترات ونصف، وبصورة أدق 10.5104 سنتيمتر. قسمة الطول الثاني على الأول تعطينا نحو 0.105104. الزاوية التي يكون ظلها هذه النسبة تقارب ست درجات. لا تكتب أن الزاوية تساوي عشرة ونصف درجة لأن الظل بهذا الطول؛ السنتيمتر وحدة طول، والدرجة وحدة زاوية، والانتقال بينهما احتاج إلى ارتفاع القضيب أيضًا.

ولو ضاعفت ارتفاع القضيب وطول الظل معًا، تبقى النسبة نفسها، فتظل الزاوية نفسها. هذه ملاحظة حسابية مفيدة: ظل أطول لا يعني وحده زاوية أكبر إذا تغير ارتفاع القضيب. أما عند تنفيذ قياس فعلي فيلزم أن يبدأ الارتفاع من مستوى السطح الذي قيس عليه الظل؛ لا تتجاهل قاعدة مرتفعة ثم تدخل طول العصا وحده. الصورة المصاحبة توضيحية، ولا نستخرج أرقام هذا المثال منها.

مثال حسابي: قوس طوله 660 كيلومترًا

نفترض الآن كرة مثالية وموقعين على خط زوال واحد، بينهما قوس طوله 660 كيلومترًا. ونفترض أن الشمس فوق الموقع الأول مباشرة، بينما تبعد عن الرأسي في الثاني ست درجات. هذه شروط اختيرت للمثال، وليست تقريرًا عن مدينتين حقيقيتين. الدورة الكاملة تتسع لستين زاوية من هذا المقدار، لأن قسمة 360 على ستة تساوي ستين. لذلك نضرب طول القوس في ستين، فنحصل على 39600 كيلومتر.

لفحص النتيجة بالعكس، نقسم المحيط الذي وجدناه على ستين؛ ينبغي أن نعود إلى 660 كيلومترًا. ويمكن حساب حصة القوس من المحيط: واحد على ستين، أي نحو 1.667 في المئة. لا نستخدم ستة في المئة لأن الزاوية ست درجات؛ النسبة تحتاج قسمة الست درجات على الدائرة الكاملة، لا استبدال رمز الدرجة بعلامة النسبة المئوية. هذه خطوة صغيرة لكنها تمنع خلط وحدتين تختلفان في المرجع.

وإذا أردنا نصف قطر الكرة الافتراضية، نقسم المحيط على ضعفي ط، فنحصل على نحو 6303 كيلومترات بعد التقريب إلى أقرب كيلومتر. أما القطر فهو ضعف نصف القطر، ويقارب 12605 كيلومترات عند الحساب من القيمة غير المقربة. اختلاف الأرقام الثلاثة طبيعي لأنها تصف مسارات وأطوالًا مختلفة: دورة حول الكرة، ومسافة من المركز إلى السطح، ومسافة عبر المركز من طرف إلى طرف. لم نقس هذه الأطوال في الطبيعة، بل استنتجناها داخل المثال.

ماذا لو ظهر ظل في الموقعين؟

لا يشترط في التفسير الهندسي العام أن تكون إحدى الزاويتين صفرًا، لكن يجب الاحتفاظ باتجاه كل زاوية. تصور مقطع الزوال نفسه ورأسيين محليين للموقعين، مع أشعة متوازية. إذا كانت الشمس على الجهة نفسها من الرأسي عند كليهما، وكانت زاويتا بعدها عن الرأس ثماني عشرة وأربعًا وعشرين درجة، فالفرق بين اتجاهي الرأسيين ست درجات. نستخدم هذا الفرق للجزء الواقع بين الموقعين، ولا ندخل أربعًا وعشرين وحدها كأن الموقع الآخر بلا ظل.

أما إذا كان اتجاه الشمس بين الرأسيين في ذلك المقطع، وكانت الزاويتان على جهتين متقابلتين، فالفصل بين الرأسيين يساوي مجموع المقدارين: اثنتين وأربعين درجة في المثال نفسه. لذلك لا تكفي قائمتان من أطوال موجبة دون معرفة الاتجاه. ارسم سهمًا يمثل اتجاه الشمس، ثم ضع الرأسيين على جانبه نفسه أو على جانبيه وفق الحالة التي تفترضها. يتضح عندئذ لماذا يكون الطرح صحيحًا في ترتيب والجمع صحيحًا في ترتيب آخر، مع بقاء كل زاوية موجبة في القياس المنفرد.

هذه الأمثلة الهندسية لا تبرر طرح قياسين مأخوذين في أي وقت ومن أي مدينتين. يلزم أن تتوافق ظروف المقارنة مع النموذج الذي استعملته. كما أن اختلاف خطي الطول يضيف مسألة زمنية وهندسية لا يحلها تجاهل اتجاه الظل أو اعتماد مسافة طريق متعرج بين العنوانين.

لماذا نهتم بالظهر الشمسي واتجاه القياس؟

تعرّف نوا الظهر الشمسي بأنه وقت عبور الشمس خط زوال الراصد، وتوضح أن اتجاه ظل قضيب رأسي عندئذ يكون شمالًا أو جنوبًا بحسب الموقع والفصل، عندما يوجد ظل. وتفصل بين الزاوية المقاسة من فوق الرأس والارتفاع المقاس من الأفق؛ إحداهما متممة الأخرى. كما يرتبط التوقيت المدني بالمناطق الزمنية، بينما يتحدد الظهر الشمسي للموقع واليوم. لذا لا تفترض أن موعده دائمًا الثانية عشرة على ساعتك، ولا تبدل زاوية البعد عن الرأس بارتفاع الشمس. [4]

في مثال الست درجات، يكون الارتفاع الهندسي فوق الأفق أربعًا وثمانين درجة. لو وضعت هذا العدد مكان الستة في مقام المعادلة، فستجيب عن قوس مختلف تمامًا. قبل الحساب، سمِّ الزاوية كتابة: «من الرأسي» أو «من الأفق». وفي ورقة رصد حقيقية سجّل المكان واليوم والتوقيت وطريقة تحديد الظهر؛ أما في التمرين الورقي فاكتب أن هذه شروط مفترضة. ولا تنظر إلى الشمس مباشرة لقياسها؛ العمل هنا على الظل والمعلومات الهندسية، وليس على توجيه العين أو منظار نحو قرص الشمس.

