معادلة بمعامل متغير: افصل القيمة الاستثنائية

اقرأ المعامل بوصفه معطى

المصدر يعرض حدًا خطيًا من الدرجة الأولى. ^[1]

نضع على البطاقة أ المعادلة (t-4)x=3t-12، وعلى ب المعادلة (t-4)x=3t-11. الفرق بين المكتوبين واحد في الطرف الأيمن، لكننا لا نفترض أن هذا الفرق يبقي مجموعة الحلول كما هي. لدينا قيمتان تؤديان دورين مختلفين: يحدد السؤال t، ثم نحل في x. عند t=4 يزول حد الدرجة الأولى في x؛ فلا نصف العبارة الاستثنائية بمعادلة من الدرجة الأولى في المجهول.

إذا أعطينا t القيمة ثلاثة، فإننا نستبدلها في جميع مواضعها داخل البطاقة، لا في معامل x وحده. لوصف العائلة، نكتب حكمًا لكل نوع من قيم t. هذا ليس تحويلًا للسؤال إلى معادلة بمجهولين.

نعمل في الأعداد الحقيقية للمجهول والمعامل معًا. في الرسم نستعمل R عنوانًا لمجموعة القيم الحقيقية، و∅ للقائمة الخالية من الحلول.

افصل فرعي البطاقة أ

في أ نكتب الطرف الأيمن على صورة 3(t-4). فإذا كان t!=4، فإن t-4 غير صفري، وتصح قسمة الطرفين عليه. نحصل على x=3. العدد ثلاثة يحقق الأصل، لأن الطرفين يصبحان 3(t-4). كما أن القسمة أوضحت أنه الحل الوحيد في هذا الفرع.

أما عند t=4، فيكون معامل x صفرًا، والطرف الأيمن 12-12=0. تصير العبارة 0×x=0. نعوض x=3 فنحصل على صفر، ثم x=9 فنحصل على صفر أيضًا. ليست التسعة جوابًا ثانيًا نضيفه إلى قائمة تنتهي هناك؛ كل قيمة حقيقية تعطي النتيجة نفسها.

لذلك نسجل حالتين منفصلتين: عند غير الأربعة، المجموعة تحتوي ثلاثة فقط؛ وعند الأربعة، المجموعة R كلها. لا نكتب x=0 اعتمادًا على ظهور الصفر في الطرفين. الصفر يصف حاصل الضرب هنا، ولا يعين قيمة وحيدة للمجهول. وتبقى الأربعة قيمة للمعامل t، لا جوابًا ننقل اسمه إلى x.

غيّر العدد الأخير وافحص البطاقة ب

نكتب الطرف الأيمن في ب على صورة 3(t-4)+1. عند t!=4 نقسم على t-4 فنجد x=3+1/(t-4). هذه صيغة للحل بعد إعطاء المعامل قيمة غير استثنائية. الجزء الكسري معرف في هذا الفرع، ولا نستعمله لتعويض الأربعة ثم نعلن ناتجًا للقسمة على صفر.

عند t=4 يصبح الطرف الأيمن 12-11=1، بينما الطرف الأيسر صفر مهما كانت قيمة x. المطلوب إذن 0=1، وهذه العبارة لا تتحقق. لذلك مجموعة الحلول خالية. لا تعني كلمة «خالية» أن الجواب صفر؛ فتجربة x=0 في الأصل تترك الطرفين صفرًا وواحدًا، دون مساواة بينهما.

لنراجع حالتين غير استثنائيتين. عند t=3، الصيغة تعطي x=3+1/(-1)=2. في الأصل الطرف الأيسر (-1)×2=-2، والأيمن 9-11=-2. وعند t=5 نحصل على x=4؛ الطرف الأيسر 1×4=4، والأيمن 15-11=4. التعويض يراجع الرقمين اللذين استعملناهما، لا المجهول وحده.

لاحظ أن تساوي معامل x في أ وب لا يكفي لتساوي الحلول. عند t=3 تعطي أ ثلاثة وتعطي ب اثنين. وعند القيمة الاستثنائية نفسها تختلف النتيجة أكثر: أ تقبل الجميع، وب لا تقبل أحدًا. ننسب كل حكم إلى بطاقته حتى لا ننقل وصف إحدى المعادلتين إلى الأخرى.