كيف يؤثر خطأ صغير في النتيجة؟

نثبت مسافة مثالنا عند 660 كيلومترًا، ونغير الزاوية وحدها. إذا أدخلنا 5.8 درجة بدل الست، نحصل على نحو 40965.5 كيلومتر. وإذا أدخلنا 6.2 درجة يصبح الناتج نحو 38322.6 كيلومتر. السبب ظاهر من القسمة: تصغير المقام يزيد الناتج ما دامت المسافة ثابتة وموجبة. الفرق ليس متماثلًا تمامًا على جانبي القيمة الأصلية، لأننا نقسم على الزاوية ولا نطرح منها مقدارًا ثابتًا بعد الحساب.

وفي الصف الأخير أبقينا الزاوية ست درجات ورفعنا المسافة إلى 670 كيلومترًا. ارتفع الناتج ستمئة كيلومتر، لأن عامل التكبير بقي ستين وضرب فرق المسافة، وهو عشرة كيلومترات، في هذا العامل. زيادة المسافة هنا نحو 1.515 في المئة، وهي نسبة زيادة المحيط نفسها. نقارن كل صف بالأساس، لا بالصف الذي يسبقه، حتى لا نجمع أثر تغيير الزاوية والمسافة وننسبه إلى متغير واحد.

هذه المقارنة تبين حساسية الحساب، لكنها ليست تقديرًا لاحتمال الخطأ في تجربة فعلية. لم نجمع قراءات متكررة ولم نعاير أداة؛ لذلك لا نضع بجانب النتيجة «هامش ثقة» أو «دقة مثبتة». إذا تغيرت المسافة والزاوية معًا فقد تتعاضد آثارهما أو تتعادل جزئيًا. قرب الناتج النهائي من رقم معروف لا يكفي وحده لإثبات صحة كل خطوة، كما أن كثرة المنازل العشرية على شاشة الآلة لا تحسن المدخلات التي أعطيتها لها.

لماذا تختلف تقديرات دقة النتيجة التاريخية؟

يذكر مؤرخا الرياضيات في جامعة سانت أندروز أن كتاب إراتوستينس عن قياس الأرض مفقود، وأن تفاصيل انتقلت في أعمال مؤلفين آخرين. ويعرضان نتيجة مقدارها 250000 ستاديون، مع نقاش طول هذه الوحدة القديمة وتأثيره في الحكم على الدقة. هذا يعني أن الرقم المحول إلى كيلومترات يعتمد على قيمة نختارها للوحدة، وليس مجرد قراءة حديثة مباشرة لقياس محفوظ بالكامل. ولا ينبغي اختزال النقاش التاريخي في نسبة خطأ واحدة قطعية من دون بيان مصدرها وافتراضاتها. [5]

لإظهار أثر الوحدة فقط، افترض حسابيًا أن لدينا مئتين وخمسين ألف وحدة طول، وأن قيمة الوحدة في فرض أول 0.16 كيلومتر وفي فرض ثان 0.17 كيلومتر. ينتج أربعون ألف كيلومتر في الأول واثنان وأربعون ألفًا وخمسمئة في الثاني. هذان معاملان اخترناهما للتوضيح، ولا نقدمهما حسمًا لطول الستاديون الذي استعمله العالم. بقي عدد الوحدات ثابتًا، لكن تفسير الوحدة غيّر الناتج؛ لذلك يجب فصل الخلاف في التحويل عن خطأ الضرب نفسه.

ما حدود النموذج الكروي الذي استخدمناه؟

يوضح شرح نوا للجيوديسيا أن الكرة أبسط النماذج الرياضية لشكل الأرض، وأن الإهليلج يمثل بصورة أفضل تفلطحها عند القطبين وانتفاخها عند الاستواء. ويختلف عنه الجيويد، المرتبط بتمثيل متوسط مستوى البحر وتأثير توزيع الكتلة والجاذبية. لذلك ليست الأرض كرة تامة ذات نصف قطر واحد لجميع الاتجاهات، ولا تعني تضاريس الجبال والوديان أن كل مسار فوق السطح يصلح «محيطًا» واحدًا نقارنه مباشرة بالحساب المدرسي. [6]

قيمة المثال أنه يوضح استدلالًا محددًا: من قوس وزاوية متوافقين إلى محيط في نموذج معلن. وعند كتابة نتيجتك، اذكر المسافة والزاوية والافتراضات قبل رقم المحيط، ثم بيّن إن كانت الأعداد تعليمية أو مقاسة فعلًا. بهذه الطريقة تستطيع مراجعة موضع الاختلاف: هل في اختيار القوس، أم مرجع الزاوية، أم تحويل الوحدة، أم النموذج المستخدم؟ إنجاز إراتوستينس يظل مفهومًا حين نوضح هذه الحدود؛ فالشرح الدقيق يبين ما احتاجته الفكرة وكيف يعمل الحساب، بدل الاكتفاء بصورة عصا ورقم كبير بلا صلة ظاهرة بينهما.