ميّز صحة مثال من اكتمال مجموعة الحلول

افترض سجلًا يقول: في أ وعند t=4، يكون x=3 وحده. الجزء الذي يقترح ثلاثة صحيح؛ فالتعويض يحقق المعادلة. لكن كلمة «وحده» غير صحيحة، لأن التسعة التي فحصناها تحققها أيضًا، ولأن معامل المجهول صفر والطرف الآخر صفر لكل عدد حقيقي.

نصحح السجل بتوسيع مجموعة الحلول إلى R، دون حذف الثلاثة منها. ليس المطلوب استبدال جواب صحيح في ذاته بعبارة «ثلاثة خطأ». سؤالنا عن جميع الحلول، ولذلك نراجع وصف المجموعة لا صحة عضو واحد فقط. وفي ب عند t=4 لا يوجد عضو نحتفظ به أصلًا.

يعرض الرسم الداخلي حالتي الصفر جنبًا إلى جنب. لا تجعل شكل الصفر في الطرف الأيسر وحده يحدد الجواب؛ الطرف الأيمن صفر في أ وواحد في ب. والقيمتان تنتجان حكمين مختلفين تحت شرط المعامل نفسه.

راجع برهان الفروع قبل اعتماد التصنيف

يمكن إعادة كتابة أ على صورة (t-4)(x-3)=0، وب على صورة (t-4)(x-3)=1. ننقل الحدود إلى طرف مناسب ثم نخرج t-4 عاملًا؛ هذه كتابة للمقادير نفسها في بطاقاتنا. عند إعطاء t قيمة غير الأربعة، لا ينعدم العامل الأول، فيتعين العامل الثاني من المعادلة.

وفي أ عند الأربعة يصبح حاصل الضرب صفرًا لكل x، بينما لا يستطيع في ب أن يساوي الواحد. الفرعان يغطيان كل قيم المعامل الحقيقي: إما أربعة وإما غير أربعة. لذلك لا توجد قيمة ثالثة للمعامل تركناها خارج التصنيف، ولا نستدل من جدول أمثلة قليل وحده على اكتمال الحكم.

عند مراجعة حل جديد، احتفظ بشرط القسمة بجوار الخطوة. افحص القيمة الاستثنائية في الأصل، ثم راجع الصيغة في الفرع الآخر. إذا كانت العبارة النهائية تعطي حلًا واحدًا، اسأل هل البرهان منع وجود غيره، أم أنك اكتفيت بتعويض ذلك الحل. اكتمال المجموعة جزء من المطلوب.

حل تمرينًا بمعامل استثنائي مختلف

في التمرين ج: (t-7)x=2t-14، ود: (t-7)x=2t-13. نحفظ المجال وطريقة إعطاء المعامل، ونبدل العدد الاستثنائي إلى سبعة. حاول كتابة حالتين لكل بطاقة، ولا تستعمل الأربعة شرطًا للقسمة لمجرد أنها كانت قيمة المثال السابق.

في ج يكون الطرف الأيمن 2(t-7). عند t!=7 نحصل على x=2 وحده. وعند t=7 تصبح 0×x=0، فتقبل ج كل الأعداد الحقيقية. أما د فطرفها الأيمن 2(t-7)+1؛ عند غير السبعة حلها الوحيد x=2+1/(t-7)، وعند السبعة تصبح 0=1 بلا حل.

للفحص العددي، أعط د المعامل ستة، فيكون x=1؛ الطرفان يساويان -1. وأعطها ثمانية، فيكون x=3؛ الطرفان يساويان ثلاثة. هذان تحققان للصيغة في قيمتين مسموحتين، بينما فحص السبعة في الأصل هو الذي يبين غياب الحل عندها.

اختم جوابك باسم البطاقة وقيمة المعامل وشرط الفرع ومجموعة الحلول. احتفظ بالمعادلة الأصلية لتراجع التعويض، وافصل الحالة الاستثنائية عن الصيغة التي قسمت فيها. بهذه الخانات تستطيع تفسير النتيجة دون إخفاء الشرط الذي سمح بخطوة القسمة.